カイラリティ（物理学）

カイラル現象は、その鏡像と同一ではない現象です(数学的カイラリティに関する記事を参照)。粒子のスピンは、その粒子の左右性、つまりヘリシティを定義するために使用できます。質量のない粒子の場合、これはカイラリティと同じです。この 2 つの間の対称変換はパリティ変換と呼ばれます。ディラック フェルミオンによるパリティ変換に対する不変性は、カイラル対称性と呼ばれます。

粒子のらせん性は、スピンの方向が運動の方向と同じ場合、正（「右巻き」）です。スピンと運動の方向が反対の場合、負（「左巻き」）です。したがって、針の回転によってスピン ベクトルが定義される標準的な時計は、面を前に向けて投げると左巻きのらせん性を持ちます。

数学的には、ヘリシティはスピン ベクトルを運動量 ベクトルに投影した符号です。「左」は負、「右」は正です。

粒子のカイラリティはより抽象的です。それは粒子がポアンカレ群の右手表現に変換するか左手表現に変換するかによって決まります。^[a]

質量のない粒子（光子、グルーオン、（仮想の）重力子）の場合、カイラリティはヘリシティと同じです。つまり、与えられた質量のない粒子は、観察者の視点に関係なく、その運動軸に沿って同じ方向に回転しているように見えます。

電子、クォーク、ニュートリノなどの質量を持つ粒子の場合、カイラリティとヘリシティを区別する必要があります。これらの粒子の場合、観測者が回転粒子よりも速く移動する基準フレームに変更することが可能であり、その場合、粒子は後方に動いているように見え、そのヘリシティ (「見かけのカイラリティ」と考えることができます) は反転します。つまり、ヘリシティは運動定数ですが、ローレンツ不変ではありません。カイラリティはローレンツ不変ですが、運動定数ではありません。質量を持つ左巻きスピノルは、伝播すると時間の経過とともに右巻きスピノルに進化し、その逆も同様です。

質量のない粒子は光速で運動するため、実際の観測者（常に光速未満で移動する必要がある）は、粒子が相対的なスピン方向を反転するように見える参照フレーム内にいることはできません。つまり、すべての実際の観測者は同じヘリシティを見ることになります。このため、質量のない粒子のスピンの方向は、粒子の運動方向の慣性参照フレームの変更（ローレンツブースト）の影響を受けず、投影（ヘリシティ）の符号はすべての参照フレームで固定されます。質量のない粒子のヘリシティは、質量のない粒子のカイラリティと常に一致する相対論的不変量（すべての慣性参照フレームで値が同じ量）です。

ニュートリノ振動の発見はニュートリノが質量を持つことを意味しており、したがって光子は唯一質量がないことが確認された粒子である。グルーオンも質量がないと予想されるが、これは決定的に検証されていない。^[b]したがって、これらは現在知られているヘリシティがカイラリティと同一である可能性がある唯一の2つの粒子であり、光子のみが測定によって確認されている。観測された他のすべての粒子は質量を持っているため、異なる基準フレームでは異なるヘリシティを持つ可能性がある。^[c]

素粒子物理学者は、荷電された弱い相互作用に関与する左カイラルなフェルミオンと右カイラルな反フェルミオンのみを観察したり推測したりしてきた。^[1]原理的には左カイラルなフェルミオンと右カイラルな反フェルミオンの両方と関与できる弱い相互作用の場合、相互作用するのは左利きのフェルミオン2つだけである。右利きまたは反対利きのフェルミオンを含む相互作用は発生しないことが示されており、これは宇宙が左利きのカイラリティを好むことを意味している。あるカイラル実現を他のカイラリティよりも優先するこの方法はパリティに違反しており、これは呉建豪の有名な実験である呉実験で初めて指摘された。パリティは他のすべての基本的な相互作用に当てはまる対称性であるため、これは驚くべき観察である。

ディラック粒子 ψのカイラリティは、固有値±1を持つ演算子γ ⁵によって定義されます。固有値の符号は粒子のカイラリティに等しく、右巻きの場合は +1、左巻きの場合は -1 です。したがって、任意のディラック場は、射影演算子⁠を作用させることによって、左巻きまたは右巻きの成分に射影できます。 1/2⁠ (1 − γ ⁵ )または⁠1/2⁠ (1 + γ ⁵ )をψ上に置きます。

