残余有限群

群論の数学分野では、群Gは、Gの単位元ではないすべての要素gに対して、Gから有限群への準同型写像h が存在し、${\displaystyle h(g)\neq 1.\,}$^{[ 1 ]}

同等の定義はいくつか存在する。

• 群が残余有限であるとは、その群に含まれる単位元以外のすべての元に対して、その元を含まない有限指数の正規部分群が存在する場合をいう。
• 群が残余有限であるのは、その有限指数を持つすべての部分群の共通部分が自明である場合に限る。
• 群が剰余有限であるのは、その有限指数を持つすべての正規部分群の共通部分が自明である場合に限る。
• 群が剰余有限であるのは、それが有限群の族の直積の中に埋め込むことができる場合、かつその場合に限る。

グループ​${\displaystyle G}$すべての${\displaystyle 1_{G}\neq g\in G}$^{[ a ]} 、ある有限群が存在する${\displaystyle F}$そしていくつかの群準同型${\displaystyle \phi :G\to F}$そのため${\displaystyle \phi (g)\neq 1_{F}}$^{[ 2 ]}残余有限群には他にも同等の特徴付けがある。

• グループ${\displaystyle G}$が残余有限であるのは、すべての に対して、${\displaystyle g,h\in G}$どこ${\displaystyle g\neq h}$有限群が存在する${\displaystyle F}$そしていくつかの群準同型${\displaystyle \phi :G\to F}$そのため${\displaystyle \phi (g)\neq \phi (h)}$[ ^{3 ]​}
• 群が残余有限であるのは、その残余部分群（またはプロ有限核）が自明である場合に限る。群の残余部分群は、有限指数を持つすべての部分群の共通部分、または同等に、有限指数を持つすべての正規部分群の共通部分である。^{[ 4 ]}
• 群が剰余有限であるのは、それが有限群の族の直積の部分群と同型である場合に限る。 ^{[ 5 ]}

すべての有限群は残余有限群である。これは、群自体を有限群とみなし、その恒等準同型を有限群への準同型とみなすことで示すことができる。^{[ 6 ]}

整数は無限剰余有限群の一例である。任意のゼロでない整数が与えられた場合${\displaystyle k}$そして${\displaystyle m}$整数で${\displaystyle m>|k|}$整数から整数群への標準準同型写像${\displaystyle m}$、${\displaystyle \phi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } はマッピングしません${\displaystyle k}$に${\displaystyle 0}$^{[ 7 ]}行列のエントリに対して同様の手法が行われた。${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {Z} )}$、 のために${\displaystyle n\geq 1}$、この群も残余有限であることを示しています。^{[ 8 ]}より一般的には、すべての有限生成アーベル群は残余有限です。^{[ 9 ]}さらに、任意の有限生成残余有限群の自己同型群は残余有限になります。^{[ 10 ]}

残余有限群の部分群はそれ自体も残余有限である。^{[ 11 ]}残余有限群の直積^{[ 12 ]}と直和^{[ 13 ]}も残余有限となる。

残余有限群の逆極限は残余有限である。[ 14 ^]特に、すべてのプロ有限群は残余有限である。^{[ 15 ]}プロ有限群の一例として、p進整数群がある。^{[ 16 ]}

ある群が有限指数を持つ部分群を持ち、それが残余有限群である場合（つまり、実質的に残余有限群である場合）、その群もまた残余有限群である。^{[ 17 ]}

残余有限群のその他の例としては、自由群^{[ 18 ]}、有限生成冪零群、多環群^{[ 19 ]}、有限生成線形群^{[ 20 ]}、コンパクト3次元多様体の基本群^{[ 21 ]}などがある。

有限表示残余有限群には解ける単語問題^{[ 32 ]}があり、これは群の生成元が与えられたときに単位元に等しい単語を見つける手順が存在することを意味します^{[ 33 ]}。

任意の群Gは、単位元の開近傍の基底として、 Gの有限指数を持つすべての正規部分群の集合を取ることによって位相群にすることができる。結果として得られる位相は、 G上のプロ有限位相と呼ばれる^{[ 34 ]}。群が残余有限であるのは、そのプロ有限位相がハウスドルフである場合のみである。^{[ 35 ]}この群が無限かつ有限生成である場合、その位相は完全に不連結であり、完備化はこの群の有限商の列の逆極限であるため、プロ有限群となる。^{[ 32 ]}

巡回部分群がプロ有限位相で閉じている群は、${\displaystyle \Pi _{C}\,}$有限生成部分群がプロ有限位相で閉じている群は、部分群分離可能（局所的に拡張された残余有限）群（ LERFとも呼ばれる）と呼ばれる。すべての共役類がプロ有限位相で閉じている群は、共役分離可能群と呼ばれる。

一つの疑問は、すべての群が剰余有限であるような多様体の性質とは何か、ということである。これに関する二つの結果は以下の通りである。

• 残余有限群のみからなる任意の多様体は、A群によって生成される。
• 残余有限群のみからなる任意の多様体には、すべての要素がその有限群の直積に埋め込まれるような有限群が含まれる。

• 残余性質（数学）

• チェッケリーニ＝シルベルスタイン、トゥリオ；コーナート、ミシェル（2023）。セルオートマトンと群（第2 版）。チャム：シュプリンガー。ISBN 978-3-031-43328-3。
• マグナス、ヴィルヘルム（1969年3月）。「残余有限群」。アメリカ数学会報。75 （2）：305–316。doi：10.1090 /S0002-9904-1969-12149- X。ISSN 0002-9904。