ファジー論理

ファジー論理は、変数の真理値が0から1までの任意の実数になる多値論理の一種です。これは、真理値が完全に真から完全に偽までの範囲になる部分的な真理の概念を扱うために使用されます。 ^[1]対照的に、ブール論理では、変数の真理値は整数値0または1のみになります。

ファジー論理という用語は、 1965年に数学者ロトフィ・ザデーがファジー集合論を提案した際に導入されました。^{[2] [3]しかし、ファジー論理は1920年代から}無限値論理 として研究されており、特にウカシェヴィチとタルスキによって研究されていました。^[4]

ファジー論理は、人々が不正確で非数値的な情報に基づいて意思決定を行うという観察に基づいています。ファジーモデルまたはファジーセットは、曖昧さと不正確な情報（ファジーという用語の由来）を表現する数学的な手段です。これらのモデルは、曖昧で不確実なデータや情報を認識し、表現し、操作し、解釈し、使用することができます。^{[5] [6]}

ファジー論理は、制御理論から人工知能まで、多くの分野に応用されてきました。

古典論理では、真か偽かのどちらかの結論しか許されません。しかし、答えが変化する命題もあります。これは、あるグループの人々に色を識別するよう依頼したときに見られるものです。このような場合、真実は、サンプルの回答がスペクトル上にマッピングされる、不正確または部分的な知識からの推論の結果として現れます。^[7]

真実度と確率はどちらも0から1の範囲にあるため、一見同じように見えるかもしれませんが、ファジー論理では真実度を曖昧さの数学的モデルとして使用し、確率は無知の数学的モデルとして使用します。^[8]

基本的なアプリケーションでは、連続変数のさまざまなサブ範囲を特徴付けることができます。たとえば、アンチロックブレーキの温度測定には、ブレーキを適切に制御するために必要な特定の温度範囲を定義するいくつかの個別のメンバーシップ関数があります。各関数は同じ温度値を0〜1の範囲の真理値にマッピングします。これらの真理値を使用して、ブレーキをどのように制御するかを決定できます。^[9]ファジー集合論は不確実性を表現する手段を提供します。

ファジー論理アプリケーションでは、ルールや事実の表現を容易にするために非数値がよく使用されます。^[10]

ageのような言語変数は、youngやその反意語oldなどの値を受け入れることができる。自然言語には、あいまいな値スケールを表現するのに十分な値項が常に含まれていないため、言語値を形容詞や副詞で修飾するのが一般的である。たとえば、ratherとsameというヘッジを使用して、 rather oldやasomething youngという追加の値を構築することができる。^[11]

最もよく知られているシステムはマムダニルールベースのシステムです。^[12]このシステムでは以下のルールが使用されます。

1. すべての入力値をファジー メンバーシップ関数にファジー化します。
2. ルールベース内の適用可能なすべてのルールを実行して、ファジー出力関数を計算します。
3. ファジー出力関数を非ファジー化して、「鮮明な」出力値を取得します。

ファジー化とは、システムの数値入力を、ある程度の所属度を持つファジー セットに割り当てるプロセスです。この所属度は、区間 [0,1] 内の任意の値になります。0 の場合、値は指定されたファジー セットに属しておらず、1 の場合、値は完全にファジー セットに属しています。0 から 1 の間の値は、値がセットに属する不確実性の度合いを表します。これらのファジー セットは通常、言葉で説明されるため、システム入力をファジー セットに割り当てることで、言語的に自然な方法で推論できます。

たとえば、下の画像では、cold、warm、hotという表現の意味は、温度スケールをマッピングする関数によって表されています。スケール上の点には、3 つの関数それぞれに 1 つずつ、合計 3 つの「真理値」があります。画像の垂直線は、3 つの矢印 (真理値) が示す特定の温度を表しています。赤い矢印は 0 を指しているため、この温度は「熱くない」と解釈できます。つまり、この温度はファジー セット「hot」に 0 のメンバーシップを持ちます。オレンジ色の矢印 (0.2 を指している) はこれを「やや暖かい」と表現し、青い矢印 (0.8 を指している) は「かなり寒い」と表現します。したがって、この温度はファジー セット「warm」に 0.2 のメンバーシップを持ち、ファジー セット「cold」に 0.8 のメンバーシップを持ちます。各ファジー セットに割り当てられるメンバーシップの度合いは、ファジー化の結果です。

