ゼロシャープ

数学の集合論において、0 ^#（ゼロシャープ、 0#とも）は、ゲーデルの構成可能宇宙における識別不能なものと順序識別不能なものについての真の公式の集合である。これは、自然数のサブセット（ゲーデル番号を使用）として、または遺伝的有限集合のサブセットとして、または実数としてコード化されることが多い。その存在は、公理的集合論の標準形式であるZFCでは証明できないが、適切な大基数公理から従う。これは、シルバーの1966 年の学位論文で公式の集合として初めて導入され、後に Silver (1971) として出版され、そこでは Σ と表記され、ソロベイ (1967、p.52) によって再発見され、彼はこれを自然数のサブセットとみなして O ^#（大文字の O を使用するが、後に数字の '0' に変更された）という表記を導入した。

大まかに言えば、0 ^{# が}存在する場合、集合の宇宙V は構成可能な集合の宇宙Lよりもはるかに大きくなりますが、0 # が存在しない場合は、すべての集合の宇宙は構成可能な集合によって近似されます。

ゼロシャープは、シルバーとソロベイによって次のように定義されました。ゼロでない自然数ごとに追加の定数記号、 、 ... を持つ集合論の言語を考えてみましょう。すると、 は、構成可能な宇宙に関する真の文のゲーデル数の集合として定義され、 は非可算基数 として解釈されます。(ここで は、構成可能な宇宙ではなく、完全な宇宙を 意味します。)${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle 0^{\sharp}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \aleph_{i}}$${\displaystyle \aleph_{i}}$${\displaystyle \aleph_{i}}$

この定義には微妙な点がある。タルスキの定義不可能性定理により、集合論の式の真理を集合論の言語で定義することは一般には不可能である。これを解決するために、シルバーとソロベイは、ラムゼイ基数などの適切な大きな基数の存在を仮定し、この追加の仮定によって構成可能宇宙に関するステートメントの真理を定義できることを示した。より一般的には、 の定義は、ある に対して識別不能な無数の集合が存在することを条件としており、「存在する」という語句はこれを簡潔に表現するために使用される。 ${\displaystyle 0^{\sharp}}$${\displaystyle L_{\alpha}}$${\displaystyle 0^{\sharp}}$

（ここでは極限順序数）の順序識別不能の閉集合は、次の場合、 Silver 識別不能集合です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle L_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$

• ${\displaystyle I}$は において無限であり、${\displaystyle \alpha}$
• が順序数 で非有界である場合、におけるのスコーレム包はです。言い換えると、任意のは のパラメータからで定義可能です。${\displaystyle I\cap \beta }$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle I\cap \beta }$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle x\in L_{\beta}}$${\displaystyle L_{\beta}}$${\displaystyle I\cap \beta }$

に対して Silver 識別不能集合が存在する場合、それは一意です。さらに、任意の非可算基数に対して、に対して Silver 識別不能集合が一意に存在します。これらすべての集合の和集合は、構造自体の Silver 識別不能の適切なクラスになります。次に、 は、次の式のすべてのゲーデル数の集合として定義されます。 ${\displaystyle L_{\omega _{1}}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle L_{\kappa}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0^{\sharp}}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle L_{\alpha }\models \theta (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \alpha _{n})}$

ここで、 はの要素の任意の厳密に増加するシーケンスです。これらは識別不可能なため、定義はシーケンスの選択に依存しません。 ${\displaystyle \alpha _{1}、\alpha _{2}、\ldots <\alpha _{n}、\alpha }$${\displaystyle I}$

いずれにもという性質があります。これにより、構築可能な宇宙の真理の定義が可能になります。 ${\displaystyle \alpha \in I}$${\displaystyle L_{\alpha }\prec L}$

${\displaystyle L\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$一部の場合にのみ。 ${\displaystyle L_{\alpha }\models \varphi [x_{1}...x_{n}]}$${\displaystyle \alpha \in I}$

の定義にはいくつかの小さなバリエーションがありますが、その特性に大きな違いはありません。ゲーデル番号にはさまざまな選択肢があり、この選択によって が異なります。 を自然数のサブセットとして考える代わりに、言語の式のサブセットとして、または遺伝的に有限な集合のサブセットとして、または実数として エンコードすることもできます。${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$

が存在することを意味するラムゼー基数の存在に関する条件は、弱めることができます。-エルデシュ基数の存在は、 の存在を意味します。 の存在は、構成可能な宇宙ではすべての可算な に対して - エルデシュ基数が存在することを意味し、そのため、そのような基数は の存在を証明するために使用できないため、これは可能な限り最良の状態に近いです。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 0^{\sharp }}$

チャンの予想はの存在を意味します。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

クネンは、ゲーデルの構成可能宇宙がそれ自体に 非自明な基本埋め込みを持つ場合にのみ、が存在することを示しました。${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

ドナルド A. マーティンとレオ ハリントンは、 の存在がライトフェイス解析ゲームの決定性と同等であることを示しました。実際、普遍的なライトフェイス解析ゲームの戦略はと同じチューリング次数を持ちます。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$

ジェンセンの被覆定理から、 の存在は構成可能宇宙における正規基数であることと同等であることがわかります。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle L}$

シルバーは、構成可能な宇宙における識別不可能な無数の集合の存在は、 の存在と同等であることを示しました。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$

の存在は、集合論的宇宙におけるすべての非可算基数が において識別不可能であり、において実現されるすべての大規模基数公理（ が完全に言い表せないなど） を満たすことを意味します。したがって、 の存在は構成可能性公理と矛盾します。${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle V=L}$

が存在する場合、それは自然数の構成不可能な集合の例です。自然数のすべての集合と集合は構成可能であるため、これはある意味では構成不可能な集合の最も単純な可能性です。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle \Delta _{3}^{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$

一方、が存在しない場合は、構成可能な宇宙がコアモデル、つまり、検討対象の宇宙の大きな基本構造を近似する標準的な内部モデルになります。その場合、ジェンセンの被覆補題が成り立ちます。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle L}$

順序数の無数集合ごとに、 と同じ濃度を持つような構成可能集合が存在します。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\subset y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

この深い結果は、ロナルド・ジェンセンによるものです。強制 を使用すると、 が非可算であるという条件は削除できないことが簡単にわかります。たとえば、を保存し、共終値の順序数 に縮小する の難波強制を考えてみましょう。を上の-シーケンス共終数で 上でジェネリックであるとします。すると、より小さい -サイズの のどの集合も（ は保存されるので では非可算） をカバーできません。は正則基数だからです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \omega _{2}^{L}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega _{2}}$

が存在しない場合は、特異基数仮説も成立する。^{[1] p. 20}${\displaystyle 0^{\sharp }}$

が任意の集合である場合、 は と同様に定義されますが、の代わりに を使用し、 の述語記号も使用します。構成可能な宇宙#相対的な構成可能性を参照してください。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\sharp }}$${\displaystyle 0^{\sharp }}$${\displaystyle L[x]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$

• 0 ^{† 、 0 #}に似たセットですが、構築可能な宇宙が、測定可能な基数を持つより大きな内部モデルに置き換えられています。

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