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数学において、ホップ群とは、任意のエピモフィズムを満たす群 Gである。
- き→き
は同型である。同様に、群がホップ群であるためには、その群のどの固有商とも同型でない必要がある。[1]
- き→き
は同型である。同様に、G はその適切な部分群のいずれとも同型ではない。
ホップ群の例
非ホップ群の例
- 準環式グループ。
- 実数の加法群R。[2 ]
- バウムスラッグ・ソリター群 B (2,3)。(一般にB ( m , n ) が非ホップ群であるための必要十分条件は、p | m、q | nかつp ∤ n、q ∤ mを満たす素数p、qが存在することである) [ 3]
プロパティ
グループの有限表現が与えられた場合、グループがホップ群であるかどうかを判断することは決定不可能な問題であることが、コリンズ (1969) によって示されました。グループの多くの特性の決定不可能性と異なり、ホップ群性はミラーとシュップ (1971) によって示された マルコフ特性ではないため、これはアディアン-ラビンの定理の結果ではありません。
参考文献
- ^ Florian Bouyer. 「定義 7.6.」. 群のプレゼンテーション(PDF) . ウォーリック大学.
群 G が非ホップ群であるとは、1 ≠ N ◃ G が存在し、G/N ≅ G となる場合である。
- ^ Clark, Pete L. (2012 年 2 月 17 日)。「常に、単射ではない群の射影自己準同型を見つけることはできますか?」。Math Stack Exchange。これは、(
R
,+) が捩れがなく、分割可能であり、したがって
Q
ベクトル空間であるためです
。したがって、選択公理により、すべてのベクトル空間には基底があるため、連続体基数の集合でインデックス付けされた (
Q
,+) のコピーの直和と同型です。これにより、ホップ特性が明確になります。
- ^ Florian Bouyer. 「定理 7.7」. 群のプレゼンテーション(PDF) . ウォーリック大学.
- コリンズ、DJ (1969)。 「ホップ群の認識について」。数学のアーカイブ。20 (3): 235–240。土井：10.1007/BF01899291。S2CID 119354919。
- ジョンソン、 DL (1990)。群の表現。ロンドン数学協会学生テキスト。第15巻。ケンブリッジ大学出版局。p.35。ISBN 0-521-37203-8。
- ミラー、CF;シュップ、PE (1971)。 「ホプフィアングループへの組み込み」。代数ジャーナル。17 (2): 171.土井:10.1016/0021-8693(71)90028-7。
外部リンク
- PlanetMathのホップグループ。
- 数学百科事典における非ホップ群