荷電した弱い相互作用とフェルミオンの結合は、この相互作用のパリティ対称性の破れの原因となる最初の射影演算子に比例します。

よくある混乱の原因は、カイラリティー演算子γ ⁵とヘリシティ演算子の混同です。質量のある粒子のヘリシティはフレームに依存するため、ある参照フレームでは同じ粒子が弱い力と相互作用するが、別の参照フレームではそうではないように見えるかもしれません。このパラドックスの解決策は、カイラリティー演算子がヘリシティと等価なのは質量のないフィールドに対してのみであり、その場合ヘリシティはフレームに依存しないということです。対照的に、質量のある粒子の場合、カイラリティーはヘリシティと同じではありません。あるいは、ヘリシティはローレンツ不変ではないため、弱い相互作用にはフレーム依存性はありません。つまり、1 つのフレームで弱い力に結合する粒子は、どのフレームでも結合します。

カイラリティに関して非対称な理論はカイラル理論と呼ばれ、非カイラル（つまりパリティ対称）理論はベクトル理論と呼ばれることもあります。物理学の標準モデルの多くの部分は非カイラルであり、これは カイラル理論における異常性のキャンセルに起因するものです。量子色力学はベクトル理論の一例です。すべてのクォークの両方のカイラリティが理論に現れ、同じようにグルーオンに結合するからです。

20 世紀半ばに開発された電弱理論は、カイラル理論の一例です。当初、この理論ではニュートリノは質量がないと仮定し、左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみが存在すると仮定していました。ニュートリノ振動の観測により、ニュートリノは(他のすべてのフェルミオンと同様に)質量を持つことが判明し、改訂された電弱相互作用の理論では、現在では右巻きニュートリノと左巻きニュートリノの両方が対象となっています。ただし、パリティ対称性を尊重していないため、依然としてカイラル理論です。

ニュートリノの正確な性質はまだ解明されておらず、そのため提案されている電弱理論は多少異なりますが、ほとんどの理論は、他のすべてのフェルミオンに対してすでに行われたのと同じ方法でニュートリノのカイラリティを考慮に入れています。

質量ゼロのディラック電子場 ψ を持つベクトルゲージ理論は カイラル対称性を示します。つまり、左手系と右手系の成分を独立に回転しても理論に違いはありません。これを回転が場に及ぼす作用として次のように記述できます。

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\rightarrow e^{i\theta _{\rm {L}}}\psi _{\rm {L}}}$  そして  ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}\rightarrow \psi _{\rm {R}}}$

または

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\rightarrow \psi _{\rm {L}}}$  そして   ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}\rightarrow e^{i\theta _{\rm {R}}}\psi _{\rm {R}}.}$

N フレーバーの場合、代わりにユニタリ回転U( N ) _L × U( N ) _Rが存在します。

より一般的には、右手系と左手系の状態をスピノルに作用する射影演算子として記述する。右手系と左手系の射影演算子は、

${\displaystyle P_{\rm {R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}}$

そして

${\displaystyle P_{\rm {L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}}$

質量を持つフェルミオンはカイラル対称性を示さない。これはラグランジアン内の質量項m ψ ψがカイラル対称性を明示的に破るためである。

自発的なカイラル対称性の破れは、量子色力学で最も顕著に見られるように、いくつかの理論でも発生する可能性があります。

カイラル対称性変換は、左手系と右手系を同等に扱うベクトル対称性と、実際にはそれらを別々に扱う軸対称性とに分けられます。^[2]（現在の代数を参照）。カイラル対称性とその破れを符号化したスカラー場モデルがカイラルモデルです。

最も一般的なアプリケーションは、固定された参照フレームからの時計回りの回転と反時計回りの回転を均等に処理するものとして表現されます。

一般原理はしばしばカイラル対称性という名前で呼ばれる。この規則はニュートンとアインシュタインの古典力学では絶対的に有効であるが、量子力学実験の結果は左カイラルの素粒子と右カイラルの素粒子の挙動に違いがあることを示している。

質量のないクォークuとd（質量のあるフェルミオンはカイラル対称性を示さない） を持つ量子色力学（QCD）を考えてみましょう。ラグランジアンは

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}\,i\displaystyle {\not }D\,u+{\overline {d}}\,i\displaystyle {\not }D\,d+{\mathcal {L}}_{\mathrm {グルーオン} }~.}$