ファジー集合は、多くの場合、三角形または台形の曲線として定義されます。これは、各値が、値が増加する傾き、値が1に等しいピーク（長さは0以上）と、値が減少する傾きを持つためです。^{[13]また、}シグモイド関数を使用して定義することもできます。 ^[14]一般的なケースの1つは、次のように定義される 標準的なロジスティック関数です。

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$、

これは次の対称性を持つ。

$${\displaystyle S(x)+S(-x)=1.}$$

このことから、

$${\displaystyle (S(x)+S(-x))\cdot (S(y)+S(-y))\cdot (S(z)+S(-z))=1}$$

ファジー論理は、ブール論理を模倣した方法でメンバーシップ値を操作します。この目的のために、基本演算子（「ゲート」）AND、OR、NOTの代替手段が用意されていなければなりません。これにはいくつかの方法があります。一般的な代替手段は、Zadeh演算子s:

TRUE/1 および FALSE/0 の場合、ファジー式はブール式と同じ結果を生成します。

他にも、より言語的な性質を持つヘッジと呼ばれる演算子を適用することができます。これらは通常、数式を使用して集合の意味を変更する、veryやasometimesなどの副詞です。^[15]

しかし、任意の選択テーブルが必ずしもファジー論理関数を定義するわけではありません。論文 (Zaitsev ら) ^[16]では、特定の選択テーブルがファジー論理関数を定義するかどうかを認識するための基準が定式化されており、最小値と最大値の構成要素の概念に基づいて、ファジー論理関数合成の簡単なアルゴリズムが提案されています。ファジー論理関数は、最小値の構成要素の論理和を表します。ここで、最小値の構成要素は、現在の領域の変数の論理和であり、この領域の関数値以上です (不等式内の関数値の右側、関数値を含む)。

AND/OR演算子のもう1つのセットは乗算に基づいており、

x かつ y = x*y
x = 1 - x ではない

したがって、
x または y = NOT( AND( NOT(x), NOT(y) ) )
x または y = NOT( AND(1-x, 1-y) )
x または y = NOT( (1-x)*(1-y) )
x または y = 1-(1-x)*(1-y)
x または y = x+y-xy

AND/OR/NOT のうち 2 つが与えられれば、3 つ目を導出することができます。AND の一般化は、 t ノルムのインスタンスです。

IF-THEN ルールは、入力または計算された真理値を目的の出力真理値にマッピングします。例:

温度が非常に低い場合は、ファン速度は停止します
温度が低い場合はファン速度が遅くなります
温度が暖かい場合は、ファン速度は中程度です
温度が高い場合、ファン速度は速くなります

特定の温度が与えられると、ファジー変数hot には特定の真理値があり、それがhigh変数にコピーされます。

出力変数が複数の THEN 部分に出現する場合、それぞれの IF 部分の値は OR 演算子を使用して結合されます。

目標は、あいまいな真理値から連続変数を取得することです。^{[引用が必要]}

出力の真理値が、与えられた数値のファジー化から得られた値とまったく同じであれば、これは簡単です。ただし、出力の真理値はすべて独立して計算されるため、ほとんどの場合、そのような数値セットを表すことはありません。^{[引用が必要]} 次に、真理値にエンコードされた「意図」に最も一致する数値を決定する必要があります。たとえば、fan_speed のいくつかの真理値の場合、変数「slow」、「moderate」などの計算された真理値に最も適合する実際の速度を見つける必要があります。^{[引用が必要]}

この目的のための単一のアルゴリズムは存在しません。

一般的なアルゴリズムは

1. 各真理値について、この値でメンバーシップ関数をカットします
2. OR演算子を使用して結果の曲線を結合する
3. 曲線の下の領域の重心を見つける
4. この中心の x 位置が最終的な出力になります。

TSKシステム^[17]はマムダニに似ていますが、ファジィルールの実行に非ファジィ化プロセスが含まれています。これらも適応されており、代わりにルールの結果が多項式関数（通常は定数または線形）を介して表されます。定数出力を持つルールの例は次のようになります。

