カーネル（代数）

代数学では、準同型写像（構造 を保存する関数）の核は、一般に0 の逆像です（ただし、乗法的に演算が示される群の場合は、核は 1 の逆像になります）。重要な特殊なケースとして、線型写像 の核があります。行列 の核は、ヌル空間とも呼ばれ、行列によって定義される線型写像の核です。

準同型写像の核は、準同型写像が単射である場合、つまり各要素の逆像が単一の要素で構成される場合にのみ、0（または1）に縮約されます。これは、核が準同型写像が単射でなくなる度合いの尺度として見ることができることを意味します。^[1]

アーベル群やベクトル空間などの構造の種類によっては、可能な核はまさに同じ種類の部分構造です。常にそうとは限らず、可能な核に特別な名前が付けられている場合もあります。たとえば、群の場合は正規部分群、環の場合は両側イデアルなどです。

カーネルを使用すると、商オブジェクト（普遍代数では商代数、圏論では余カーネルとも呼ばれる）を定義できます。多くの種類の代数構造について、準同型写像に関する基本定理（または第一同型定理）は、準同型の像がカーネルによる商に 同型であることを述べています。

カーネルの概念は、準同型が単射であるかどうかを判断するのに単一の要素の逆像だけでは不十分な構造にまで拡張されています。このような場合、カーネルは合同関係です。

この記事は、代数構造におけるいくつかの重要なタイプのカーネルについての調査です。

VとW を体上のベクトル空間（またはより一般的には、環上の加群）とし、 T を V から W への線型写像とする。0 WがWの零ベクトルである場合、 T の核は零部分空間 { 0 W } の逆像、つまり、_Tによって要素0 Wに写像されるV_のすべての要素からなるV_の部分集合である。核は通常、 ker T、またはそのバリエーション として表される。

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

線型写像は零ベクトルを保存するので、 Vの零ベクトル0 _{V は}核に属している必要があります。変換Tが単射となるのは、その核が零部分空間に縮小される場合のみです。

核 ker T は常にVの線形部分空間です。したがって、商空間V / (ker T )について話すことは意味があります。ベクトル空間の第一同型定理は、この商空間がTの像(これはWの部分空間です)に自然に同型であると述べています。結果として、Vの次元は核の次元と像の次元の合計に等しくなります。

VとW が有限次元で基底が選択されている場合、T は行列 Mで記述でき、核は同次線形方程式 M v = 0を解くことによって計算できます。この場合、Tの核は行列 Mの核と同一視され、 Mの「ヌル空間」とも呼ばれます。 M のヌル空間の次元はMのヌル性と呼ばれ、ランク-ヌル性定理の結果として、Mの列数からMのランクを引いた値で与えられます。

同次微分方程式を解くことは、多くの場合、特定の微分演算子の核を計算することに相当する。例えば、実数直線からそれ自身への 2回微分可能な関数 fをすべて見つけるためには、

${\displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x),}$

Vを2回微分可能な関数全体の空間とし、Wをすべての関数全体の空間とし、VからWへの線型作用素Tを次のように 定義する。

${\displaystyle (Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)}$

ただし、f はVに属し、x は任意の実数です。この場合、微分方程式のすべての解はker Tに属します。

同様の方法で、環上の加群間の準同型に対するカーネルを定義することができます。これには、特殊なケースとしてアーベル群間の準同型に対するカーネルが含まれます。この例は、一般的なアーベルカテゴリにおけるカーネルの本質を捉えています。カーネル (カテゴリ理論)を参照してください。

GとH を群とし、f​​ をGからHへの群準同型とする。e _HがHの単位元である場合、fの核は単集合 { e _H }の逆像、つまり、fによって要素e _Hに写像されるGのすべての要素からなるGの部分集合である。