左巻きと右巻きのスピノルに関しては、

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}_{\rm {L}}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{\rm {L}}+{\overline {u}}_{\rm {R}}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{\rm {R}}+{\overline {d}}_{\rm {L}}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{\rm {L}}+{\overline {d}}_{\rm {R}}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{\rm {R}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {グルーオン} }~.}$

(ここで、i は虚数単位、ディラック演算子です。) ${\displaystyle \displaystyle {\not }D}$

定義

${\displaystyle q={\begin{bmatrix}u\\d\end{bmatrix}},}$

次のように書くことができる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {q}}_{\rm {L}}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{\rm {L}}+{\overline {q}}_{\rm {R}}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{\rm {R}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {グルーオン} }~.}$

ラグランジアン関数は、q _Lを任意の 2×2 ユニタリ行列Lで回転しても、またq _{R を}任意の 2×2 ユニタリ行列Rで回転しても変化しません。

このラグランジアンの対称性はフレーバーカイラル対称性と呼ばれ、U(2) _L × U(2) _Rと表記される。これは次のように分解される。

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)_{\text{L}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{R}}\times \mathrm {U} (1)_{V }\times \mathrm {U} (1)_{A}~.}$

シングレットベクトル対称性U(1) _Vは次のように作用する。

${\displaystyle q_{\text{L}}\rightarrow e^{i\theta (x)}q_{\text{L}}\qquad q_{\text{R}}\rightarrow e^{i\theta (x)}q_{\text{R}}~,}$

そしてU(1)ゲージ対称性の下では不変である。これは重粒子数の保存則に対応する。

一重項軸群 U(1) _Aは 次の大域変換として変換される。

${\displaystyle q_{\text{L}}\rightarrow e^{i\theta }q_{\text{L}}\qquad q_{\text{R}}\rightarrow e^{-i\theta }q_{\text{R}}~.}$

しかし、関連する軸電流は保存されないため、これは保存量には対応しません。これは量子異常によって明確に破られています。

残りのカイラル対称性SU(2) _L × SU(2) _{R は}、 QCD グルーオンの非摂動作用によって形成されたクォーク凝縮によって自発的に破れ、アイソスピンとして知られる対角ベクトルサブグループSU(2) _Vになることが判明しました。3つの破れた生成元に対応するゴールドストーン粒子は、3 つのパイ中間子です。結果として、重粒子などの QCD 束縛状態の有効理論には、破れていないカイラル対称性によって表面上は認められていない、それらの質量項を含めなければなりません。したがって、このカイラル対称性の破れは、核子などのハドロン質量の大部分、つまり実質的にすべての目に見える物質の質量の大部分を引き起こします。 ${\displaystyle \textstyle \langle {\bar {q}}_{\text{R}}^{a}q_{\text{L}}^{b}\rangle =v\delta ^{ab}}$

現実の世界では、クォークの質量はゼロではなく異なるため、SU(2) _L × SU(2) _Rはそもそも近似対称性に過ぎず^{[3] 、したがってパイ中間子は質量がゼロではなく、小さな質量を持ち、}擬ゴールドストーン粒子である。^[4]

より「軽い」クォーク種、 一般にN フレーバーの場合、対応するカイラル対称性はU( N ) _L ×U( N ) _R′となり、次のように分解される。

${\displaystyle \mathrm {SU} (N)_{\text{L}}\times \mathrm {SU} (N)_{\text{R}}\times \mathrm {U} (1)_{V }\times \mathrm {U} (1)_{A}~,}$

そして非常に類似したカイラル対称性の破れのパターンを示します。

最も一般的には、N = 3が取られ、u、d、s クォークは軽いとされ ( 8 重の方法)、したがって対称性が最低次まで意味を持つように質量はほぼゼロになりますが、他の 3 つのクォークは十分に重いため、実用上、残留カイラル対称性がほとんど見えません。

理論物理学では、電弱模型はパリティを最大限に破る。そのフェルミオンはすべてカイラルワイルフェルミオンであり、これは荷電弱ゲージボソンW ⁺とW ^−が左利きのクォークとレプトンとのみ結合することを意味する。^[d]

一部の理論家はこれに異議を唱え、右利きのクォークやレプトンと結合する 新しい高エネルギーのW′ ボソンと Z′ ボソンを持つ弱い力の大統一的拡張を推測しました。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {SU} (2)_{\text{W}}\times \mathrm {U} (1)_{Y}}{\mathbb {Z} _{2}}} }$