気温が非常に低い場合 = 2

この場合、出力は結果の定数（例：2）に等しくなります。ほとんどのシナリオでは、2 つ以上のルールを含むルール ベース全体があります。この場合、ルール ベース全体の出力は、各ルール i の結果の平均（Y _{i ）になり、その前件のメンバーシップ値（h i} ）に応じて重み付けされます。

${\displaystyle {\frac {\sum _{i}(h_{i}\cdot Y_{i})}{\sum _{i}h_{i}}}}$

線形出力を持つルールの例は次のようになります。

気温が非常に低く、湿度が高い場合 = 2 * 気温 + 1 * 湿度

この場合、ルールの出力は結果の関数の結果になります。関数内の変数は、明確な値ではなく、ファジー化後のメンバーシップ値を表します。前と同じように、2 つ以上のルールを含むルール ベース全体がある場合、合計出力は各ルールの出力間の加重平均になります。

TSK を Mamdani よりも使用する主な利点は、計算効率が高く、PID 制御や最適化アルゴリズムなどの他のアルゴリズム内でも適切に機能することです。また、出力面の連続性も保証できます。ただし、Mamdani の方が直感的で、人間が操作しやすいです。そのため、TSK は通常、適応型ニューロ ファジー推論システムなどの他の複雑な方法で使用されます。

ファジー システムの出力はすべての入力とすべてのルールの合意であるため、入力値が利用できないか信頼できない場合でも、ファジー ロジック システムは適切に動作します。ルールベースの各ルールにはオプションで重み付けを追加でき、重み付けを使用してルールが出力値に及ぼす影響の度合いを制御できます。これらのルールの重み付けは、各ルールの優先度、信頼性、または一貫性に基づいて行うことができます。これらのルールの重み付けは静的である場合もあれば、他のルールからの出力に基づいて動的に変更される場合もあります。

ファジー ロジックは制御システムで使用され、専門家が「目的の駅に近く、高速で移動している場合は、列車のブレーキ圧を上げる」などの漠然としたルールを提供できるようにします。これらの漠然としたルールは、システム内で数値的に洗練されます。

ファジー論理の初期の成功した応用の多くは日本で実施されました。最初の注目すべき応用は仙台地下鉄1000系で、ファジー論理によって乗車の経済性、快適性、精度を向上させることができました。また、ソニーのポケットコンピュータの手書き認識、ヘリコプターの飛行補助、地下鉄システムの制御、自動車の燃費向上、ボタンひとつで操作できる洗濯機の制御、掃除機の自動電源制御、気象庁地震研究所による地震の早期認識などにも使用されています。^[18]

ニューラルネットワークベースの人工知能とファジー論理は、分析すると同じものであることがわかります。つまり、ニューラルネットワークの基盤となる論理はファジーなのです。ニューラルネットワークは、さまざまな値の入力を受け取り、それらに互いに対して異なる重みを与え、中間値を一定回数組み合わせ、特定の値の決定に到達します。そのプロセスのどこにも、非ファジー数学、コンピュータプログラミング、デジタルエレクトロニクスを特徴付ける二者択一の決定のシーケンスのようなものは存在しません。 1980年代、研究者は、機械学習に対する最も効果的なアプローチが決定木学習かニューラルネットワークかについて意見が分かれていました。前者のアプローチは、それが実行されるハードウェアに一致するバイナリロジックを使用しますが、多大な努力にもかかわらず、インテリジェントなシステムにはつながりませんでした。対照的に、ニューラルネットワークは、複雑な状況の正確なモデルをもたらし、すぐに多数の電子機器に採用されるようになりました。^[19]また、以前はデジタルチップ上で疑似アナログ実装されていましたが、今ではアナログマイクロチップ上に直接実装することもできます。これらの効率性の向上により、さまざまな使用ケースでアナログの本来の精度の低さを補うことができます。

ファジー ロジックは、医療上の意思決定において重要な概念です。医療およびヘルスケアのデータは主観的またはあいまいな場合があるため、この分野のアプリケーションでは、ファジー ロジック ベースのアプローチを使用することで大きなメリットが得られる可能性があります。

