ハッブルの法則

ハッブルの法則はハッブル・ルメートルの法則とも呼ばれ、^[1]物理宇宙論において、銀河は地球からの距離に比例した速度で遠ざかっているという観測結果である。言い換えれば、銀河が地球から遠いほど、遠ざかる速度も速くなる。銀河の遠ざかる速度は通常、銀河が発する 光の周波数のシフトである赤方偏移を測定することで決定される。

ハッブルの法則の発見は、エドウィン・ハッブルが1929年に発表した研究によるものとされているが、^{[2] [3] [4]}、宇宙が計算可能な速度で膨張しているという概念は、1922年にアレクサンダー・フリードマンが一般相対性方程式から初めて導き出したものである。フリードマン方程式は、宇宙が膨張している可能性を示し、もしそうだとすれば膨張速度を示した。^[5]ハッブル以前には、天文学者カール・ヴィルヘルム・ヴィルツが1922年^[6]と1924年^[7]に、自身のデータから、小さくて暗く見える銀河は赤方偏移が大きく、そのため、より遠い銀河ほど観測者からより速く遠ざかることを推測していた。1927年、ジョルジュ・ルメートルは、遠方の物体の遠ざかる速度がそれぞれの距離に比例することに注目して、宇宙は膨張している可能性があると結論付けた。彼はこの比率の値を推定し、それがハッブルが宇宙の膨張を確認し、2年後により正確な値を決定した後、ハッブル定数として知られるようになった。^{[8] [9] [ 10] [11] [12]}ハッブルは、天体の赤方偏移からその後退速度を推測したが、その多くは1917年にヴェスト・スライファーによって測定され、速度と関連付けられていた。 ^{[13] [14] [15]}スライファーの速度とヘンリエッタ・スワン・レヴィットの銀河間距離の計算および方法論を組み合わせることで、ハッブルは宇宙の膨張率をより正確に計算することができた。^[16]

ハッブルの法則は、宇宙の膨張に関する最初の観測的根拠と考えられており、ビッグバンモデルを支持するために最も頻繁に引用される証拠の1つです。^{[8] [17]}この膨張のみによる天体の運動は、ハッブルフローとして知られています。[ 18 ^]これは、v = H ₀ Dという式で説明され、H ₀は、銀河までの「固有距離」D（共動距離とは異なり、時間の経過とともに変化する）と分離速度v（つまり、宇宙時間座標に関する固有距離の導関数）との間の比例定数（ハッブル定数）です。^[a]ハッブル定数H _{0 は}任意の時点で一定ですが、ハッブル定数が現在の値であるハッブルパラメータHは時間とともに変化するため、定数という用語は多少誤った呼び方であると考えられることがあります。^{[19] [20]}

ハッブル定数はkm / s / Mpcで引用されることが最も多く、1 メガパーセク (3.09 × 10 ¹⁹  km) 離れた銀河の速度は70 km/sとなります。一般化された形式の単位を簡略化すると、H ₀が周波数(SI 単位: s ⁻¹ )を指定することが明らかになり、 H ₀の逆数はハッブル時間 (144 億年) として知られています。ハッブル定数は、相対的な膨張率として表すこともできます。この形式ではH ₀  = 7%/ Gyrとなり、現在の膨張率では、非結合構造が 7% 成長するには 10 億年かかることを意味します。

ハッブルが観測を行う10年前に、多くの物理学者と数学者が、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式を使用して、膨張する宇宙の一貫した理論を確立していました。最も一般的な原理を宇宙の性質に適用すると、当時一般的だった静的な宇宙の概念と矛盾する動的な解決策が得られました。

1912年、ヴェスト・M・スライファーは「渦巻き星雲」（渦巻き銀河の旧称）のドップラー効果を初めて測定し、すぐにそのような天体のほとんどが地球から遠ざかっていることを発見した。彼はこの事実の宇宙論的意味を理解しておらず、実際当時はこれらの星雲が天の川銀河の外にある「島宇宙」であるかどうかは大いに議論されていた。 ^{[22] [23]}

1922年、アレクサンダー・フリードマンはアインシュタインの場の方程式からフリードマン方程式を導き、宇宙は方程式で計算可能な速度で膨張している可能性があることを示した。^[24]フリードマンが使用したパラメータは今日ではスケール係数として知られており、ハッブルの法則の比例定数のスケール不変形式と考えることができる。ジョルジュ・ルメートルは、次のセクションで説明する1927年の論文で同様の解を独自に発見した。フリードマン方程式は、与えられた密度と圧力を持つ流体に対するアインシュタインの場の方程式に、均質で等方的な宇宙の計量を挿入することによって導出される。この膨張する時空の考え方は、最終的にビッグバン宇宙論と定常宇宙論につながることになる。

ハッブルが自身の論文を発表する2年前の1927年、ベルギーの司祭で天文学者のジョルジュ・ルメートルが、現在ハッブルの法則として知られる法則を導き出した研究を初めて発表した。カナダの天文学者シドニー・ファン・デン・ベルフによると、「1927年のルメートルによる宇宙の膨張の発見は、影響力の低いフランス語の雑誌に掲載された。1931年にこの論文が英語に翻訳され、影響力が高まったが、重要な方程式が変更され、現在ハッブル定数として知られる法則への言及が省略された。」^[25]現在では、翻訳された論文の改変はルメートル自身によって行われたことが分かっている。^{[10] [26]}

