ダイヤモンド原理

数学、特に公理的集合論において、ダイヤモンド原理 ◊ は、ロナルド・ジェンセンがジェンセン (1972)で導入した組合せ原理であり、構成可能宇宙( L ) で成立し、連続体仮説を意味します。ジェンセンは、構成可能性の公理( V = L ) がススリン木の存在を意味するという証明からダイヤモンド原理を抽出しました。

ダイヤモンド原理◊は、◊-シーケンス、 α < ω ₁に対してA _α ⊆ αの集合族でω ₁の任意の部分集合Aに対してA ∩ α = A _αとなるαの集合はω ₁で定常で ある。

ダイヤモンド原理には、同値な形式がいくつかあります。1つは、可算順序数αごとにαの部分集合の可算なコレクションA _αが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対してω ₁の定常部分集合Cが存在し、 Cのすべてのαに対してA ∩ α ∈ A _αおよびC ∩ α ∈ A _αが成り立つというものです。もう1つの同値な形式では、α < ω ₁に対して集合A _α ⊆ αが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対してA ∩ α = A _αとなる無限αが少なくとも1つ存在するというものです。

より一般的には、与えられた基数 κと定常集合 S ⊆ κに対して、命題◊ _S（時には◊( S )または◊ _κ ( S )と書かれる）は、次の数列 ⟨ A _α  : α ∈ S ⟩が存在するという命題である。

• 各Aα⊆α_​​​
• すべてのA ⊆ κに対して、{ α ∈ S  : A ∩ α = A _α }はκ内で静止します。

原理◊ω1は_◊と同じです。

ダイヤモンドプラス原理◊ ^{+は、各可算順序数 α に対して}◊ ⁺シーケンス、つまりαの部分集合の可算コレクションA _αが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対してω ₁の閉じた非有界部分集合Cが存在し、Cのすべてのαに対してA ∩ α ∈ A _αかつC ∩ α ∈ A _αが成り立つことを述べています。

ジェンセン (1972) は、ダイヤモンド原理◊ がスースリン木の存在を意味することを示した。また、V = L がダイヤモンドプラス原理を意味し、ダイヤモンド原理がダイヤモンド原理を意味し、ダイヤモンド原理がCH を意味することも示した。特に、ダイヤモンド原理とダイヤモンドプラス原理はどちらもZFCの公理とは独立している。また、♣ + CH は◊ を意味するが、シェラは♣ + ¬ CHのモデルを示したため、◊と♣ は同等ではない (むしろ、♣は◊よりも弱い)。

マテットは、分割の初期線分の対角交差が で定常であるの分割の性質と同等の原理を証明した。^[1]${\displaystyle \diamondsuit_{\kappa}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

ダイヤモンド原理◊はクレパの木の存在を意味しませんが、より強い◊ ⁺原理は◊原理とクレパの木の存在の両方を意味します。

Akemann & Weaver (2004)は◊を使用して、 Naimarkの問題に対する反例としてC *代数を構築しました。

すべての基数κと定常部分集合 S ⊆ κ ⁺に対して、構成可能宇宙で◊ _Sが成り立ちます。Shelah (2010) は、κ > ℵ ₀に対して、共終性κの順序数を含まない定常Sに対して2 ^κ = κ ⁺から◊ _{κ ⁺} ( S )が導かれることを証明しました。

シェラは、ダイヤモンド原理はすべてのホワイトヘッド群が自由であることを意味することによってホワイトヘッド問題を解決することを示しました。

• ZFC から独立したステートメントのリスト
• Lで真である文