ファジー論理は、医療上の意思決定の枠組みの中で、さまざまな側面で使用することができます。そのような側面には、^医療画像解析、生体信号解析、画像^{[23]または信号}のセグメンテーション、画像^{[23]または信号の}特徴抽出/選択[ ^{24]などが含まれます[20] [ 21} ] [22] [説明が必要]。

この応用分野における最大の問題は、ファジー論理を使用するとどれだけの有用な情報が得られるかということです。大きな課題は、必要なファジーデータをどのように得るかです。人間（通常は患者）からそのようなデータを引き出さなければならない場合、これはさらに困難になります。

「皮肉なことに、医療診断において何が達成可能で何が達成不可能かという範囲は、それ自体が曖昧なものである」

— セブンチャレンジズ、2019年。^[25]

ファジーデータをどのように引き出し、そのデータの正確性を検証するかは、ファジー論理の応用と深く関連しており、現在も進行中の取り組みです。ファジーデータの質を評価するという問題は難しいものです。このため、ファジー論理は医療意思決定の応用分野において非常に有望な可能性を秘めていますが、その潜在能力を最大限に発揮するには、さらなる研究が必要です。^[25]

ファジー論理の一般的な応用分野の一つは、医療における画像ベースのコンピュータ支援診断である。 ^[26]コンピュータ支援診断は、医師の診断上の意思決定を支援するために使用できる相互に関連するツールのコンピュータ化されたセットである。

ファジー関係が定義されると、ファジーリレーショナルデータベースを開発することができます。最初のファジーリレーショナルデータベースである FRDB は、Maria Zemankovaの博士論文 (1983 年) に登場しました。その後、Buckles-Petry モデル、Prade-Testemale モデル、Umano-Fukami モデル、JM Medina、MA Vila らによる GEFRED モデルなど、他のモデルも登場しました。

P. Bosc らによるSQLfや J. Galindo らによる FSQLなど、ファジー クエリ言語が定義されています。これらの言語では、ファジー条件、ファジー比較子、ファジー定数、ファジー制約、ファジーしきい値、言語ラベルなどのファジー側面を SQL ステートメントに含めるために、いくつかの構造が定義されています。

数理論理学には「ファジー論理」の形式体系がいくつかあり、そのほとんどはt ノルム ファジー論理のファミリーに属します。

最も重要な命題ファジー論理は次のとおりです。

• モノイド t ノルムベースの命題ファジー論理MTL は、連言が左連続t ノルムによって定義され、含意が t ノルムの残余として定義される論理の公理化です。そのモデルは、前線形可換有界積分残余格子である MTL 代数に対応します。
• 基本的な命題ファジー論理BL は、連言が連続 t ノルムによって定義され、含意も t ノルムの残余として定義される MTL 論理の拡張です。そのモデルは BL 代数に対応します。
• Łukasiewicz ファジー論理は、標準結合が Łukasiewicz t ノルムである基本ファジー論理 BL の拡張です。基本ファジー論理の公理に加えて二重否定の公理を持ち、そのモデルはMV 代数に対応します。
• ゲーデル ファジー論理は、基本的なファジー論理 BL の拡張であり、連言はゲーデルt ノルム (つまり、最小値) です。BL の公理に加えて、連言の冪等性の公理を持ち、そのモデルは G 代数と呼ばれます。
• 積ファジー論理は、積が積 t ノルムである基本ファジー論理 BL の拡張です。積ファジー論理には BL の公理に加えて、積の相殺性に関する別の公理があり、そのモデルは積代数と呼ばれます。
• 評価構文を持つファジー論理 (Pavelka 論理とも呼ばれる) は、EVŁ で示され、数学的なファジー論理をさらに一般化したものです。上記の種類のファジー論理は従来の構文と多値セマンティクスを持ちますが、EVŁ では構文も評価されます。つまり、各式には評価があります。EVŁ の公理化は、Łukasziewicz ファジー論理に由来しています。古典的なゲーデルの完全性定理の一般化は、EVŁ で証明できます^{[引用が必要]}。