現代宇宙論の出現以前は、宇宙の大きさと形についてかなりの議論がありました。1920年、この問題をめぐってハーロー・シャプレーとヒーバー・D・カーティスの間でシャプレー・カーティス論争が起こりました。シャプレーは宇宙は天の川銀河ほどの大きさしかないと主張し、カーティスは宇宙はそれよりはるかに大きいと主張しました。この問題は、その後の10年間にハッブルの観測の進歩によって解決されました。

エドウィン・ハッブルは、その専門的な天文観測のほとんどを、当時世界最強の望遠鏡を備えていたウィルソン山天文台^{[27]で行いました。彼は「渦巻き星雲」の中の}セフェイド変光星を観測し、これらの天体までの距離を計算することができました。驚いたことに、これらの天体は天の川銀河からかなり離れた距離にあることが発見されました。それらは星雲と呼ばれ続け、徐々に銀河という用語がそれに取って代わりました。

ハッブルの法則に現れる速度と距離は直接測定されたものではありません。速度は放射の赤方偏移z = ∆ λ / λから推測され、距離は明るさから推測されます。ハッブルは明るさとパラメータzとの相関関係を探りました。

ハッブルは、銀河の距離の測定値と、ヴェスト・スライファーとミルトン・ヒューマソンによる銀河の赤方偏移の測定値とを組み合わせて、物体の赤方偏移とその距離の間に大まかな比例関係があることを発見した。かなりのばらつきがあったものの（現在では特殊速度によって引き起こされることがわかっている。「ハッブルフロー」は、遠距離の空間領域を指して、遠距離の速度が局所的な特殊速度よりも大きいことを指すのに使用されている）、ハッブルは研究した46個の銀河から傾向線を描き、ハッブル定数を500（km/s）/Mpcと算出することができた（これは、距離の較正に誤りがあったため、現在受け入れられている値よりはるかに高い。詳細については、宇宙距離ラダーを参照）。 ^[29]

ハッブルの法則は、物体の速度（赤方偏移にほぼ比例すると仮定）を観測者からの距離に対してプロットした「ハッブル図」で簡単に表すことができます。^[30]この図の正の傾きの直線は、ハッブルの法則を視覚的に表したものです。

ハッブルの発見が発表された後、アルバート・アインシュタインは宇宙定数に関する研究を放棄した。宇宙定数は、彼がそれまで宇宙の正しい状態だと考えていた静的解を導き出すために一般相対性理論の方程式に挿入していた項である。最も単純な形のアインシュタイン方程式は膨張または収縮する宇宙をモデル化するため、アインシュタインは膨張または収縮に対抗し、静的で平坦な宇宙に導く定数を導入した。^[31]ハッブルが宇宙が実際には膨張していることを発見した後、アインシュタインは宇宙が静的であるという誤った仮定を「最大の誤り」と呼んだ。^[31]一般相対性理論はそれ自体で宇宙の膨張を予測することができ、（大きな質量による光の屈曲や水星の軌道の歳差運動などの観測を通じて）実験的に観測し、彼が最初に定式化した方程式の特定の解を使用した理論的計算と比較することができた。

1931年、アインシュタインは現代宇宙論の観測的基礎を提供してくれたハッブルに感謝するためにウィルソン山天文台を訪れた。^[32]

宇宙定数は、暗黒エネルギーの仮説的な説明として、ここ数十年で再び注目を集めています。^[33]

赤方偏移と距離の間の線形関係の発見と、遠ざかる速度と赤方偏移の間の想定される線形関係を組み合わせると、ハッブルの法則を次のように簡単に数式化できます。

$${\displaystyle v=H_{0}\,D}$$

どこ

• vは後退速度で、通常は km/s で表されます。
• H ₀はハッブル定数であり、下付き文字 0 で示される観測時に取られたフリードマン方程式のHの値(ハッブルパラメータと呼ばれることが多く、時間に依存し、スケール係数で表すことができる値)に対応します。この値は、与えられた共動時間の間、宇宙全体で同じです。
• D は、与えられた宇宙時間によって定義される 3 次元空間における、銀河から観測者までの固有距離 (共動距離とは異なり、時間とともに変化する可能性があります) で、メガパーセク(Mpc)単位で測定されます。(遠ざかる速度は、 v = dD/dtです)。

ハッブルの法則は、遠ざかる速度と距離の間の基本的な関係と考えられています。しかし、遠ざかる速度と赤方偏移の関係は採用された宇宙論モデルに依存し、小さな赤方偏移を除いて確立されていません。

