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哲学や論理学において、古典的な嘘つきのパラドックス、あるいは嘘つきの矛盾とは、嘘つきが自分が嘘をついていると述べること、例えば「私は嘘をついている」と宣言することである。もし嘘つきが本当に嘘をついているとしたら、嘘つきは真実を語っていることになり、つまり嘘つきは嘘をついたことになる。「この文は嘘である」という文では、より厳密な論理分析に適するようにパラドックスが強化されている。この文は、発言している嘘つきから抽象化されているにもかかわらず、依然として一般的に「嘘つきのパラドックス」と呼ばれている。この強化された嘘つきという文に古典的な二項対立の真偽値を割り当てようとすると、矛盾が生じる。
「この文は偽である」という文が真であると仮定すると、その文の内容（つまり、文の正反対の内容を述べている文）を信頼することができ、矛盾が生じる。同様に、その逆を仮定した場合も矛盾が生じる。
エピメニデスのパラドックス（紀元前600年頃）は嘘つきのパラドックスの例として挙げられるが、論理的に同等ではない。半ば伝説的な予言者エピメニデス（クレタ人）は、「クレタ人は皆嘘つきだ」と述べたと伝えられている。[ 1 ]しかし、エピメニデスの「クレタ人は皆嘘つきだ」という発言は、彼が少なくとも1人の嘘をつかないクレタ人を知っていることを考えると、誤りであると解決できる（あるいは、これは単にクレタ人は皆嘘をつくという発言であり、嘘しか言わないという発言ではないと解釈することもできる）。
このパラドックスの名前は、古代ギリシア語でpseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος)と訳されます。嘘つきのパラドックスの1つのバージョンは、紀元前4世紀に生きたミレトスのギリシア哲学者エウブリデスに帰せられています。エウブリデスは、「ある人が自分が嘘をついていると言う。彼の言うことは真実か、それとも嘘か？」と尋ねたと伝えられています。[ 2 ]
このパラドックスはかつてストリドンのヒエロニムスが説教の中で論じたことがある。
「私は驚いて言った、『人は皆嘘つきだ！』」ダビデは真実を言っているのか、それとも嘘をついているのか？もし「人は皆嘘つきだ」ということが真実であり、ダビデの「人は皆嘘つきだ」という発言が真実であるならば、ダビデも嘘をついていることになる。彼もまた人間だからだ。しかし、彼も嘘をついているならば、「人は皆嘘つきだ」という彼の発言は、結果として真実ではないことになる。この命題をどのように解釈しても、結論は矛盾する。ダビデ自身が人間である以上、彼も嘘をついていることになる。しかし、もし彼が「人は皆嘘つきだ」という理由で嘘をついているのだとすれば、彼の嘘は別の種類の嘘であることになる。[ 3 ]
インドの文法学者・哲学者バルトリハリ（西暦5世紀後半）は、「私が言っていることはすべて偽りである」（sarvam mithyā bravīmi）という嘘つきのパラドックスをよく理解していた。彼はこの発言を「意味のなさ」のパラドックスと合わせて分析し、日常生活で問題のない発言とパラドックスの境界を探求した。[ 4 ] [ 5 ]
嘘つきのパラドックスについては、少なくとも9世紀後半から5世紀にわたって初期イスラムの伝統の中で議論されてきたが、他の伝統の影響を受けていないようである。ナシール・アルディーン・アルトゥーシーは、嘘つきのパラドックスが自己言及的であると最初に認識した論理学者であった可能性がある。[ 6 ]
嘘つきのパラドックスの問題点は、真偽に関する一般的な信念が実際には矛盾を生じさせていることを示しているように見える点にある。文法や意味論の規則に完全に合致しているにもかかわらず、一貫して真偽値を割り当てることができない文を構築することができるのだ。
このパラドックスの最も単純なバージョンは次の文です。
（A）が真であれば、「この命題は偽である」は真である。したがって、（A）は偽でなければならない。（A）が真であるという仮説は、（A）が偽であるという結論を導き、矛盾が生じる。
（A）が偽であれば、「この命題は偽である」も偽となる。したがって、（A）は真でなければならない。（A）が偽であるという仮説は、（A）が真であるという結論を導き出すが、これはまた別の矛盾である。いずれにせよ、（A）は真でもあり偽でもあるため、パラドックスとなる。