述語論理が命題論理から作成される方法と同様に、述語ファジー論理は全称量指定子と存在量指定子によってファジー システムを拡張します。tノルム ファジー論理における全称量指定子の意味は量化された部分式のインスタンスの真理度の下限であり、存在量指定子の意味は同 上限です。

「決定可能部分集合」と「再帰的に列挙可能な部分集合」という概念は、古典数学と古典論理の基本的な概念である。したがって、これらの概念をファジィ集合論に適切に拡張するという問題は極めて重要である。この方向への最初の提案は、ES Santos によるファジィチューリングマシン、マルコフ正規ファジィアルゴリズム、ファジィプログラムの概念によってなされた(Santos 1970 を参照)。続いて、L. Biacino と G. Gerla は、提案された定義はむしろ疑問視されていると主張した。たとえば、^[27]では、ファジィチューリングマシンはファジィ言語理論には適していないことが示されており、これは、ファジィチューリングマシンでは認識できない、直感的に計算可能な自然ファジィ言語が存在するためである。その後、彼らは次の定義を提案した。Ü によって[0,1 ] 内の有理数の集合を表す。すると、 集合Sのファジー部分集合s  : S [0,1] が再帰的に列挙可能であるのは、再帰写像h  : S × N Üが存在し、S内のすべてのxに対して関数h ( x , n ) がnに関して増加し、s ( x ) = lim h ( x , n ) である場合です。 sとその補集合sの両方が再帰的に列挙可能である場合、s は決定可能であるといいます。 このような理論を L 部分集合の一般的なケースに拡張することは可能です (Gerla 2006 を参照)。 提案された定義はファジー論理とよく関連しています。 実際、次の定理が成り立ちます (検討対象のファジー論理の演繹装置が何らかの明らかな有効性特性を満たしている場合)。 ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

あらゆる「公理化可能な」ファジー理論は再帰的に列挙可能です。特に、有効な公式の明確な集合は一般に再帰的に列挙できないにもかかわらず、論理的に正しい公式のファジー集合は再帰的に列挙可能です。さらに、あらゆる公理化可能で完全な理論は決定可能です。

ファジー数学の「チャーチのテーゼ」を支持することは未解決の問題ですが、ファジー部分集合の再帰的可算性という提案された概念は適切なものです。これを解決するには、ファジー文法とファジーチューリングマシンの概念の拡張が必要です。もう 1 つの未解決の問題は、この概念から始めて、ゲーデルの定理 をファジー論理に拡張することです。

ファジー論理と確率は、異なる形態の不確実性に対処する。ファジー論理と確率論はどちらもある種の主観的信念の程度を表現できるが、ファジー集合論はファジー集合のメンバーシップの概念、すなわち観測が漠然と定義された集合内にどの程度含まれるかという概念を使用し、確率論は主観的確率の概念、すなわち何らかの事象または状態の発生頻度または可能性^{[説明が必要]}を使用する。ファジー集合の概念は、不確実性と曖昧さを共同でモデル化する確率論の欠如に対する回答として、 20世紀半ばにバークレー^[28]で開発された。^[29]

バート・コスコは『あいまいさ対確率』^[30]の中で、確率論はファジィ論理のサブ理論であると主張している。これは、確率論における相互排他的集合の帰属意識の程度の問題は、ファジィ理論における相互排他的でない段階的帰属意識の特定のケースとして表現できるからである。その文脈で、彼はまた、ファジィ部分集合の概念からベイズの定理を導出している。ロトフィ・A・ザデーは、ファジィ論理は確率とは性質が異なり、確率に代わるものではないと主張している。彼は確率をファジィ確率にファジィ化し、それを可能性理論に一般化した。^[31]

より一般的には、ファジー論理は、古典論理の範囲外の不確実性、多くの領域における確率論の不適用性、およびデンプスター・シェーファー理論のパラドックスの問題に対処することを目的とした、古典論理のさまざまな拡張の 1 つです。