カーネルは通常、ker f (またはその変形) で表されます。記号では、

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

群準同型は単位元を保存するので、 Gの単位元e _{G は}核に属している必要があります。

準同型写像fが単射であるための必要十分条件は、その核が単一集合 { e _G } のみである場合である。fが単射でない場合、非単射元は核の別個の元を形成できる。すなわち、 a ≠ bかつf ( a ) = f ( b )となるようなa , b ∈ Gが存在する。したがって、f ( a ) f ( b ) ⁻¹ = e _Hである。f は群準同型写像であるため、逆および群演算は保存され、f ( ab ⁻¹ ) = e _Hとなる。言い換えれば、ab ⁻¹ ∈ ker fであり、 ker f は単一ではない。逆に、核の別個の元は単射性を直接的に破る。すなわち、g ≠ e _G ∈ ker fとなる元が存在する場合、f ( g ) = f ( e _G ) = e _Hとなり、f は単射ではない。

ker f はGの部分群であり、さらに正規部分群である。したがって、対応する商群G / (ker f )が存在する。これは、群の第 1 同型定理により、 f ( G ) (これもHの部分群である)によるGの像と同型である。

アーベル群の特殊な場合には、前のセクションから逸脱することはありません。

G を6個の元{0, 1, 2, 3, 4, 5}を持つモジュラー加算の巡回群とし、H を2 個の元{0, 1}を持つモジュラー加算の巡回群とし、f​​ をGの各元g をHの元gを法として 2 に写像する準同型写像とします。すると、これらの元はすべて 0 _Hに写像されるため、ker f = {0, 2, 4}となります。商群G / (ker f )には 2 つの元{0, 2, 4}と{1, 3, 5}があります。これは確かにHと同型です。

RとS を環（単位環と仮定）とし、 f​​ をRからSへの環準同型とする。 0 _SがSの零元であれば、fの核はその整数上の線型写像、または同値な加法群としての核となる。これは零イデアル{0 _S }の逆像であり、 Rの要素のうちfによって0 _Sに写像されるものすべてからなるRの部分集合である。核は通常ker f（またはその変形）と表記される。記号では次のように表記される。

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

環準同型は零元を保存するので、 Rの零元 0 _{R は}核に属していなければなりません。準同型fが単射となるのは、その核が単集合 {0 _R } のみである場合のみです。Rが体であり、S が零環でない場合は常にこのようになります。

ker f はSが零環の場合にのみ乗法単位元を含むため、核は一般にRの部分環ではないことがわかります。核は部分rngであり、より正確にはRの両側イデアルです。したがって、商環R / (ker f )について話すことは理にかなっています。環の最初の同型定理は、この商環がfの像(これはSの部分環)と自然に同型であると述べています。(核の定義では環が単位環である必要はないことに注意してください)。

ある程度、これは加群の状況の特別なケースと考えることができます。なぜなら、これらはすべて環R上の双加群だからです。

• R自体;
• Rの任意の両側イデアル（ker fなど）
• Rの任意の商環（例えばR / (ker f )）；および
• Rを定義域とする任意の環準同型の余域（fの余域であるSなど）。

しかし、同型定理はより強い結果をもたらします。なぜなら、環同型は乗法を保存するのに対し、加群同型は（環間でも）一般には乗法を保存しないからです。

この例は、一般的なマルセフ代数におけるカーネルの本質を捉えています。

MとN をモノイドとし、f​​ をMからNへのモノイド準同型とする。このとき、fの核は、 Mの要素の順序付きペアのうち、 fによって両方の要素がNの同じ要素にマッピングされるものすべてからなる直積M × Mの部分集合である。核は通常、ker f (またはその変形) と表記される。記号では、

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.}$

f は関数なので、形式( m , m )の要素は核に属している必要があります。準同型写像fが単射となるのは、その核が対角集合{( m , m ): m in M }のみである場合のみです。

ker f はM上の同値関係であり、実際は合同関係であることがわかります。したがって、商モノイドM / (ker f )について話すことは理にかなっています。モノイドの最初の同型定理は、この商モノイドがfの像(これはNのサブモノイドであり、合同関係の場合) と自然に同型であることを述べています。

