反交換性

数学において、反交換性は、一部の非可換な数学演算に特有の性質です。反対称演算の2 つの引数の位置を交換すると、引数を交換していない結果の逆の結果が生成されます。逆という概念は、演算の共域上のグループ構造を指し、別の演算が含まれる場合もあります。減算は反交換演算です。a − b の被演算子を交換すると、b − a = −( a − b ) となるためです。たとえば、 2 − 10 = − ( 10 − 2 ) = −8 となります。反交換演算のもう 1 つの顕著な例は、リー括弧です。

対称性が極めて重要である数理物理学、あるいは単に多重線型代数においてさえ、これらの演算は主に（いくつかのベクトル構造に関しては多重線型であり）反対称演算と呼ばれ、それらの引数が 2 より大きくない場合は、結合的な設定で 2 つ以上の引数をカバーするように拡張されます。

が2つのアーベル群である場合、双線型写像は、すべてのに対して反可換である。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

より一般的には、多重線型写像は 、 ${\displaystyle g:A^{n}\to B}$${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

ここで は順列の符号です。 ${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma}$

アーベル群に2次元捩れがない場合は、 であれば、任意の反可換双線型写像は次を満たす。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle x=-x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

より一般的には、2つの要素を転置することにより、任意の反可換多重線型写像は以下を満たす。 ${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

のいずれかが等しい場合、そのような写像は交代写像と呼ばれます。逆に、多重線型性を用いると、交代写像はどれも反可換です。2元の場合、これは次のように機能します。交代写像の場合、双線型性により、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

多重線型の場合の証明は同じですが、入力が 2 つだけです。

反可換二項演算の例には次のものがあります。

• クロス積
• リー代数のリー括弧
• リー環のリー括弧
• 減算

• 可換性
• 整流子
• 外積代数
• 次数可換環
• 演算（数学）
• 数学における対称性
• 粒子統計（物理学における反可換性のため）。

• ブルバキ、ニコラス(1989)、「第 3 章テンソル代数、外積代数、対称代数」、代数。第 1 章から第 3 章、数学原論 (第 2 刷)、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク市: S​​pringer-Verlag、ISBN 3-540-64243-9、MR  0979982、Zbl  0904.00001。

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• Gainov, AT (2001) [1994]、「反可換代数」、数学百科事典、EMS Pressロシアの原著を参照している
• Weisstein、Eric W.「反可換」。MathWorld。