しかし、嘘つき文は、それが偽であれば真であり、それが真であれば偽であることが証明できるため、「真でも偽でもない」と結論付ける人もいます。[ 7 ]このパラドックスに対するこの回答は、事実上、すべての命題は真か偽のどちらかでなければならないという主張、つまり排中律に関連する概念である二値性の原理の否定です。
その主張は真でも偽でもないという提案は、次のようなより強化されたパラドックスを生み出した。
(B)が真でも偽でもないならば、それは真ではないに違いない。これは(B)自身が述べていることなので、(B)は真でなければならないということになる。当初(B)は真ではなかったが今は真であるため、別のパラドックスが生じる。
（A）のパラドックスに対するもう一つの反応は、グラハム・プリーストが主張したように、その記述は真でもあり偽でもあると仮定することである。しかしながら、プリーストの分析でさえ、次のような嘘つきの解釈に陥る可能性がある。
(C)が真でもあり偽でもある場合、(C)は偽のみである。しかし、そうなると、(C)は真ではない。最初は(C)が真であったが、今は真ではないので、これはパラドックスである。しかし、(関数意味論とは対照的に)二値関係意味論を採用することで、二元論的アプローチはこのバージョンの嘘つきを克服できると主張されている。[ 8 ]
嘘つきのパラドックスには、複数の文からなるバージョンも存在する。以下は、2文からなるバージョンである。
（D1）が真であると仮定します。すると（D2）も真になります。これは（D1）が偽であることを意味します。したがって、（D1）は真でもあり偽でもあると言えます。
（D1）が偽であると仮定します。すると（D2）も偽となります。これは（D1）が真であることを意味します。したがって、（D1）は真でもあり偽でもあると言えます。いずれにせよ、（D1）は真でもあり偽でもあるという、上記の（A）と同じパラドックスが生じます。
嘘つきのパラドックスの複数文バージョンは、そのような文の任意の循環的なシーケンス（最後の文が最初の文の真偽を主張する）に一般化できます。ただし、後続の文の偽性を主張する文の数が奇数である必要があります。以下は、各文が後続の文の偽性を主張する3文バージョンです。
（E1）が真であると仮定する。すると（E2）は偽となり、これは（E3）が真であることを意味し、したがって（E1）は偽となり、矛盾が生じる。
（E1）が偽であると仮定します。すると（E2）は真となり、これは（E3）が偽であることを意味し、したがって（E1）は真となります。いずれにせよ、（E1）は真でもあり偽でもあるという矛盾が生じます。これは（A）と（D1）の場合と同じパラドックスです。
他にも多くのバリエーションや補語が考えられます。通常の文構造では、補語の最も単純な形は次の文です。
Fが真理値を持つと仮定すると、その値の対象を決定するという問題が生じる。しかし、「真」という単語自体が真理値を持つと仮定すれば、より単純なバージョンが可能となる。このパラドックスの類似例は、「偽」という単語も同様に真理値、すなわち偽であると仮定することである。これにより、このパラドックスは、誤謬という概念そのものが真理値を持つ、すなわち誤謬という概念そのものが偽であると仮定するという精神的行為、つまり誤った表現行為に還元できることが明らかになる。したがって、このパラドックスの対称的なバージョンは次のようになる。
また、矛盾を生じさせずに答えることができない未来の偶発事象の問題に関連するバージョンも存在する。
答えが「はい」であれば、質問に対する答えは「いいえ」であり、答えが「いいえ」であれば、質問に対する答えは「はい」です。
ファジー論理では、命題の真偽値は、0 と 1 の間の任意の実数にすることができます。これは、真偽値が整数値の 0 または 1 のみであるブール論理とは対照的です。このシステムでは、「この命題は偽である」という命題は、0.5 の真偽値を割り当てることができるため、もはや矛盾していません。[ 9 ] [ 10 ]これは、正確に半分が真で半分が偽であることを意味します。以下に、簡略化された説明を示します。
「この文は偽である」という命題の真偽値を次のように表す。声明は次のようになる
NOT演算子をファジー論理の等価なZadeh演算子に一般化することにより、次の文が得られる。
これから次のことが導かれる