これは上記の例とは趣が大きく異なります。特に、 Nの単位元の逆像だけではfの核を決定するのに十分ではありません。

上記のすべてのケースは普遍代数で統一され一般化される可能性があります。

AとB を与えられた型の代数構造とし、f​​ をAからBへのその型の準同型とします。fの核は、 Aの要素の順序付きペアのうち、 fによって両方の要素がBの同じ要素にマッピングされるものすべてからなる直積A × Aの部分集合です。 核は通常、 ker f (またはその変形) で表されます。 記号では、

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}}$

f は関数なので、形式( a , a )の要素はカーネルに属している必要があります。

準同型写像fが単射となるのは、その核が対角集合{( a , a ): a ∈ A }とまったく同じ場合に限られます。

ker fがA上の同値関係であり、実際は合同関係であることは容易に分かります。したがって、商代数A / (ker f )について話すことは理にかなっています。一般普遍代数の第一同型定理は、この商代数がfの像（Bの部分代数）に自然に同型であることを述べています。

ここでのカーネルの定義は (モノイドの例のように) 代数構造に依存しないことに注意してください。これは純粋に集合論的な概念です。抽象代数以外のこの一般的な概念の詳細については、関数のカーネルを参照してください。

マルチェフ代数の場合、この構成は簡略化できます。すべてのマルチェフ代数には、特別な中立元（ベクトル空間の場合はゼロベクトル、可換群の場合は単位元、環またはモジュールの場合はゼロ元）があります。マルチェフ代数の特徴は、中立元の同値類から同値関係 ker f全体を回復できることです。

具体的には、AとB を特定の型のマルチェフ代数構造とし、f​​ をAからBへのその型の準同型とします。e _BがBの中立要素である場合、fの核は単集合{ e _B }の逆像、つまり、fによって要素e _BにマップされるAのすべての要素からなるAの部分集合です。 核は通常、ker f (またはその変形) で表されます。 記号では、

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}.}$

マルチェフ代数準同型写像は中立元を保存するので、 Aの単位元e _{A は}核に属さなければなりません。準同型写像fが単射となるのは、その核が単一集合 { e _A } のみである場合のみです。

イデアルの概念は、任意のマルチェフ代数（ベクトル空間の場合は線型部分空間、群の場合は正規部分群、環の場合は両側イデアル、加群の場合は部分加群）に一般化されます。 ker f はAの部分代数ではありませんが、イデアルであることがわかります。すると、商代数 G / (ker f ) について話すことは理にかなっています。マルチェフ代数の第一同型定理は、この商代数がfの像（ Bの部分代数）に自然に同型であることを述べています。

これと、より一般的なタイプの代数に対する合同関係との関係は次のとおりです。まず、核をイデアルとして扱うことは、核を合同として扱うことの下での中立元e _Aの同値類です。逆の方向については、マルセフ代数における商の概念が必要です (これは、群の場合は両側の除算、ベクトル空間、モジュール、およびリングの場合は減算です)。これを使用すると、 Aの元aとb は、その商a / bが核をイデアルとして扱うこと の下で同値であるため、かつその場合に限ります。

代数には、代数演算に加えて、非代数的構造が備わっている場合があります。たとえば、位相を備えた位相群または位相ベクトル空間を考えることができます。この場合、準同型写像f がこの追加の構造を保存することが期待されます。位相的な例では、 f が連続写像になることが望まれます。このプロセスは、適切に動作しない可能性のある商代数で障害に遭遇する可能性があります。位相的な例では、位相代数構造がハウスドルフであることを要求する(通常行われるように) ことで問題を回避できます。そうすれば、カーネル (どのように構築されても) は閉集合になり、商空間は適切に機能します (また、ハウスドルフです)。

圏論におけるカーネルの概念は、アーベル代数のカーネルの一般化です。カーネル (圏論)を参照してください。合同関係としてのカーネルの圏論的一般化はカーネル ペアです。(差分カーネル、またはバイナリイコライザーの概念もあります。)

• カーネル（線形代数）
• ゼロセット