商空間（位相）

位相幾何学および関連する数学分野において、与えられた同値関係に基づく位相空間の商空間とは、元の位相空間の商集合に商位相、すなわち正準射影写像（点をそれらの同値類に写像する関数）を連続にする最も細かい位相を与えることによって構築される新しい位相空間のことである。言い換えれば、商空間の部分集合が開集合であるのは、その正準射影写像による逆像が元の位相空間において開集合である場合に限る。

直感的に言えば、各同値類の点を識別したり「結合」したりすることで、新しい位相空間が形成される。例えば、球面上で同じ直径を持つ点を識別すると、商空間として射影平面が得られる。

させて${\displaystyle X}$を位相空間とし、${\displaystyle \sim }$同値関係である${\displaystyle X.}$商集合${\displaystyle Y=X/{\sim }}$は、の要素の同値類の集合である。${\displaystyle X.}$同値類${\displaystyle x\in X}$と表記される${\displaystyle [x].}$

建設${\displaystyle Y}$正準全射を定義する${\displaystyle q:X\to Y,x\mapsto [x].}$ 以下に述べるように、${\displaystyle q}$は、一般に正準商マップまたは正準射影マップと呼ばれる商マップであり、${\displaystyle X/{\sim }.}$

下の商空間${\displaystyle \sim }$セットは${\displaystyle Y}$商位相を備え、その開集合は部分集合である。${\textstyle U\subseteq Y}$その原像$\displaystyle q^{-1}(U)$開いています。言い換えれば、${\displaystyle U}$商位相において開いている${\displaystyle X/{\sim }}$かつその場合に限り${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$オープンしています${\displaystyle X.}$ 同様に、サブセット${\displaystyle S\subseteq Y}$閉じているのは、${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$閉鎖中${\displaystyle X.}$

商トポロジーは、写像に関して商集合上の最終的なトポロジーである。${\displaystyle x\mapsto [x].}$

地図${\displaystyle f:X\to Y}$は、全射で、かつ であれば商写像（識別写像^{[ 1 ]}と呼ばれることもある）である。${\displaystyle Y}$によって誘導される最終トポロジーを備えています${\displaystyle f.}$ 後者の条件は、より基本的な2つの定式化を許容する。部分集合${\displaystyle V\subseteq Y}$開いている（閉じている）のは、${\displaystyle f^{-1}(V)}$は開写像（または閉写像）である。すべての商写像は連続写像であるが、すべての連続写像が商写像であるとは限らない。

飽和セット

サブセット${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$飽和状態（${\displaystyle f}$) 形式が${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ある集合に対して${\displaystyle T,}$これは、${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ 課題${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$1対1の対応関係を確立する（その逆は${\displaystyle S\mapsto f(S)}$) サブセット間${\displaystyle T}$の${\displaystyle Y=f(X)}$飽和した部分集合${\displaystyle X.}$ この用語では、全射${\displaystyle f:X\to Y}$が商写像であるのは、すべての飽和部分集合に対して である場合に限る。${\displaystyle S}$の${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$オープンしています${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle f(S)}$オープンしています${\displaystyle Y.}$ 特に、${\displaystyle X}$飽和していないものは関数に影響を与えない${\displaystyle f}$商写像（あるいは、実際には連続関数）${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての飽和状態に対して、${\textstyle S\subseteq X}$そのため${\displaystyle f(S)}$オープンしています${\textstyle f(X)}$セット​${\displaystyle S}$オープンしています${\textstyle X}$)

実際、もし$\displaystyle \tau }$はトポロジーである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f:X\to Y}$が任意のマップである場合、集合は$\displaystyle \tau _{f}}$すべての${\displaystyle U\in \tau }$飽和した部分集合である${\displaystyle X}$上にトポロジーを形成する${\displaystyle X.}$もし${\displaystyle Y}$位相空間でもある場合${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$が商写像（または連続写像）であるのは、 が商写像（または連続写像）である場合に限る。${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