アルフレッド・タルスキは、このパラドックスは「意味的に閉じた」言語でのみ生じると診断した。ここで言う「意味的に閉じた」とは、ある文が同じ言語内の別の文（あるいは自分自身の文）の真偽を述語できる言語のことである。自己矛盾を避けるためには、真理値を議論する際には言語のレベルを想定する必要がある。各レベルは、より低いレベルの言語の真偽のみを述語できる。したがって、ある文が別の文の真理値を参照する場合、それは意味的に上位にある。参照される文は「対象言語」の一部であり、参照する文は対象言語に関して「メタ言語」の一部とみなされる。意味階層の上位にある「言語」の文が、下位にある「言語」の文を参照することは正当であるが、その逆は正当ではない。これにより、システムが自己参照的になるのを防ぐことができる。
しかし、このシステムは不完全です。例えば、「階層のレベルαにあるすべての命題に対して、最初の命題が偽であると主張するレベルα + 1 の命題が存在する」といった命題を述べられるようにしたいものです。これはタルスキが定義する階層に関する真で意味のある命題ですが、階層のすべてのレベルの命題を参照するため、階層のすべてのレベルより上に位置づけられなければならず、したがって階層内では不可能です (ただし、限定されたバージョンの命題は可能です)。[ 11 ] [ 12 ]ソール・クリプキは、引用数の多い論文「真理の理論の概要」 [ 12 ]でタルスキの階層におけるこの不完全性を指摘したことで知られており、これは階層言語における一般的な問題として認識されています。[ 12 ] [ 13 ]
アーサー・プライアーは、嘘つきのパラドックスには逆説的なところは何もないと主張している。彼の主張（チャールズ・サンダース・パースとジョン・ブリダンに帰属するもの）は、すべての命題には、それ自身の真実性を暗黙のうちに主張しているというものである。[ 14 ] したがって、例えば、「2+2=4であることは真実である」という命題は、「2+2=4である」という命題よりも多くの情報を含んでいない。なぜなら、「～であることは真実である」という句は常に暗黙のうちに含まれているからである。そして、嘘つきのパラドックスの自己言及的な精神では、「～であることは真実である」という句は、「この命題全体が真実であり、かつ…である」と同等である。
したがって、以下の2つの記述は同等である。
後者は「AかつAでない」という単純な矛盾であり、したがって偽である。したがって、この2つの連言からなる嘘つきが偽であるという主張は矛盾を招かないため、パラドックスは存在しない。ユージン・ミルズも同様の回答を示している。[ 15 ]
ソール・クリプキは、文が逆説的であるかどうかは偶発的な事実によって決まる可能性があると主張した。[ 11 ]： 6スミスがジョーンズについて言うことが
そしてジョーンズはスミスについて、次の3つのことだけを述べている。
もしスミスが本当に浪費家でありながら犯罪に甘い人物ではないのだとしたら、スミスによるジョーンズに関する発言と、ジョーンズによるスミスに関する最後の発言は、どちらも矛盾していることになる。
クリプキは次のような解決策を提案している。ある命題の真偽値が、最終的に世界に関する何らかの評価可能な事実と結びついている場合、その命題は「根拠づけられている」。そうでない場合、その命題は「根拠づけられていない」。根拠づけられていない命題には真偽値がない。嘘の命題や嘘に似た命題は根拠づけられていないため、真偽値を持たない。
ジョン・バーワイズとジョン・エチェメンディは、嘘つき文（彼らはこれを強化された嘘つきと同義と解釈している）は曖昧であると提唱している。彼らはこの結論を「否定」と「否定」の区別に基づいている。嘘つきが「この文が真であるということはあり得ない」という意味であれば、それは自己否定である。嘘つきが「この文は真ではない」という意味であれば、それは自己否定である。彼らはさらに、状況意味論に基づいて、「否定の嘘つき」は矛盾なく真になり得るが、「否定の嘘つき」は矛盾なく偽になり得ると主張している。彼らの1987年の著書は、非整礎集合論を多用している。[ 16 ]
グラハム・プリーストや、JC ビール、ブラッドリー・アーマー＝ガーブなどの論理学者は、嘘つきの文は真でもあり偽でもあると考えるべきだと提唱しており、これは二元的矛盾論として知られる見解である。二元的矛盾論は、真の矛盾が存在するという見解である。二元的矛盾論には、それなりの問題がある。その中でも最も重要なのは、二元的矛盾論は、本質的な矛盾である嘘つきのパラドックスを真であると認めているため、すべての命題は真であるという見解である自明主義を受け入れない限り、矛盾から任意の命題を演繹できると主張する、長らく認められてきた爆発原理を放棄しなければならないということである。自明主義は直観的に偽の見解であるため、二元的矛盾論者はほぼ常に爆発原理を拒否する。爆発原理を拒否する論理は、矛盾しない論理と呼ばれる。
