スケールファクター（宇宙論）

宇宙の膨張は無次元のスケールファクターによってパラメータ化される。${\displaystyle a}$宇宙スケール因子またはロバートソン・ウォーカー・スケール因子とも呼ばれる^{[ 1 ]}これは、フリードマン方程式の重要なパラメータである。

ビッグバン初期段階では、エネルギーの大部分は放射線の形をとっており、その放射線が宇宙の膨張に支配的な影響を与えていました。その後、膨張による冷却に伴い、物質と放射線の役割が変化し、宇宙は物質優勢の時代へと移行しました。最近の研究結果は、すでにダークエネルギーが支配する時代に突入していることを示唆していますが、初期宇宙を理解するためには、物質と放射線の役割を検証することが最も重要です。

宇宙の膨張を特徴づける無次元スケールファクターを用いると、放射と物質の有効エネルギー密度は異なるスケールをとる。これにより、宇宙のごく初期には放射優勢の時代が訪れるが、その後物質優勢の時代へと移行し、約40億年前以降はダークエネルギー優勢の時代となる。^{[ 2 ] [注1 ]}

宇宙論におけるスケールファクターは、それ自体は幾何学的スケーリングファクターであり、慣習的に現在（「今」または）で 1.0 に設定されています。$t0$) 初期には、この係数は 1 未満です。3 つの銀河の場合、それらの相対位置は、$\displaystyle r_{ij}}$時間の経過とともに、スケールファクターを通じて関連付けられる${\displaystyle a(t)}$: $${\displaystyle r_{12}=a(t)r_{12}(t_{0}),r_{23}=a(t)r_{23}(t_{0}),r_{31}=a(t)r_{31}(t_{0}).}$$ 宇宙モデルでは、スケールファクターの値は宇宙時間の関数として規定される。スケールファクターは位置や方向には依存しない。^{[ 3 ]： 43}

膨張に関する洞察は、フリードマン方程式の簡略化されたバージョンにつながるニュートン膨張モデルから得られる。これは、固有距離（共動距離とは異なり、時間とともに変化する可能性がある）と関係している。$dC$任意の時点において、膨張または収縮するFLRW 宇宙でハッブル流とともに移動する一対の天体（例えば、2 つの銀河団）間の距離（これは定数であり、今日の距離に設定されている）${\displaystyle t}$ある基準時間におけるそれらの距離に対して$t0$その式は次のとおりです。 $${\displaystyle d(t)=a(t)d_{0},\,}$$ どこ$d(t)$元期における適切な距離は${\displaystyle t}$、$d0$基準時刻における距離$t0$通常は共動距離とも呼ばれ、${\displaystyle a(t)}$はスケールファクターである。^{[ 4 ]}したがって、定義により、${\displaystyle d_{0}=d(t_{0})}$そして${\displaystyle a(t_{0})=1}$。

スケールファクターは無次元で、${\displaystyle t}$宇宙の誕生から数えて$t0$宇宙の現在の年齢に設定：13.799 ± 0.021  Gyr ^{[ 5 ]}現在の値${\displaystyle a}$として${\displaystyle a(t_{0})}$または${\displaystyle 1}$。

スケールファクターの進化は、一般相対性理論の方程式によって決定される力学的な問題であり、局所的に等方的で局所的に均質な宇宙の場合、フリードマン方程式によって表される。

ハッブルパラメータは次のように定義されます。

$${\displaystyle H(t)\equiv {\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$$

ここでドットは時間微分を表す。ハッブル定数は空間ではなく時間によって変化する。${\displaystyle H_{0}}$現在の価値である。

前の式から${\displaystyle d(t)=d_{0}a(t)}$分かるように$\displaystyle {\dot {d}}(t)=d_{0}{\dot {a}}(t)}$、そしてまた${\displaystyle d_{0}={\frac {d(t)}{a(t)}}}$なので、これらを組み合わせると$\displaystyle {\dot {d}}(t)={\frac {d(t){\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$、そして上記のハッブルパラメータの定義を代入すると、$\displaystyle {\dot {d}}(t)=H(t)d(t)}$これはまさにハッブルの法則です。

現在の証拠は宇宙の膨張が加速していることを示唆しており、これはスケールファクターの2階微分が${\displaystyle {\ddot {a}}(t)}$は正である、または同等に、1階微分は$\displaystyle {\dot {a}}(t)}$は時間とともに増加しています。^{[ 6 ]}これはまた、任意の銀河が時間とともに私たちから遠ざかる速度が増加することを意味します。つまり、その銀河については、$\displaystyle {\dot {d}}(t)}$は時間とともに増加している。対照的に、ハッブルパラメータは時間とともに減少しているように見える。つまり、ある一定の距離 d を見て、一連の異なる銀河がその距離を通過するのを観察すると、後の銀河は前の銀河よりもその距離をより小さな速度で通過することになる。^{[ 7 ]}

膨張宇宙をモデル化するために使用されるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量によれば、現在、赤方偏移zを持つ遠方の天体から光を受信して​​いる場合、その天体が最初にその光を放出した時点でのスケールファクターは${\displaystyle a(t)={\frac {1}{1+z}}}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

• 宇宙論的原理
• ラムダCDMモデル
• 赤方偏移

• パドマナバン、タヌ（1993）。宇宙における構造形成。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-42486-8。
• Spergel, DN; et  al. (2003). "Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) による初年度観測: 宇宙論的パラメータの決定" . Astrophysical Journal Supplement . 148 (1): 175– 194. arXiv : astro-ph/0302209 . Bibcode : 2003ApJS..148..175S . CiteSeerX 10.1.1.985.6441 . doi : 10.1086/377226 . S2CID 10794058 .  

• スケールファクターと宇宙定数およびハッブル定数の関係