初等アーベル群

数学、特に群論において、基本アーベル群は、単位元以外のすべての元が同じ位数を持つアーベル群である。この共通位数は素数でなければならず、共通位数がpである基本アーベル群はp群の特別な種類である。^{[1] [2]} p = 2である群（つまり、基本アーベル 2 群）は、ブール群と呼ばれることもある。^[3]

あらゆる基本アーベルp群はp個の元を持つ素体上のベクトル空間であり、逆に、そのようなベクトル空間はすべて基本アーベル群である。有限生成アーベル群の分類、またはあらゆるベクトル空間が基底を持つという事実により、あらゆる有限基本アーベル群は ( Z / p Z ) ⁿの形式でなければならない。ここでnは非負の整数 (群の階数と呼ばれることもある)である。ここで、Z / p Z は位数pの巡回群(またはp を法とする整数)を表し、上付き文字は群のn重直積を意味する。^[2]

一般に、（おそらく無限の）基本アーベルp群は位数pの巡回群の直和である。^[4]（有限の場合には直積と直和は一致するが、無限の場合にはそうではないことに注意。）

• 基本アーベル群 ( Z /2 Z ) ^{2 に}は 4 つの要素{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}があります。加算は成分ごとに実行され、結果は 2 を法として計算されます。たとえば、(1,0) + (1,1) = (0,1)です。これは実際にはクラインの 4 元群です。
• （必ずしも有限ではない）集合上の対称差によって生成される群では、すべての要素の位数は 2 です。このような群は、すべての要素が自身の逆元であるため、 xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ = yxとなり、必然的にアーベル群になります。このような群（ブール群とも呼ばれます）は、クラインの 4 群の例を任意の数の要素に一般化します。
• ( Z / p Z ) ^{n は}n個の要素によって生成され、n は生成元の最小の数です。特に、e _{i の}i番目の要素が 1 で、それ以外が 0 である集合{ e ₁ , ..., e _n }は、最小生成集合です。
• すべての有限基本アーベル群は、かなり単純な有限表現を持ちます。

  ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle }$

V ( Z / p Z ) ^{n が}有限基本アーベル群であるとします。 p個の元の有限体Z / p Z F _pなので、V = ( Z / p Z ) ⁿ F _p ⁿとなり、Vは体F _p上のn次元ベクトル空間と見なすことができます。 基本アーベル群は一般に明確な基底を持たないことに注意してください。同型V ( Z / p Z ) ⁿの選択は基底の選択に対応します。 ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {\overset {\cong }{\to }}}$

注意深い読者には、F _p ^{n は}群Vよりも構造が豊かであるように見えるかもしれません。特に、（ベクトル/群）加算に加えてスカラー乗算があります。しかし、アーベル群としてのVは、 Zの作用が繰り返し加算に対応するユニークなZ加群構造を持ち、このZ加群構造はF _pスカラー乗算と矛盾しません。つまり、c ⋅ g = g  +  g  + ... +  g ( c回) であり、ここでc はF _p （0 ≤ c  <  pの整数と見なされます ）内のc は、 V に自然なF _p加群構造を与えます。

有限次元ベクトル空間V は例で説明したように基底 { e ₁ , ..., e _n } を持つので、 { v ₁ , ..., v _n } をVの任意のn要素とすると、線型代数により、写像T ( e _i ) = v _{i は}Vの線型変換に一意に拡張されます。このような各T は、VからVへの群準同型(自己準同型) と見なすことができ、同様に、 Vの任意の自己準同型は、ベクトル空間としての Vの線型変換と見なすことができます。

Vの自己同型に着目すると、Aut( V ) = { T  : V → V | ker T = 0 } = GL _n ( F _p )、つまりF _p上のn  ×  n可逆行列の一般線型群が得られます。

自己同型群 GL( V ) = GL _n ( F _p ) は、 V \ {0}に推移的に作用します(任意のベクトル空間で当てはまります)。これは、実際にすべての有限群の中で基本アーベル群を特徴付けます。つまり、 G が単位元eを持つ有限群で、Aut( G ) がG \ { e } に推移的に作用する場合、Gは基本アーベルです。 (証明: Aut( G ) がG \ { e }に推移的に作用する場合、 Gのすべての非単位元は同じ (必ず素) 順序を持ちます。この場合、Gはp群です。したがって、Gには非自明な中心があり、これはすべての自己同型に対して必ず不変であるため、Gのすべてに等しくなります。)

素数位数成分を超えて素数冪位数まで考えることも興味深い。何らかの素数pに対して( p , p ,..., p )型の基本アーベル群Gを考える。同質巡回群^[5] (階数n ) は ( m , m ,..., m )型のアーベル群、すなわち、位数mのn 個の同型巡回群の直積であり、そのうち ( p ^k , p ^k ,..., p ^k ) 型の群は特別なケースである。

特別群は位数pの巡回群による基本アーベル群の拡張であり、ハイゼンベルク群に類似しています。

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