原子（測度論）

数学、より正確には測度論において、原子とは、正の測度を持ち、より小さな正の測度の集合を含まない測定可能な集合である。原子を持たない測度は、非原子的または無原子的と呼ばれる。

測定可能な空間 と その空間上の測度が与えられたとき、の集合は、 任意の測定可能な部分集合 に対して であるとき 、アトムと呼ばれます。${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \Sigma }$$${\displaystyle \mu (A)>0}$$${\displaystyle B\subset A}$${\displaystyle 0\in \{\mu (B),\mu (A\setminus B)\}}$

の同値類は によって定義されます 。 ここで は対称差分演算子です。が原子の場合、 のすべての部分集合は原子であり、 は原子類と呼ばれます。^[1]が -有限測度の場合、原子類は可算数個存在します。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma :\mu (A\Delta B)=0\},}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$

• 集合X = {1, 2, ..., 9, 10} を考え、シグマ代数を Xのべき集合とします。集合の測度をその濃度、つまり集合内の要素の数と定義します。すると、各シングルトン{ i } ( i = 1, 2, ..., 9, 10) はアトムになります。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu}$
• 実数直線上のルベーグ測度を考えます。この測度には原子が存在しません。

可測空間上の-有限測度は、正の測度のあらゆる可測集合が原子を含む場合、原子的または純粋に原子的と呼ばれる。これは、空集合までの原子によって形成されるの可算分割が存在するということと同等である。 ^[2] -有限性の仮定は不可欠である。そうでない場合、 が計数測度を表す空間について考えてみよう。この空間は原子であり、すべての原子はシングルトンであるが、可算個の互いに素な原子の非連続和と空集合に空間を分割することはできない。これは、シングルトンの可算和は可算集合であり、実数の非可算性から補数は不可算でなければならないことが示され、したがってその-測度は無限となり、空集合であることと矛盾する。-有限空間の結果の妥当性は、有限測度空間の証明から、可算和の可算和が再び可算和であり、空集合の可算和が空であることを観察することによって導かれる。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$${\displaystyle \nu}$${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle N}$${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \sigma}$

任意の原子クラスの原子の交差が空でない場合、有限原子測度は離散的と呼ばれます。これは、可算個のディラック測度の重み付き和であると言うことと同等です[ 3 ]。 つまり、 には点の列があり、^となる正の実数（重み）の列があり、これは任意の に対してとなることを意味します。各点を、 - 番目の原子クラスの原子の共通点として選択できます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle k}$

離散測度は原子ですが、逆の含意は成り立ちません。つまり、可算部分集合と余可算部分集合の -代数、 可算部分集合内の 、余可算部分集合内の を取ります。すると、余可算部分集合によって形成される単一の原子クラスが存在します。測度は原子ですが、一意の原子クラス内の原子の交差は空であり、ディラック測度の和として置くことはできません。 ${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

もしすべての原子が単一体と同等ならば、それが離散的であるのはそれが原子である場合に限ります。この場合、上記は原子単一体なので、一意です。ボレル集合が与えられた可分距離空間内の任意の有限測度はこの条件を満たします。^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle x_{k}}$

原子を含まない測定は非原子的測定または拡散測度。言い換えれば、測度が非原子的であるとは、 の任意の測定可能な集合に対して、の測定可能な部分集合が存在し、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

少なくとも1つの正の値を持つ非原子測度は、 1つの集合から始めて、測定可能な集合の減少するシーケンスを構築できる ため、 無限の数の異なる値を持ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0}$$${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

これは、アトムを含むメジャーには当てはまらない場合があります。上記の最初の例を参照してください。

非原子測度は実際には値の連続体を持っていることが分かります。 が非原子測度であり、 が の測定可能な集合である場合、を満たす任意 の実数に対しての測定 可能な部分集合が存在し、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0,}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

この定理は、ヴァツワフ・シェルピンスキによるものである。^{[5] [6]これは、連続関数の}中間値定理 を彷彿とさせる。

非原子測度に関するシェルピンスキーの定理の証明の概略。が非原子測度空間であり、包含に関して単調な関数と の右逆関数が存在する場合、という少し強い主張だが、証明は容易になる。つまり、すべての に対して となる1 パラメータの測定可能集合族が存在する。 証明は、へのすべての単調な部分セクションの集合にゾルンの補題を適用することから簡単に導かれる 。 グラフの包含によって順序付けられ、のすべてのチェーンには の上限があり、 の任意の極大元にはドメインがあることを示すのが標準的である。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu (X)=c,}$${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$${\displaystyle \mu:\Sigma\to[0,c].}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$ $${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$ $${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle [0,c],}$

• 原子（秩序理論） — 秩序理論における類似概念
• ディラックのデルタ関数
• 基本事象、原子事象とも呼ばれる

• ブルックナー、アンドリュー・M.; ブルックナー、ジュディス・B.; トムソン、ブライアン・S. (1997)。実解析。アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール。p. 108。ISBN 0-13-458886-X。
• Butnariu, Dan; Klement, EP (1993).三角ノルムベースの尺度とファジー連合によるゲーム. ドルドレヒト: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6。
• カデッツ、ウラジミール（2018）。 「関数解析と測度論のコース」。Universitext。doi：10.1007 / 978-3-319-92004-7。ISSN 0172-5939  。

• 数学百科事典の原子