距離D がハッブル球 の半径r _HSより大きい場合、物体は光速よりも速い速度で遠ざかります(このことの重要性については、「 固有距離の使用」を参照してください)。

$${\displaystyle r_{\text{HS}}={\frac {c}{H_{0}}}\ .}$$

ハッブル「定数」は空間内でのみ定数であり、時間内では定数ではないため、ハッブル球の半径はさまざまな時間間隔で増加または減少する可能性があります。下付き文字「0」は、今日のハッブル定数の値を示します。^[28]現在の証拠は、宇宙の膨張が加速していることを示唆しています（加速する宇宙を参照 ）。つまり、任意の銀河では、銀河がどんどん遠くに移動するにつれて、後退速度dD / dtが時間とともに増加しています。ただし、ハッブルパラメータは実際には時間とともに減少していると考えられています。つまり、ある固定距離Dを見て、一連の異なる銀河がその距離を通過するのを見ると、後の銀河は前の銀河よりも遅い速度でその距離を通過することになります。^[35]

赤方偏移は、遠方のクエーサーの水素α線などの既知の遷移の波長を決定し、静止基準と比較した分数シフトを見つけることによって測定できます。したがって、赤方偏移は観測から明確に得られる量です。ただし、これを後退速度に変換する際には注意が必要です。赤方偏移の値が小さい場合、赤方偏移と後退速度の間には線形関係が適用されますが、より一般的には赤方偏移距離の法則は非線形であるため、相関関係は特定のモデルと時代ごとに具体的に導出する必要があります。^[36]

赤方偏移z は、しばしば赤方偏移速度として説明される。これは、線形ドップラー効果によって引き起こされた場合に同じ赤方偏移を生み出す遠ざかる速度である（しかし、関係する速度が大きすぎるため、ドップラーシフトの非相対論的式を使用することはできないため、そうではない）。この赤方偏移速度は、光速を簡単に超える可能性がある。^[37]言い換えれば、赤方偏移速度v _rsを決定するには、次の関係式が必要である。

$${\displaystyle v_{\text{rs}}\equiv cz,}$$

が使用される。^{[38] [39]}つまり、赤方偏移速度と赤方偏移の間には根本的な違いはなく、それらは厳密に比例しており、いかなる理論的推論によっても関連付けられていない。「赤方偏移速度」という用語の背後にある動機は、赤方偏移速度が、いわゆるフィゾー・ドップラーの公式の低速度簡略化からの速度と一致することである^[40]

$${\displaystyle z={\frac {\lambda _{\text{o}}}{\lambda _{\text{e}}}}-1={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}-1\approx {\frac {v}{c}}.}$$

ここで、λ _o、λ _{e は}それぞれ観測波長と放射波長である。しかし、「赤方偏移速度」v _{rs は}、より大きな速度では実際の速度とそれほど単純には関係がなく、この用語を実際の速度として解釈すると混乱を招く。次に、赤方偏移または赤方偏移速度と後退速度の関係について説明する。^[41]

R ( t ) は宇宙のスケール係数と呼ばれ、宇宙が膨張するにつれて、選択された宇宙論モデルに応じて増加すると仮定します。その意味は、共動点間の測定されたすべての固有距離D ( t ) がRに比例して増加することです。(共動点は、その局所的な環境に対して相対的に移動していません。) 言い換えると、

$${\displaystyle {\frac {D(t)}{D(t_{0})}}={\frac {R(t)}{R(t_{0})}},}$$

ここでt _{0 は}ある基準時刻である。^{[42]光が時刻}t _{e に}銀河から放射され、 t ₀に我々に受信された場合、光は宇宙の膨張により赤方偏移し、この赤方偏移z は単純に次の式で表される。

$${\displaystyle z={\frac {R(t_{0})}{R(t_{\text{e}})}}-1.}$$

銀河が距離Dにあり、この距離が時間とともにd _t D の速度で変化するとします。この遠ざかる速度を「遠ざかる速度」v _{r と}呼びます。

$${\displaystyle v_{\text{r}}=d_{t}D={\frac {d_{t}R}{R}}D.}$$

ハッブル定数を次のように定義する。

$${\displaystyle H\equiv {\frac {d_{t}R}{R}},}$$

ハッブルの法則を発見しました。

$${\displaystyle v_{\text{r}}=HD.}$$

この観点から、ハッブルの法則は、(i) 宇宙の膨張に伴う遠ざかる速度と (ii) 物体までの距離との間の基本的な関係です。赤方偏移と距離の関係は、ハッブルの法則と観測を結び付けるために使用される支えです。この法則は、テイラー級数展開を行うことで、近似的に赤方偏移zに関連付けることができます。

$${\displaystyle z={\frac {R(t_{0})}{R(t_{e})}}-1\approx {\frac {R(t_{0})}{R(t_{0})\left(1+(t_{e}-t_{0})H(t_{0})\right)}}-1\approx (t_{0}-t_{e})H(t_{0}),}$$

距離がそれほど大きくない場合、モデルの他のすべての複雑さは小さな修正となり、時間間隔は単純に距離を光速で割ったものになります。

$${\displaystyle z\approx (t_{0}-t_{\text{e}})H(t_{0})\approx {\frac {D}{c}}H(t_{0}),}$$

または

$${\displaystyle cz\approx DH(t_{0})=v_{r}.}$$

このアプローチによれば、関係cz = v _rは低赤方偏移で有効な近似値であり、高赤方偏移ではモデルに依存する関係に置き換えられます。速度-赤方偏移の図を参照してください。

