Aグループ

数学において、群論として知られる抽象代数の分野におけるA群は、アーベル群に似たタイプの群です。この群は 1940 年代にフィリップ・ホールによって初めて研究され、現在でも研究されています。その構造については多くのことが分かっています。

A 群は、そのすべてのシロー部分群がアーベル群であるという性質を持つ有限群です。

A 群という用語は、おそらく (Hall 1940、第 9 節) で初めて使用され、そこでは可溶性A 群に注目が限定されていました。Hall の発表は証明のないかなり短いものでしたが、彼の発言はすぐに (Taunt 1949) の証明で拡張されました。A群の表現論は(Itô 1952) で研究されました。その後、Carter は(Carter 1962) で、 Carter サブグループと Hall の研究との重要な関係を発表しました。Hall、Taunt、および Carter の研究は、(Huppert 1967) で教科書の形で発表されました。可溶性 A 群への焦点は、(Walter 1969) での有限単純 A 群の分類によって広がり、(Broshi 1971) で Taunt の研究を有限群に一般化できるようになりました。A 群への関心は、 (Ol'šanskiĭ 1969) で議論された群の多様体との重要な関係によっても広がりました。 A 群に対する現代的な関心は、新しい列挙技術によって、(Venkataraman 1997) における A 群の 異なる同型類の数に厳密な漸近的境界が可能になったときに再燃しました。

A グループについては次のことが言えます。

• A 群のすべての部分群、商群、直積はA 群です。
• すべての有限アーベル群は A 群です。
• 有限冪零群は、可換群である場合に限り、A 群である。
• 3 点上の対称群は、アーベル群ではない A 群です。
• 立方体のない順序を持つすべてのグループはA グループです。
• A 群の導出長さは任意の大きさにすることができますが、(Hall 1940) で述べられ、教科書の形式では (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.16) として示されている順序の異なる素因数の数よりも大きくなることはありません。
• 下側のべき零級数は導来級数と一致する(Hall 1940)。
• 可解な A 群には、唯一の最大アーベル正規部分群があります (Hall 1940)。
• 解けるA群のフィッティング部分群は導来級数の項の中心の直積に等しく、これは(Hall 1940)で最初に述べられ、(Taunt 1949)で証明され、(Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.8)で教科書の形式で提示された。
• 非可換有限単純群は、(Walter 1969)に示されているように、最初のヤンコ群またはPSL(2, q ) （ q > 3かつq = 2 ⁿまたはq ≡ 3,5 mod 8のいずれか）に同型である場合に限り、A群である。
• 有限群によって生成される多様体内のすべての群は、(Ol'šanskiĭ 1969) に示されているように、その群が A 群である場合に限り、有限近似可能である。
• シロー部分群が巡回的なZ 群と同様に、A 群は局所構造の制約により、一般の有限群よりも研究しやすい。たとえば、固定されているが任意のシロー部分群を持つ可溶群を列挙した後で、より正確な可溶 A 群の列挙が見つかった (Venkataraman 1997)。より簡単な説明は (Blackburn、Neumann、Venkataraman 2007、第 12 章) に示されている。

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