アンドリュー・アーバインは、このパラドックスに対する非認知主義的な解決策を支持し、一見正しく構成されているように見える文の中には、真でも偽でもないことが判明するものもあり、「形式的な基準だけではパラドックスを解決するには不十分であることが必然的に証明されるだろう」と示唆している。[ 7 ]
インドの文法学者で哲学者のバルトリハリ（西暦5世紀後半）は、彼の代表作である『ヴァーキャパディーヤ』の一章で、嘘つきのパラドックスなどのパラドックスを取り上げています。バルトリハリの解決策は、言語、思考、現実に対する彼の一般的なアプローチに合致しており、それは一部の人々によって「相対主義的」、「非決定的」、または「視点主義的」と特徴づけられています。[ 17 ]嘘つきのパラドックス（ sarvam mithyā bravīmi 「私が言っていることはすべて嘘だ」）に関して、バルトリハリは、日常のコミュニケーションにおける問題のない状況を頑固なパラドックスに変えることができる隠れたパラメーターを特定しています。バートラハリの解決策は、1992 年にジュリアン・ロバーツが提案した解決策の観点から理解することができる。「パラドックスは自滅する。しかし、時間的文脈化という単純な手段によって、矛盾の対立する側面を分離することができる。ある時点に関して「真」であるものが、別の時点でもそうであるとは限らない…「オースティン的」議論の全体的な力は、「物事は変化する」ということだけではなく、合理性は本質的に時間的であり、そうでなければ相互に破壊的な状態を調和させ、管理するためには時間が必要であるということである。」[ 18 ]ロバーツの示唆によれば、バーワイズとエチェメンディの解決において重要な役割を果たす分離した「世界の部分」を調和させることを可能にするのは「時間」という要素である。[ 16 ] : 188 2 つの「世界の部分」の直接的な対立を防ぐ時間の能力は、ここでは「嘘つき」の外にある。しかし、バルトリハリの分析によれば、世界に対する2つの視点、あるいは2つの「世界の一部」――機能がそのタスクを完了する前と後の部分――を隔てる時間的拡張は、あらゆる「機能」に内在するものであり、それは「嘘つき」を含む各発言の根底にある意味する機能にも内在する。[ 5 ]矛盾（virodha）または無限後退（anavasthā）が存在する状況である解決不可能なパラドックスは、嘘つきの場合や、意味不可能性のパラドックス（バルトリハリのパラドックス）などの他のパラドックスの場合、前の機能を打ち消す同時かつ反対の機能（ apara vyāpāra ）を受け入れることによって、この機能（ vyāpāra）とその時間的拡張から抽象化が行われるときに生じる。
嘘つきのパラドックスをよりよく理解するために、それをより形式的に記述すると便利です。「この命題は偽である」をAで表し、その真偽値を求める場合、Aの可能な真偽値の選択を制限する条件を見つける必要があります。Aは自己参照的であるため、条件を方程式で表すことができます。
ある命題Bが偽であると仮定する場合、「B = 偽」と書きます。命題Bが偽であるという命題（C）は、「C = 'B = 偽' 」と書きます。さて、嘘つきのパラドックスは、命題Aが偽であるという形で表現できます。
これは、A = "この文は偽である" の真偽値が期待できる方程式です。ブール領域では、「A = 偽」は「A ではない」と同等であるため、この方程式は解けません。これが A の再解釈の動機です。この方程式を解けるようにする最も単純な論理的アプローチは、二元的アプローチであり、この場合、解は A が「真」かつ「偽」であることです。他の解決策は、主に方程式の修正を含みます。アーサー・プライアーは、方程式は「A = 'A = 偽かつ A = 真' 」であるべきであり、したがって A は偽であると主張しています。計算動詞論理では、嘘つきのパラドックスは、「私は彼が言うことを聞くが、彼は私が聞かないことと言う」のような文に拡張され、パラドックスを解決するには動詞論理を使用する必要があります。[ 19 ]
