冪等性

モノイドにおいて${\displaystyle (E^{E},\circ )}$関数のセットの${\displaystyle E}$関数合成を用いて、それ自身に（集合のべき乗を参照）${\displaystyle \circ }$冪等要素は関数です${\displaystyle f\colon E\to E}$そのため${\displaystyle f\circ f=f}$、^{[ a ]}は、${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in E}$（言い換えれば、画像${\displaystyle f(x)}$各要素の${\displaystyle x\in E}$は固定点である${\displaystyle f}$）。 例えば：

• 絶対値は冪等である。実際、${\displaystyle \operatorname {abs} \circ \operatorname {abs} =\operatorname {abs} }$つまり${\displaystyle \operatorname {abs} (\operatorname {abs} (x))=\operatorname {abs} (x)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$;
• 定数関数は冪等である。
• 恒等関数は冪等である。
• 床関数、天井関数、および小数部分関数は冪等性を持つ。
• 実部関数${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$複素数の冪等性は、
• ほとんどの種類の平均において、集合の平均を取ってそれを単一要素の集合に入れることは冪等である。${\displaystyle \{\operatorname {avg} \{\operatorname {avg} \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\}\}=\{\operatorname {avg} \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\}}$
• 群の冪集合から自身への部分群生成関数は冪等である。
• 実数上のアフィン空間の冪集合からそれ自身への凸包関数は冪等である。
• 位相空間の冪集合のそれ自身に対する閉包関数および内部関数は冪等である。
• モノイドのそれ自身に対する冪集合のクリーネスター関数とクリーネプラス関数は冪等である。
• ベクトル空間の冪等自己準同型写像は、そのベクトル空間の射影である。

セットの場合${\displaystyle E}$もっている${\displaystyle n}$要素を分割すると、${\displaystyle k}$選択された固定点と${\displaystyle n-k}$非固定点${\displaystyle f}$、 その後${\displaystyle k^{n-k}}$は異なる冪等関数の数です。したがって、すべての可能な分割を考慮すると、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}k^{n-k}}$

は、集合上の可能な冪等関数の総数です。n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... の場合の上記の合計で与えられる冪等関数の数の整数列は、1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, ... で始まります( OEISのシーケンスA000248 )。

関数合成の下では、冪等性も非冪等性も保持されません。^{[ b ]}前者の例として、${\displaystyle f(x)=x}$mod 3 と${\displaystyle g(x)=\max(x,5)}$どちらも冪等ですが、${\displaystyle f\circ g}$そうではない、^{[ c ]}${\displaystyle g\circ f}$偶然にもそうである。^{[ d ]}後者の例として、否定関数${\displaystyle \neg }$ブール領域では冪等性はありませんが、${\displaystyle \neg \circ \neg }$です。同様に、単項否定${\displaystyle -(\cdot )}$実数の冪等性はないが、 ${\displaystyle -(\cdot )\circ -(\cdot )}$どちらの場合も、合成関数は単に恒等関数であり、冪等関数です。

射${\displaystyle f:x\to x}$あるカテゴリーにおいて、冪等であるとは、${\displaystyle f\circ f=f}$^{[ 10 ]}冪等関数は、次のように書ける場合に分割すると言われます。${\displaystyle f=h\circ g}$一部の人にとって${\displaystyle g:x\to y,\,h:y\to x}$と${\displaystyle g\circ h=\operatorname {id} }$。

ある圏は、すべての冪等性が分割される場合に冪等完全であると言われます。例えば、${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$冪等完全である。^{[ 11 ]}

顧客の名前と住所をデータベースで検索する関数は、データベースが変更されないため、通常は冪等です。同様に、顧客の住所をXYZに変更するリクエストも、リクエストを何度送信しても最終的な住所は同じになるため、通常は冪等です。しかし、注文を行うという顧客からのリクエストは、複数のリクエストによって複数の注文が行われるため、通常は冪等ではありません。特定の注文をキャンセルするリクエストは、リクエストを何度送信しても注文はキャンセルされたままなので、冪等です。