繊維の特性評価における商空間

同値関係が与えられた場合${\displaystyle \,\sim \,}$の上${\displaystyle X,}$点の同値類を表す${\displaystyle x\in X}$による${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$そして${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$同値類の集合を表す。${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ポイントをそれらの同値類に送る（つまり、それは次のように定義される）${\displaystyle q(x):=[x]}$すべての${\displaystyle x\in X}$) は正準写像と呼ばれます。これは全射写像であり、すべての に対して が成り立ちます。${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle a\,\sim \,b}$かつその場合に限り${\displaystyle q(a)=q(b);}$その結果、${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$特に、これは同値類の集合を示しています${\displaystyle X/{\sim }}$これはまさに正準写像のファイバーの集合である${\displaystyle q.}$ もし${\displaystyle X}$位相空間である場合、${\displaystyle X/{\sim }}$商トポロジーは${\displaystyle q}$商空間にして${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$商写像に変換します。 同相写像を除いて、この構成はすべての商空間を代表するものです。その正確な意味をこれから説明します。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$位相空間間の全射（連続または商写像であるとはまだ仮定されていない）であり、すべてのに対して宣言する${\displaystyle a,b\in X}$それ${\displaystyle a\,\sim \,b}$かつその場合に限り${\displaystyle f(a)=f(b).}$それから${\displaystyle \,\sim \,}$は同値関係である${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$これはつまり${\displaystyle f([x])}$（定義される）${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$) は単一要素集合です。 の唯一の要素を で表します。${\displaystyle f([x])}$による$\displaystyle {\hat {f}}([x])}$（したがって定義上、${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$課題${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$全単射を定義する$\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$繊維の間に${\displaystyle f}$そしてポイント${\displaystyle Y.}$ マップを定義する${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$上記のとおり（${\displaystyle q(x):=[x]}$）そして与える${\displaystyle X/{\sim }}$商トポロジーは${\displaystyle q}$（${\displaystyle q}$商マップ）。これらのマップは次の関係で結ばれています。$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$ このことから、そして${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$は商写像であるため、${\displaystyle f:X\to Y}$が連続であるのは、これが真である場合に限る。${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$さらに、${\displaystyle f:X\to Y}$商写像であるのは、${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$同相写像である（または同等に、両方が${\displaystyle {\hat {f}}}$そしてその逆関数は連続である。

• 接着。トポロジー学者は点同士を接着することについて話す。${\displaystyle X}$は位相空間であり、点を貼り合わせたものである。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle X}$同値関係から得られる商空間を考慮することを意味する${\displaystyle a\sim b}$かつその場合に限り${\displaystyle a=b}$または${\displaystyle a=x,b=y}$（または${\displaystyle a=y,b=x}$)
• 単位正方形を考える${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$そして同値関係${\displaystyle \sim }$すべての境界点が等価であるという要件によって生成され、すべての境界点を単一の等価クラスに識別します。${\displaystyle I^{2}/\sim }$球面と同相である${\displaystyle S^{2}.}$