厳密に言えば、式中のvもD も直接観測することはできません。なぜなら、これらは現在の銀河の特性であるのに対し、私たちの観測は過去の銀河、つまり現在私たちが見ている光が銀河から発せられた時点のものだからです。

比較的近い銀河（赤方偏移z が1 よりはるかに小さい）の場合、vとD はあまり変化せず、v は式v = zc を使用して推定できます。ここでcは光速です。これはハッブルによって発見された経験的関係を示します。

遠方の銀河の場合、H が時間とともにどのように変化するかの詳細なモデルを指定せずに、 v (またはD ) をzから計算することはできません。赤方偏移は、光が出た時点での遠ざかる速度と直接関係しているわけではありませんが、単純な解釈があります。つまり、(1 + z )は、光子が観測者に向かって移動している間に宇宙が膨張した係数です。

ハッブルの法則を使って距離を決定する場合、宇宙の膨張による速度しか使えません。重力相互作用する銀河は宇宙の膨張とは関係なく互いに相対的に動くので^{[43] 、ハッブルの法則を適用する際にはこれらの相対速度（特異速度）を考慮する必要があります。このような特異速度は赤方}偏移空間の歪みを引き起こします。

パラメータHは一般に「ハッブル定数」と呼ばれますが、これは誤った呼び方です。これは、空間内で一定であるのは特定の時間に限られます。ほぼすべての宇宙論モデルでは時間とともに変化し、遠く離れた物体の観測はすべて、「定数」が別の値を持っていた遠い過去への観測でもあります。「ハッブルパラメータ」の方がより正確な用語であり、H ₀は現在の値を表します。

もう一つのよくある混乱の原因は、加速宇宙はハッブルパラメータが実際に時間とともに増加していることを意味しないということです。ほとんどの加速モデルでは、は よりも比較的速く増加するため、H は時間とともに減少します。(選択された 1 つの銀河の後退速度は確かに増加しますが、固定半径の球体を通過する別の銀河は、後の時点で球体をよりゆっくりと横切ります。) ${\displaystyle H(t)\equiv {\dot {a}}(t)/a(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\dot {a}}}$

無次元減速パラメータを定義すると 、次のようになる。 ${\textstyle q\equiv -{\frac {{\ddot {a}}\,a}{{\dot {a}}^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-H^{2}(1+q)}$$

このことから、ハッブルパラメータは、 q < -1でない限り、時間とともに減少していることがわかります。後者は、宇宙がファントムエネルギーを含む場合にのみ発生し、理論的にはややありそうにないと考えられています。

しかし、標準的なラムダ冷たい暗黒物質モデル（ラムダCDMまたはΛCDMモデル）では、宇宙定数が物質に対してますます支配的になるにつれて、遠い将来にqは上から-1に近づく傾向があります。これは、 Hが上から≈57（km / s）/ Mpcの一定値に近づき、宇宙のスケール係数が時間の経過とともに指数関数的に増加することを意味します。

均一に膨張する宇宙に対する理想的なハッブルの法則の数学的導出は、距離空間として考えれば完全に均質かつ等方性（場所や方向によって特性が変化しない）である 3 次元直交座標/ ニュートン座標空間における幾何学のかなり基本的な定理です。簡単に言えば、定理は次のようになります。

原点から遠ざかる方向に直線に沿って移動している 2 つの点は、原点からの距離に比例した速度で互いから離れていきます。

実際、これは、局所的に均質かつ等方性である限り、非デカルト空間にも適用され、具体的には、宇宙論モデルとして頻繁に考慮される負に曲がった空間と正に曲がった空間に適用されます (宇宙の形状を参照)。

この定理から導かれる観察は、地球上で物体が私たちから遠ざかっていくのを見ることは、地球が膨張が起こっている中心に近いことを示すものではなく、むしろ膨張する宇宙のすべての観測者が自分たちから物体が遠ざかっていくのを見るということである。

ハッブルパラメータの値は時間とともに変化し、いわゆる減速パラメータqの値に応じて増加または減少します。減速パラメータ qは次のように定義されます。

$${\displaystyle q=-\left(1+{\frac {\dot {H}}{H^{2}}}\right).}$$

減速パラメータがゼロの宇宙では、H = 1/ tとなります。ここで、tはビッグバンからの時間です。qの値がゼロでない、時間に依存する値の場合、フリードマン方程式を現在の時間から共動地平線のサイズがゼロであった時間まで逆方向に積分するだけで済みます。

q は正で、重力の影響で膨張が減速していることを示していると長い間考えられてきました。これは、宇宙の年齢が1/ H (約 140 億年) 未満であることを意味します。たとえば、qの値が 1/2 (かつてはほとんどの理論家が支持していました) の場合、宇宙の年齢は2/(3 H )となります。1998 年にqが負であるらしいことが発見されたことは、宇宙が実際には1/ Hよりも古い可能性があることを意味しています。ただし、宇宙の年齢の推定値は1/ Hに非常に近いです。