少なくとも 1 つのサブルーチンが他のサブルーチンと異なる、冪等サブルーチンのシーケンスであっても、シーケンス内の後のサブルーチンが前のサブルーチンが依存する値を変更する場合、必ずしも冪等であるとは限りません。つまり、冪等性は逐次合成に関して閉じられていません。たとえば、変数の初期値が 3 であり、変数を読み取り、次に 5 に変更し、次に再び読み取るサブルーチン シーケンスがあるとします。シーケンスの各ステップは冪等です。変数を読み取る 2 つのステップには副作用がなく、変数を 5 に変更するステップは、何度実行されても常に同じ効果があります。しかし、シーケンス全体を 1 回実行すると出力 (3, 5) が生成されますが、2 回実行すると出力 (5, 5) が生成されるため、シーケンスは冪等ではありません。

int x = 3 ; void inspect () { printf ( "%d \n " , x ); } void change () { x = 5 ; } void sequence () { inspect (); change (); inspect (); }int main () { sequence (); // "3\n5\n" と出力sequence (); // "5\n5\n"と出力 return 0 ; }

ハイパーテキスト転送プロトコル(HTTP)では、冪等性と安全性がHTTP メソッドを区別する主要な属性です。主要な HTTP メソッドのうち、GET、PUT、DELETE は標準に従って冪等的に実装する必要がありますが、POST はそうする必要はありません。^{[ 12 ]} GET はリソースの状態を取得し、PUT はリソースの状態を更新し、DELETE はリソースを削除します。上記の例のように、データの読み取りには通常副作用がないため、冪等です (実際にはヌリポテントです)。リクエストがリソースを一意に識別し、将来もそのリソースのみを識別する限り、特定のデータの更新と削除はそれぞれ通常冪等です。一意の識別子を持つ PUT と DELETE は、それぞれ値または null 値を変数に代入する単純なケースに帰着し、同じ理由で冪等です。応答が異なっていても、最終結果は常に最初の実行結果と同じです。^{[ 13 ]}

保存または削除において一意の識別子要件に違反すると、通常は冪等性が損なわれます。たとえば、一意の識別子を指定せずに特定のコンテンツセットを保存または削除する場合、冪等性を必要としないPOSTリクエストには一意の識別子が含まれていないことが多く、識別子の作成は受信システムに委ねられ、受信システムが対応する新しいレコードを作成します。同様に、条件が明示されていないPUTリクエストとDELETEリクエストは、システムの状態に応じて異なる結果をもたらす可能性があります。たとえば、最新のレコードを削除するリクエストなどがこれに該当します。いずれの場合も、後続の実行によってシステムの状態がさらに変更されるため、冪等性は失われます。

イベントストリーム処理において、冪等性とは、同じファイル、イベント、またはメッセージが複数回受信された場合でも、システムが常に同じ結果を生み出す能力を指します。

ロードストアアーキテクチャでは、ページフォールトを引き起こす可能性のある命令は冪等です。そのため、ページフォールトが発生した場合、オペレーティングシステムはディスクからページをロードし、フォールトした命令を再実行するだけで済みます。このような命令が冪等でないプロセッサでは、ページフォールトの処理ははるかに複雑になります。^{[ 14 ] [ 15 ]}

出力の書式を整える際、整形出力は冪等性を持つことが期待されます。つまり、出力が既に「整形済み」であれば、整形出力を行う必要はありません。

サービス指向アーキテクチャ（SOA）では、すべて冪等なステップで構成された複数ステップのオーケストレーションプロセスは、そのプロセスの一部が失敗した場合でも、副作用なく再実行できます。

冪等性を持つ多くの操作には、処理が中断された場合に「再開」する方法が用意されていることが多く、これは最初からやり直すよりもはるかに速く完了します。例えば、ファイル転送の再開、 ファイルの同期、ソフトウェアビルドの作成、パッケージマネージャを使用したアプリケーションとそのすべての依存関係のインストールなどが挙げられます。