ゲーデルの不完全性定理は、数学の十分強力な公理系に内在する限界を述べる、数学論理の2つの基本定理である。これらの定理は1931年にクルト・ゲーデルによって証明され、数学の哲学において重要である。大まかに言えば、最初の不完全性定理を証明する際に、ゲーデルは嘘つきのパラドックスの修正版を使用し、「この文は偽である」を「この文は証明できない」に置き換えた。これを「ゲーデル文G」と呼ぶ。彼の証明は、十分強力な理論Tに対して、Gは真であるが、Tでは証明できないことを示した。Gの真偽と証明可能性の分析は、嘘つき文の真偽の分析を形式化したものである。[ 20 ]
第一不完全性定理を証明するために、ゲーデルは命題を数で表しました。すると、数に関する特定の事実を証明すると想定されるこの理論は、自身の命題に関する事実も証明することになります。命題の証明可能性に関する疑問は、数の性質に関する疑問として表され、理論が完全であれば、この疑問は理論によって決定可能となります。このようにして、ゲーデルの命題は、ある奇妙な性質を持つ自然数は存在しないと述べています。この性質を持つ数は、理論の矛盾の証明を符号化することになります。もしそのような数が存在するならば、理論は矛盾していることになり、無矛盾性の仮説に反します。したがって、理論が無矛盾であるという仮定の下では、そのような数は存在しないのです。
ゲーデルの文において「証明不可能」を「偽」に置き換えることはできません。なぜなら、「Q は偽の式のゲーデル数である」という述語は算術式として表現できないからです。この結果はタルスキの不確定性定理として知られており、ゲーデル（不完全性定理の証明に取り組んでいた時）とアルフレッド・タルスキによってそれぞれ独立に発見されました。
ジョージ・ブーロスはその後、嘘つきのパラドックスではなくベリーのパラドックスを用いて、真実ではあるが証明不可能な公式を構築する、第一不完全性定理の別の証明案を概説した。
嘘つきのパラドックスは、文章を処理できない人工知能を停止させるために、フィクションで時折使用されます。スタートレック：オリジナルシリーズのエピソード「I, Mudd 」では、カーク船長とハリー・マッドが、自分たちを捕らえているアンドロイドを混乱させ、最終的に無力化するために嘘つきのパラドックスを使用します。1973年のドクター・フーの連続ドラマ「The Green Death」では、ドクターが狂ったコンピューターBOSSに「次に言うことは真実だが、最後に言ったことは嘘だと言ったら、信じますか？」と尋ねることで、一時的にBOSSを困惑させます。BOSSはそれを理解しようとしますが、できません。最終的に、質問は無関係だと判断し、警備員を呼び出します。
1967年の映画『ベダズルド』の中で、悪魔は被験者のスタンリー・ムーンに「彼が言うことはすべて嘘だ。これも例外ではない」と言う。
シン・リジィの楽曲「ドント・ビリーブ・ア・ワード」には、「この言葉は一言も真実ではない」という歌詞が含まれている。
2011年のビデオゲーム『Portal 2』では、人工知能GLaDOSが「この文は偽である」というパラドックスを使って、別の人工知能Wheatleyを殺そうと試みます。しかし、Wheatleyはそれがパラドックスであることに気づく知能がないため、「ええと、本当です。本当でいいでしょう。ほら、簡単だった」と答えるだけで、影響を受けません。面白いことに、GLaDOSとWheatleyの両方よりも知能や明晰さが著しく劣る他のAIは、パラドックスを聞いただけで殺されてしまいます。GLaDOSは後に、パラドックスを使ってWheatleyを殺そうとした自分の試みで、危うく自分自身を殺しかけたと述べています。
デヴォの楽曲「Enough Said」には、「次に君に言うことは真実だ／最後に言ったことは嘘だった」という歌詞が含まれている。
マインクラフト：ストーリーモードの第7話「アクセス拒否」では、主人公のジェシーとその仲間たちが、PAMAという名のスーパーコンピューターに捕らえられてしまう。PAMAがジェシーの仲間2人を操った後、ジェシーはPAMAが処理中にフリーズすることに気づき、パラドックスを利用してPAMAを混乱させ、最後の仲間と共に脱出する。プレイヤーがジェシーに言わせることができるパラドックスの一つに、嘘つきのパラドックスがある。
ロバート・アール・キーンの曲「The Road Goes On and On」では、このパラドックスについて触れている。この曲は、キーンが言及している「嘘つき」とはおそらくトビー・キースのことであると思われるキースとの確執の一部である。 [ 21 ]