ハッブルの法則のビッグバン解釈によって要約される空間の膨張は、オルバースのパラドックスとして知られる古い難問に関連しています。もし宇宙が無限の大きさで、静的で、均一な分布の星で満たされているなら、空のすべての視線は星で終わり、空は星の表面と同じくらい明るいでしょう。しかし、夜空は大部分が暗いです。^{[44] [45]}

17世紀以来、天文学者やその他の思想家たちはこのパラドックスを解決するための多くの方法を提案してきたが、現在受け入れられている解決策は、部分的にはビッグバン理論、部分的にはハッブル膨張に依存している。有限の時間存在した宇宙では、有限数の星の光だけが十分な時間で私たちに届くため、パラドックスは解決される。さらに、膨張する宇宙では、遠くの物体は私たちから遠ざかるため、そこから発せられる光は私たちが見る頃には赤方偏移して明るさが減っている。^{[44] [45]}

ハッブル定数の代わりに、無次元ハッブル定数（通常はhで表記され、一般に「小さなh」と呼ばれる）を導入するのが一般的な方法です。^{[29]次に、ハッブル定数}H _0をh × 100 km⋅ s ⁻¹ ⋅ Mpc ⁻¹と書き、 H ₀の真の値の相対的な不確実性はすべてhに委ねられます。^[46]無次元ハッブル定数は、式d ≈ ⁠を使用して赤方偏移zから計算された距離を与えるときによく使用されます。ｃ/0 _...⁠ × z 。H 0_は正確にはわからないため、距離は次のように表されます。

$${\displaystyle cz/H_{0}\approx (2998\times z){\text{ Mpc }}h^{-1}}$$

つまり、2998 × zを計算し、単位を Mpc  h ^-1またはh ^-1  Mpc として指定します。

場合によっては 100 以外の基準値が選択されることもあり、その場合には混乱を避けるためにhの後に下付き文字が示されます。たとえば、 h _{70 は}H ₀ = 70 h ₇₀  ( km/s )/ Mpcを表し、h ₇₀ = h / 0.7を意味します。

これを、プランク単位で表され、H ₀に1.75 × 10 ^{−63 （パーセクと}t _Pの定義より）、例えばH ₀ = 70の場合、プランク単位版の1.2 × 10 ⁻⁶¹が得られる。

1998年にIa型超新星の標準光源観測から測定されたqの値が負であると判定され、宇宙の膨張が現在「加速している」という示唆で多くの天文学者を驚かせた^{[47] （ただし、ハッブル因子は上記の解釈のセクションで述べたように、時間とともに減少し続けている。}暗黒エネルギーとΛCDMモデル に関する記事を参照）。

フリードマン方程式から始めましょう:

$${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},}$$

ここで、Hはハッブルパラメータ、aはスケール係数、Gは重力定数、kは宇宙の正規化された空間曲率で -1、0、または 1 に等しく、Λは宇宙定数です。

もし宇宙が物質優位であるならば、宇宙の質量密度ρは物質だけを含むとみなすことができるので、

$${\displaystyle \rho =\rho _{m}(a)={\frac {\rho _{m_{0}}}{a^{3}}},}$$

ここでρ _{m 0}は現在の物質の密度です。フリードマン方程式と熱力学原理から、非相対論的粒子の質量密度は宇宙の体積の逆数に比例して減少することが分かっています。したがって、上記の式は正しいはずです。また、次のように定義することもできます（Ω _mの密度パラメータを参照）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{c}&={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}};\\\Omega _{m}&\equiv {\frac {\rho _{m_{0}}}{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}}}\rho _{m_{0}};\end{aligned}}}$$

したがって：

$${\displaystyle \rho ={\frac {\rho _{c}\Omega _{m}}{a^{3}}}.}$$

また、定義上、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{k}&\equiv {\frac {-kc^{2}}{(a_{0}H_{0})^{2}}}\\\Omega _{\Lambda }&\equiv {\frac {\Lambda c^{2}}{3H_{0}^{2}}},\end{aligned}}}$$

ここで、下付き文字の0は現在の値を指し、a ₀ = 1です。このすべてをこのセクションの冒頭のフリードマン方程式に代入し、aをa = 1/(1+ z )に置き換えると、次のようになります 。

$${\displaystyle H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }\right).}$$

もし宇宙が物質優位かつ暗黒エネルギー優位であるならば、ハッブルパラメータの上記の式は暗黒エネルギーの状態方程式の関数にもな​​ります。つまり、

$${\displaystyle \rho =\rho _{m}(a)+\rho _{de}(a),}$$

ここでρ _{de は}ダークエネルギーの質量密度である。定義により、宇宙論における状態方程式はP = wρc ²であり、これを流体方程式に代入すると、宇宙の質量密度が時間とともにどのように変化するかがわかる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0;\\{\frac {d\rho }{\rho }}=-3{\frac {da}{a}}(1+w).\end{aligned}}}$$

wが定数であれば、

$${\displaystyle \ln {\rho }=-3(1+w)\ln {a};}$$

意味するところ:

$${\displaystyle \rho =a^{-3(1+w)}.}$$

したがって、一定の状態方程式wを持つダークエネルギーについては、となる。これを前と同様にフリードマン方程式に代入するが、今回は空間的に平坦な宇宙を仮定してk = 0と設定すると、 となる（宇宙の形状を参照）。 ${\displaystyle \rho _{de}(a)=\rho _{de0}a^{-3(1+w)}}$

$${\displaystyle H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{de}(1+z)^{3(1+w)}\right).}$$