に

${\displaystyle {\frac {\mathrm {SU} (2)_{\text{L}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{R}}\times \mathrm {U} (1 )_{BL}}{\mathbb {Z} _{2}}}.}$

ここで、SU(2) _L（「SU(2)レフト」と発音）は上からのSU(2) _{Wであり、} B−Lは重粒子数からレプトン数を引いたものである。このモデルにおける電荷の式は次のように与えられる。

${\displaystyle Q=T_{\rm {3L}}+T_{\rm {3R}}+{\frac {BL}{2}}\,;}$

ここで、およびは理論における場の 左および右の弱アイソスピン値です。${\displaystyle \T_{\rm {3L}}\}$${\displaystyle \T_{\rm {3R}}\}$

クロモ力学 SU(3) _Cもあります。これは左右対称性を導入することでパリティを回復するというアイデアです。これは左右対称性 の群拡張です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {SU} (3)_{\text{C}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{L}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{R}}\times \mathrm {U} (1)_{B-L}}{\mathbb {Z} _{6}}}}$

半直積に

${\displaystyle {\frac {\mathrm {SU} (3)_{\text{C}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{L}}\times \mathrm {SU} (2)_{\text{R}}\times \mathrm {U} (1)_{B-L}}{\mathbb {Z} _{6}}}\rtimes \mathbb {Z} _{2}\ .}$

これには2つの連結成分があり、自己同型として機能します。これは、SU(3) _Cの反転外部自己同型と、 SU(2)の左右のコピーの交換と、 U(1) _B−Lの反転を組み合わせたものです。MohapatraとSenjanovic（1975）^[5]は、左右対称性が自発的に破れてカイラル低エネルギー理論を与えることを示し、これはGlashow 、Weinberg、Salamの標準モデルであり、また、観測されたニュートリノ質量が小さいことをシーソー機構を介して左右対称性の破れに結び付けています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

この設定では、カイラルクォークは

${\displaystyle (3,2,1)_{+{1 \over 3}}}$

そして

${\displaystyle \left({\bar {3}},1,2\right)_{-{1 \over 3}}}$

既約表現（「irrep」） に統合される

${\displaystyle (3,2,1)_{+{1 \over 3}}\oplus \left({\bar {3}},1,2\right)_{-{1 \over 3}}\ .}$

レプトンも既約表現に統一される

${\displaystyle (1,2,1)_{-1}\oplus (1,1,2)_{+1}\ .}$

標準模型に至るまで左右対称性の破れを実現するために必要な ヒッグス粒子は

${\displaystyle (1,3,1)_{2}\oplus (1,1,3)_{2}\ .}$

これにより、現在のニュートリノ振動データと完全に一致する3 つのステライル ニュートリノが生成されます。シーソー機構内では、ステライル ニュートリノは低エネルギーでの物理に影響を与えることなく超重ニュートリノになります。 ^[update]

左右対称性は自発的に破れるため、左右モデルはドメイン壁を予測する。この左右対称性の考え方は、パティ・サラムモデル（1974）^[6]とモハパトラ・パティモデル（1975）^{[7]で初めて登場した。}

• Walter Greiner、Berndt Müller (2000)。弱い相互作用のゲージ理論。Springer。ISBN 3-540-67672-4。
• ゴードン・L・ケイン（1987年）。現代素粒子物理学。ペルセウスブックス。ISBN 0-201-11749-5。
• Kondepudi , Dilip K .; Hegstrom, Roger A. (1990 年 1月)。「宇宙の利き手」。Scientific American。262 ( 1): 108–115。Bibcode :1990SciAm.262a.108H。doi :10.1038/scientificamerican0190-108。
• ウィンターズ、ジェフリー (1995 年 11 月)。「Looking for the Right Hand」。Discover。2015年9月 12 日閲覧。

• カイラリティとヘリシティの相違点と類似点 (ここで取り上げられているものやその他) の概要を図表形式で見るには、量子場理論の教育補助にアクセスし、ページの下部にある「カイラリティとヘリシティの概要」というリンクをクリックしてください。速度が光速に近づくにつれてカイラリティとヘリシティが同じものに近づく様子も示す、例を挙げた 2 つの詳細な説明を見るには、同じページの「カイラリティとヘリシティの詳細」というリンクをクリックしてください。
• 科学史: パリティ違反
• ヘリシティ、カイラリティ、質量、そしてヒッグス (Quantum Diaries ブログ)
• カイラリティ対ヘリシティチャート (Robert D. Klauber)