計算理論家のレスリー・ヴァリアントは、ファジー論理（および「それほど堅牢でない」論理）のような、それほど正確ではないシステムや技術が学習アルゴリズムにどれだけ適用できるかを説明するためにエコリズムという用語を使用しています。ヴァリアントは本質的に機械学習を進化的なものとして再定義しています。一般的な用法では、エコリズムは、より複雑な環境（したがってエコ）から学習して、ソリューション ロジックを一般化、近似、および簡素化するアルゴリズムです。ファジー論理と同様に、エコリズムは、完全に列挙したり、離散的または正確に理解したりするには複雑すぎる連続変数またはシステムを克服するために使用される方法です。 ^[32]エコリズムとファジー論理には、確率よりも可能性を扱うという共通の性質もありますが、フィードバックとフィードフォワード、基本的には確率的重みは、たとえば動的システムを扱う場合の両方の特徴です。

真理値が 0 から 1 までの実数であり、AND および OR 演算子が MIN および MAX に置き換えられる別の論理システムは、ゲーデルの G _∞論理です。この論理はファジー論理と多くの類似点がありますが、否定の定義が異なり、内部的な含意があります。否定と含意は次のように定義されます。 ${\displaystyle \neg_{G}}$${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

これにより、結果として得られる論理システムは直観主義論理のモデルとなり、0 から 1 までの実数を真理値とする論理システムのあらゆる選択肢の中で、特に良好な動作をします。この場合、含意は「x は y より真でない」と解釈され、否定は「x は 0 より真でない」または「x は厳密に偽」と解釈され、任意の および に対して、となります。特に、ゲーデル論理では、否定はもはや反転ではなく、二重否定はゼロ以外の任意の値を 1 にマッピングします。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle AND(x,x\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} y)=AND(x,y)}$

補償ファジー論理 (CFL) は、連言と選言のルールを修正したファジー論理の分野です。連言または選言の 1 つのコンポーネントの真理値が増加または減少すると、もう 1 つのコンポーネントが補償のために減少または増加します。この真理値の増加または減少は、別のコンポーネントの増加または減少によって相殺される場合があります。特定のしきい値が満たされると、相殺がブロックされる場合があります。支持者^{[誰? ]}は、 CFL によって計算上の意味動作が改善され、自然言語を模倣できると主張しています。^{[あいまい] [33] [34]}

Jesús Cejas Montero (2011) によると、補償ファジー論理は 4 つの連続演算子で構成されています。連言 (c)、選言 (d)、ファジー厳密順序 (or)、否定 (n) です。連言は幾何平均であり、連言演算子と選言演算子としての双対です。^[35]

IEEE 1855（IEEE STANDARD 1855–2016）は、IEEE Standards Associationによって開発されたファジーマークアップ言語（FML）^[36]という仕様言語に関するものです。FMLを使用すると、人間が読めるハードウェアに依存しない方法でファジーロジックシステムをモデル化できます。FMLはeXtensible Markup Language（XML）に基づいています。FMLを使用したファジーシステムの設計者は、相互運用可能なファジーシステムを記述するための統一された高レベルの方法論を持っています。IEEE STANDARD 1855–2016は、W3C XMLスキーマ定義言語を使用して、FMLプログラムの構文とセマンティクスを定義します。

FMLが導入される前は、ファジー論理の専門家は、ソフトウェア機能に、IEC 61131のパート7で説明および指定されたファジー制御言語（FCL）と互換性のある形式で作業結果を読み取り、正しく解析し、保存する機能を追加することで、ファジーアルゴリズムに関する情報を交換できました。^{[37] [38]}

• IEC 1131-7 CD1 2021-03-04ウェイバックマシンにアーカイブされましたIEC 1131-7 CD1 PDF
• ファジーロジック – Scholarpediaの記事
• 言葉によるモデリング – Scholarpedia の記事
• ファジー論理 –スタンフォード哲学百科事典の記事
• ファジー数学 – ファジーロジックの初心者向け入門
• 曖昧さと正確さ – 日常生活、科学、宗教、倫理、政治などにおける曖昧さ。
• Fuzzylite – C++ で書かれたクロスプラットフォームの無料オープンソース ファジー ロジック コントロール ライブラリ。QT4 には非常に便利なグラフィック ユーザー インターフェイスも備わっています。
• より柔軟な機械学習 - MIT が 1 つのアプリケーションについて説明します。
• 意味的類似性はWayback Machineに 2015-10-04 にアーカイブされています。MITでは、あいまいな意味的類似性について詳細に説明しています。