ダークエネルギーがアインシュタインが導入したような宇宙定数から導かれる場合、 w = −1であることが示される。すると、方程式は、Ω _{k を}ゼロに設定して、物質優位宇宙セクションの最後の方程式に簡約される。その場合、初期のダークエネルギー密度ρ _{de 0}は次のように与えられる^[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{de0}&={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}\,,\\\Omega _{de}&=\Omega _{\Lambda }.\end{aligned}}}$$

暗黒エネルギーが一定の状態方程式wを持たない場合、

$${\displaystyle \rho _{de}(a)=\rho _{de0}e^{-3\int {\frac {da}{a}}\left(1+w(a)\right)},}$$

これを解くには、w ( a )をパラメータ化する必要がある。例えば、w ( a ) = w ₀ + w _a (1− a )とすると、^[49]

$${\displaystyle H^{2}(z)=H_{0}^{2}\left(\Omega _{m}a^{-3}+\Omega _{de}a^{-3\left(1+w_{0}+w_{a}\right)}e^{-3w_{a}(1-a)}\right).}$$

他の成分も配合されている。^{[50] [51] [52]}

ハッブル定数H _0は時間の逆数の単位を持ち、ハッブル時間 t _Hはハッブル定数の逆数として単純に定義される。^[53]すなわち

$${\displaystyle t_{H}\equiv {\frac {1}{H_{0}}}={\frac {1}{67.8\mathrm {~(km/s)/Mpc} }}=4.55\times 10^{17}\mathrm {~s} =14.4{\text{ billion years}}.}$$

これは宇宙の年齢である約138億年とは若干異なります。ハッブル時間とは、宇宙の膨張が線形であった場合の年齢であり^[54]、膨張は線形ではないため実際の宇宙の年齢とは異なります。ハッブル時間は宇宙のエネルギー量に依存します（ハッブルパラメータの導出を参照）。

現在、真空エネルギーの優位性が増すことにより、宇宙の膨張が指数関数的に増加する時期に近づいているようです。この状態では、ハッブルパラメータは一定であり、宇宙はハッブル時間ごとに係数eで成長します。

$${\displaystyle H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}={\textrm {constant}}\quad \Longrightarrow \quad a\propto e^{Ht}=e^{\frac {t}{t_{H}}}}$$

同様に、一般的に受け入れられている値 2.27  Es ^{−1は、（現在の速度では）宇宙が 1}エクサ秒間にe ^2.27倍に成長することを意味します。

長い期間にわたって、上で説明したように、一般相対性理論、ダークエネルギー、インフレーションなどによってダイナミクスは複雑になります。

ハッブル長またはハッブル距離は宇宙論における距離の単位で、cH ⁻¹（光速×ハッブル時間）として定義されます。これは44億2000万パーセク、つまり144億光年に相当します。（ハッブル長の光年単位の数値は、定義上、ハッブル時間（年単位）の数値に等しくなります。）ハッブルの法則の式v = H ₀ DにD = cH ^−1を代入すると、ハッブル距離は、現在光速で私たちから遠ざかって いる銀河までの距離を示すことがわかります。

ハッブル体積は、共動サイズcH ⁻¹の宇宙の体積として定義されることがあります。正確な定義はさまざまで、半径cH ⁻¹の球の体積として定義される場合もあれば、一辺がcH ⁻¹の立方体の体積として定義される場合もあります。宇宙論者の中には、ハッブル体積という用語を観測可能な宇宙の体積を指すために使用する人もいますが、この半径は観測可能な宇宙の体積の約 3 倍です。

ハッブル定数H ₀の値は直接測定することはできませんが、天文学的観測とモデルに依存する仮定の組み合わせから導き出されます。数十年にわたる観測の精度向上と新しいモデルにより、一致しない2組の非常に正確な値が生まれました。この差は「ハッブル張力」として知られています。^{[8] [56]}

1929年にハッブルが最初に推定した定数は、距離を測定するための「標準光源」としてセフェイド変光星の観測値を用いた。^[57]彼が得た結果は500 (km/s)/Mpc であり、現在天文学者が計算している値よりはるかに大きい。その後の天文学者ウォルター・バーデによる観測で、彼は銀河内に星の「種族」（種族Iと種族II）が別個に存在することを認識した。同じ観測から、彼は異なる明るさを持つ2種類のセフェイド変光星があることを発見した。この発見を利用して、彼はハッブル定数と既知の宇宙の大きさを再計算し、1929年にハッブルが行った以前の計算の2倍になった。^{[58] [59] [57]彼は1952年にローマで開催された}国際天文学連合の会議でこの発見を発表し、かなりの驚きを得た。

