アスプルンドスペース

数学、特に関数解析において、アスプルンド空間または強微分可能性空間は、行儀の良い バナッハ空間の一種です。アスプルンド空間は、バナッハ空間上のリプシッツ関数のフレシェ微分可能性特性に興味を持っていた数学者エドガー・アスプルンドによって 1968 年に導入されました。

バナッハ空間Xがアスプルンド空間であることが何を意味するかについては、同等の定義が多数あります。

• Xが Asplund である場合、そしてその場合のみ、Xのすべての可分部分空間 Y は可分連続双対空間Y ^∗を持つ。
• Xが Asplund である場合、かつその場合に限り、Xの任意の開凸部分集合U上のすべての連続 凸関数は、 Uの稠密なG _δ部分集合の点でフレシェ微分可能である。
• Xが Asplund であるためには、その双対空間X ^{∗ が}Radon–Nikodým の性質を満たす必要がある。この性質は、1975 年に Namioka & Phelps、1978 年に Stegall によって確立された。
• Xが Asplund である場合、そしてその場合のみ、その双対空間X ^∗のすべての空でない有界部分集合は、任意に小さい直径の弱 ∗ スライスを持ちます。
• Xが Asplund であるための必要十分条件は、双対空間X ^∗のすべての空でない弱 ∗コンパクト 凸部分集合がその弱 ∗ 強く露出された点の弱 ∗ 閉じた凸包である場合です。1975 年に、Huff と Morris は、この性質が、双対空間X ^∗のすべての有界で閉じた凸部分集合がその端点の閉じた凸包であるという命題と同等であることを示しました。

• アスプルンド空間のクラスは位相同型に対して閉じている。つまり、XとYがバナッハ空間であり、Xがアスプルンドであり、X がYに同相である場合、Yもアスプルンド空間である。
• アスプルンド空間のすべての閉線 型部分空間はアスプルンド空間である。
• アスプルンド空間のあらゆる商空間はアスプルンド空間である。
• アスプルンド空間のクラスは拡大に対して閉じている: Xがバナッハ空間であり、YがXのアスプルンド部分空間でその商空間X  ⁄  Yがアスプルンドである場合、X はアスプルンドである。
• アスプルンド空間の開集合上のすべての局所リプシッツ関数は、その定義域の稠密な部分集合の点においてフレシェ微分可能である。この結果は1990 年にPreissによって確立され、最適化理論に応用されている。
• 1968 年の Asplund のオリジナル論文にある次の定理は、非 Asplund 空間の動作が悪くなる理由の良い例です。X が Asplund 空間でない場合、 X 上のどの点でもフレシェ微分可能ではない同等のノルムが X 上に存在します。
• 1976 年に、Ekeland と Lebourg は、X が原点から離れてフレシェ微分可能な同値ノルムを持つバナッハ空間である場合、X はAsplund 空間であることを示しました。しかし、1990 年に Haydon は、原点から離れてガトー微分可能な同値ノルムを持たない Asplund 空間の例を示しました。

• アスプルンド、エドガー (1968)。 「凸関数のフレシェ微分可能性」。アクタ・マセマティカ。121：31～47。土井：10.1007/bf02391908。ISSN  0001-5962。MR  0231199。
• Ekeland, Ivar; Lebourg, Gérard (1976). 「バナッハ空間における一般的なフレシェ微分可能性と摂動最適化問題」.アメリカ数学会誌. 224 (2): 193–216 (1977). doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0431253-2 . ISSN  0002-9947. MR  0431253.
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