• 随伴空間。より一般的には、${\displaystyle X}$空間であり${\displaystyle A}$は の部分空間である${\displaystyle X.}$すべてのポイントを特定できます${\displaystyle A}$単一の同値類にし、ポイントを外に残す${\displaystyle A}$それ自体とのみ等価である。結果として得られる商空間は、${\displaystyle X/A.}$2次元球面は、境界が一点に一致する閉じた円盤と同相である。${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• 集合を考える${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の位相を持つ実数について、次のように記述します。${\displaystyle x\sim y}$かつその場合に限り${\displaystyle x-y}$は整数である。すると商空間は${\displaystyle X/{\sim }}$単位円と同相である${\displaystyle S^{1}}$同相写像によって同値類を${\displaystyle x}$に${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• 前の例の一般化は次のようになります。位相群を仮定します。${\displaystyle G}$空間に継続的に作用する${\displaystyle X.}$同値関係を形成できる${\displaystyle X}$点が等価であるのは、それらが同じ軌道上にある場合に限る、と述べることによって。この関係による商空間は軌道空間と呼ばれ、と表記される。${\displaystyle X/G.}$前の例では${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$行動する${\displaystyle \mathbb {R} }$翻訳によって。軌道空間${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$は同相である${\displaystyle S^{1}.}$
  • 注：表記法${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$やや曖昧です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、${\displaystyle \mathbb {R} }$足し算によって、商は円になります。ただし、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は位相的部分空間として考えられている${\displaystyle \mathbb {R} }$（それが単一の点として識別される）商${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$（これは集合と同一視できる）${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$）は、一点で結ばれた可算無限個の円の束である。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• 次の例は、一般的には、${\displaystyle q:X\to Y}$が商写像である場合、 のすべての収束列（それぞれ、すべての収束ネット）${\displaystyle Y}$リフトがあります（${\displaystyle q}$収束列（または収束ネット）へ${\displaystyle X.}$させて${\displaystyle X=[0,1]}$そして${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$させて${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$そして${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$商マップ${\displaystyle q(x):=[x],}$となることによって${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$そして${\displaystyle q(x)=\{x\}}$すべての${\displaystyle x\in (0,1).}$地図${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$定義される${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$明確に定義されている（なぜなら${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$）と同相写像。${\displaystyle I=\mathbb {N} }$そして${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$は、値をとる任意のシーケンス（またはより一般的には任意のネット）とする。${\displaystyle (0,1)}$そのため${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$で${\displaystyle X=[0,1].}$次にシーケンス$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$に収束する${\displaystyle [0]=[1]}$で${\displaystyle X/{\sim }}$しかし、商写像によるこの数列の収束リフトは存在しない。${\displaystyle q}$（つまり、シーケンスはありません）${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$で${\displaystyle X}$両方とも何らかの値に収束する${\displaystyle x\in X}$そして満たす${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$すべての${\displaystyle i\in I}$この反例は、ネットに一般化できる。${\displaystyle (A,\leq )}$は任意の有向集合であり、${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$ネットに、任意の${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$両方が成り立つ場合に限り成立する (1)${\displaystyle a\leq b,}$（２）もし${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$それから${\displaystyle A}$-インデックス付きネットは、${\displaystyle y_{(a,m)}}$等しい${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$そして等しい${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$リフトがない（${\displaystyle q}$収束する${\displaystyle A}$-インデックス付きネット${\displaystyle X=[0,1].}$

商マップ${\displaystyle q:X\to Y}$全射写像の中で、次の性質によって特徴付けられる。${\displaystyle Z}$は任意の位相空間であり、${\displaystyle f:Y\to Z}$は任意の関数である。${\displaystyle f}$連続であるのは、${\displaystyle f\circ q}$連続的である。

商空間${\displaystyle X/{\sim }}$商マップとともに${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$次の普遍的な性質によって特徴付けられる：${\displaystyle g:X\to Z}$は連続写像であり、${\displaystyle a\sim b}$暗示する${\displaystyle g(a)=g(b)}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in X,}$すると、一意の連続写像が存在する${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$そのため${\displaystyle g=f\circ q.}$言い換えれば、次の図は可換である。

ある人はこう言う${\displaystyle g}$これを表現するには商空間に降りていく、つまり商空間を通して因数分解する。${\displaystyle X/{\sim }}$したがって、それらは、上で定義された連続写像から生じる写像である。${\displaystyle X}$同値関係を尊重する（つまり、同じイメージに同値な要素を送る）という基準。この基準は、商空間を研究する際に広く用いられている。

連続全射が与えられた場合${\displaystyle q:X\to Y}$基準があれば、${\displaystyle q}$は商写像である。2つの十分条件は、${\displaystyle q}$開写像または閉写像である。これらの条件は十分条件であって、必要条件ではないことに注意する。開写像でも閉写像でもない商写像の例は簡単に構成できる。位相群の場合、商写像は開写像である。

トポロジー

• 空間を覆う– トポロジーにおける連続マップの種類 
• 互いに素な和集合（トポロジー）– 数学用語 
• 最終トポロジー– いくつかの関数を連続させる最良トポロジー 
• マッピングコーン（トポロジー）– 空間間のマップ上のトポロジー的構成 
• 積空間– 位相空間のデカルト積上の位相 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 部分空間（トポロジー）– 継承されたトポロジー リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 位相空間– 近接性の概念を持つ数学的空間 

代数

• 商のカテゴリー– 数学における商の対象となるものの種類 
• 商群– より大きな群の類似要素を集約して得られる群 
• 商空間（線形代数）– アフィン部分集合からなるベクトル空間 
• 写像錐（ホモロジー代数）– ホモロジー代数におけるツール 

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジ: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。土井: 10.1007/978-3-642-61701-0。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジ 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol.  4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
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