20世紀後半のほとんどの期間、H ₀の値は50および90（km/s）/Mpc。

ハッブル定数の値は、その値が約100であると主張するジェラール・ド・ヴォークルールと、その値が50に近いと主張するアラン・サンデージの間で長く激しい論争が繰り広げられた。 ^[60]両者の間で共有された辛辣な論争の一例として、1975年にサンデージとグスタフ・アンドレアス・タマン（サンデージの研究仲間）が正式に自分たちの方法の系統的誤差を確認する際の欠点を認めたとき、ヴォークルールは「この冷静な警告がほとんどの天文学者と教科書執筆者にすぐに忘れられ、無視されたのは残念だ」と反応した。^[61] 1996年、ジョン・バーコールが司会を務めたシドニー・ファン・デン・ベルフとグスタフ・タマンの間で、これら2つの競合する値をめぐる以前のシャプレーとカーティスの論争と同様の形式で討論が行われた。

これまで推定値に大きなばらつきがあったが、1990年代後半にΛCDM宇宙モデルが導入されたことで部分的に解決された。ΛCDMモデルを組み込むと、スニヤエフ・ゼルドビッチ効果を用いたX線およびマイクロ波波長での高赤方偏移クラスターの観測、宇宙マイクロ波背景放射の異方性の測定、光学調査の結果、定数は約50～70 km/s/Mpcと算出された。^[62]

1990年代後半までに、アイデアと技術の進歩により、より高精度の測定が可能になりました。^[63] しかし、それぞれ高精度の2つの主要な方法のカテゴリは一致していません。較正された距離ラダー技術を使用した「後期宇宙」の測定は、約73 (km/s)/Mpc 。2000年以降、宇宙マイクロ波背景放射の測定に基づく「初期宇宙」技術が利用可能になり、この値はほぼ一致している。67.7 (km/s)/Mpc。^[64]（これは初期宇宙からの膨張率の変化を考慮しているため、最初の数値と同等です。）当初、この不一致は推定測定不確実性の範囲内であったため、心配する必要はありませんでした。しかし、技術が向上するにつれて、推定測定不確実性は縮小しましたが、不一致は縮小せず、現在では不一致が統計的に非常に有意なレベルにまで達しています。この不一致はハッブル張力と呼ばれています。^{[65] [66]}

「初期」測定の例として、 2018年に発表されたプランクミッションでは、 H ₀ =の値が示されています。67.4 ± 0.5 (km/s)/Mpc . ^[67]「後期」陣営では、ハッブル宇宙望遠鏡によって決定され 、 2023年にジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡 によって確認された74.03 ± 1.42 (km/s)/Mpc。^{[68] [ 70] 「早い」測定値と「遅い」測定値は、} 5σを 超えるレベルで一致せず、偶然の可能性のレベルを超えています。^{[71] [72]}この不一致を解決することは、現在も活発に研究が行われている分野です。^[73]

2013年以降、系統的誤差の可能性をチェックし、再現性を向上させるための新たな測定に多大な努力が注がれてきました。^[56]

「後期宇宙」または距離ラダー測定では、通常、3 つの段階、つまり「段」が採用されます。最初の段では、ダストによる光度誤差や、金属量と光度の相関関係による誤差を減らしながら、セファイドまでの距離が決定されます。2番目の段 では、 Ia 型超新星を使用します。これは、ほぼ一定の質量を持つ爆発で、光量も非常に似ています。系統的誤差の主な原因は、観測可能な天体の数が限られていることです。距離ラダーの 3 番目の段では、超新星の赤方偏移を測定してハッブル フローを抽出し、そこから定数を算出します。この段では、膨張以外の動きによる補正が適用されます。^{[56] : 2.1} 系統的誤差を減らすために必要な作業の例として、ジェームズ ウェッブ宇宙望遠鏡による銀河系外セファイドの観測の光度測定は、HST の調査結果を裏付けています。解像度が高いため、視野内の星の密集による混乱は回避されましたが、H ₀については同じ値になりました。^{[74] [56]}

「初期宇宙」または逆距離ラダーは、球状音波が原始プラズマ密度に及ぼす観測可能な影響を測定する。これらの圧力波は重粒子音響振動(BAO) と呼ばれ、宇宙が十分に冷却されて電子が原子核に束縛された状態になると停止し、プラズマが消滅し、プラズマとの相互作用によって閉じ込められた光子が逃げ出す。圧力波はその後、宇宙マイクロ波背景放射と空を横切る銀河の大規模密度に刻み込まれた密度の非常に小さな変動となる。CMB の高精度測定における詳細な構造は、振動の物理モデルと一致させることができる。これらのモデルはハッブル定数に依存しており、一致すれば定数の値が明らかになる。同様に、BAO は空を横切る遠方の銀河として観測される物質の統計的分布に影響を与える。これら 2 つの独立した種類の測定は、現在のモデルから同様の定数値を生成するため、測定自体の系統的誤差が結果に影響しないという強力な証拠となる。^{[56] : 補足 B}

ハッブル定数を決定するために、較正距離ラダー技術に基づく測定や CMB の測定に加えて、他の方法も使用されてきました。

2018年10月、科学者たちは重力波イベント（特にGW170817のような中性子星の合体を伴うイベント）の情報を活用してハッブル定数を決定しました。^{[75] [76]}

2019年7月、天文学者たちは、ダークサイレンとして知られるイベントであるGW170817の中性子星合体の検出に続いて、中性子星のペアの合体に基づいてハッブル定数を決定し、以前の方法の矛盾を解決する新しい方法が提案されたと報告した。^{[77] [78]}彼らのハッブル定数の測定は73.3+5.3
−5.0(km/s)/Mpc. ^[79]

また、2019年7月には、ハッブル宇宙望遠鏡のデータと、赤色巨星枝の先端（TRGB）距離計を使用して計算された赤色巨星までの距離に基づいた別の新しい手法が天文学者らによって報告された。ハッブル定数の測定値は69.8+1.9
−1.9 (km/s)/Mpc . ^{[80] [81] [82]}

2020年2月、メガメーザー宇宙論プロジェクトは、宇宙論的距離で観測可能で、多段階の較正を必要としない天体物理学的メーザーに基づく独立した結果を発表しました。その研究は距離ラダーの結果を確認し、統計的有意水準95％で初期宇宙の結果と異なっていました。^[83]

2020年7月、アタカマ宇宙論望遠鏡による宇宙背景放射の測定により、宇宙は現在観測されているよりもゆっくりと膨張しているはずだと予測されました。^[84]

2023年7月、中性子星合体の光学的残光であるキロノバからハッブル定数の独立した推定値が導き出された。^[85]初期のキロノバスペクトルの黒体特性のため、^[86]このようなシステムは宇宙の距離の強い制約推定値を提供する。キロノバAT2017gfo（再びGW170817の余波）を使用したこれらの測定は、ハッブル定数の局所的な推定値を示している。67.0 ± 3.6 (km/s)/Mpc . ^{[87] [85]}

ハッブル・テンションの原因は不明であり^[88]、多くの解決策が提案されている。最も保守的なのは、初期宇宙または後期宇宙の観測に影響を与える未知の系統的誤差があるというものである。直感的には魅力的ではあるが、この説明では、初期宇宙または後期宇宙の観測が間違っているかどうかに関係なく、複数の無関係な効果が必要であり、明らかな候補はない。さらに、初期宇宙と後期宇宙の観測は複数の異なる望遠鏡から得られるため、そのような系統的誤差は複数の異なる機器に影響を与える必要がある。^[56]

あるいは、観測結果は正しいが、説明できない何らかの効果が食い違いを引き起こしている可能性もある。宇宙論的原理が成り立たない場合（ラムダCDMモデル § 宇宙論的原理の違反を参照）、ハッブル定数とハッブル張力の既存の解釈を修正する必要があり、それによってハッブル張力が解消されるかもしれない。^{[89]特に、このような説明が超新星や}重粒子の音響振動の観測結果と一致するためには、我々は約0.5の赤方偏移までの非常に大きな空間内にいる必要がある。^[66]さらに別の可能性として、測定の不確実性が過小評価されている可能性があるが、内部合意を考慮すると、これはありそうになく、全体的な張力が解消されることもない。^[56]

最後に、もう一つの可能​​性は、現在受け入れられている宇宙の宇宙論モデルであるΛCDMモデルを超える新しい物理学です。^{[66] [90]}このカテゴリには非常に多くの理論があり、たとえば、一般相対性理論を修正された重力理論に置き換えることで緊張を解消できる可能性があります。^{[91] [92]}初期宇宙の暗黒エネルギー成分、^{[b] [93]}時間変動状態方程式を持つ暗黒エネルギー、^{[c] [94]}または暗黒放射に崩壊する暗黒物質でも緊張を解消できます。^[95]これらすべての理論が直面している問題は、初期宇宙と後期宇宙の両方の測定が複数の独立した物理学のラインに依存しており、他の場所での成功を維持しながらそれらのラインのいずれかを修正することが難しいことです。 一部の著者が新しい初期宇宙物理学だけでは不十分であると主張していることから、課題の規模がわかります。^{[96] [97]}一方、他の著者は新しい後期宇宙物理学だけでは不十分であると主張しています。^[98]それにもかかわらず、天文学者たちは努力を続けており、ハッブル・テンションへの関心は2010年代半ばから急速に高まっています。^[66]

• 物理定数に名前が使われている科学者のリスト
• S8 張力- ΛCDM モデルの別のパラメータからの同様の問題。
• 一般相対性理論のテスト

• ハッブル、EP (1937)。宇宙論への観測的アプローチ。クラレンドン・プレス。LCCN  38011865。
• Kutner, M. (2003).天文学: 物理的観点. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-52927-3。
• リドル、AR（2003）。現代宇宙論入門（第2版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-0-470-84835-7。

• NASA の WMAP ビッグバン膨張: ハッブル定数
• ハッブルキープロジェクト
• ハッブル図プロジェクト
• 異なるハッブル定数を理解する ( Forbes ; 2019 年 5 月 3 日)
• メリフィールド、マイケル (2009)。「ハッブル定数」。60のシンボル。ノッティンガム大学のブレイディ・ハラン。