共動と適切な距離

標準的な宇宙論では、共動距離と固有距離（または物理的距離）は、宇宙論者が物体間の距離を定義するために使用する2つの密接に関連した距離の尺度です。共動距離は宇宙の膨張を考慮に入れず、銀河団内の銀河の運動などの局所的な要因を除いて、時間の経過とともに変化しない距離を与えます。^[1] 固有距離は、宇宙の膨張により時間の経過とともに変化する可能性がある、宇宙時間のある瞬間に遠くの物体がある場所に大まかに対応します。共動距離と固有距離は、現時点では等しいと定義されています。他の時点では、宇宙の膨張により固有距離が変化しますが、共動距離は一定のままです。

一般相対性理論では任意の座標を使用して物理法則を定式化できますが、いくつかの座標選択はより自然で扱いやすいものです。共動座標は、そのような自然な座標選択の一例です。共動座標は、宇宙を等方性として認識する観測者に一定の空間座標値を割り当てます。このような観測者はハッブル流に沿って動くため、「共動」観測者と呼ばれます。

共動観測者は、宇宙マイクロ波背景放射を含め、宇宙が等方性であると認識する唯一の観測者です。非共動観測者は、空の領域が系統的に青方偏移または赤方偏移して見えるでしょう。したがって、等方性、特に宇宙マイクロ波背景放射の等方性は、共動フレームと呼ばれる特別な局所参照フレームを定義します。局所共動フレームに対する観測者の速度は、観測者の固有速度と呼ばれます。

銀河などの大きな物質の塊のほとんどはほぼ共動しており、その固有速度（重力による）は、適度に近い銀河の観測者によって観測されるハッブルフロー速度（つまり、観測される「物質の塊」の近くの銀河群のすぐ外側から観測されるもの）と比較して小さい。

共動時間座標は、共動観測者の時計によるビッグバンからの経過時間であり、宇宙時間の尺度です。共動空間座標はイベントの発生場所を示し、宇宙時間はイベントの発生時刻を示します。これらを組み合わせることで、イベントの場所と時刻の両方を示す 完全な座標系が形成されます。

共動座標の空間は通常「静的」であると言われています。これは、銀河規模以上のほとんどの物体がほぼ共動しており、共動物体は静的で変化しない共動座標を持っているためです。したがって、共動銀河の特定のペアの場合、それらの間の適切な距離は過去にはより小さく、宇宙の膨張により将来はより大きくなりますが、それらの間の共動距離は常に 一定のままです。

膨張する宇宙には増加するスケール係数があり、これが一定の共動距離が時間とともに増加する固有距離とどのように調和するかを説明しています。

共動距離は、現在の宇宙時間で定義された経路に沿って測定された2点間の距離です。ハッブルフローとともに移動する物体の場合、共動距離は時間的に一定であるとみなされます。観測者から遠くの物体（銀河など）までの共動距離は、次の式で計算できます（フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を使用して導出）。 ここで、a ( t ′) はスケール係数、t _{e は}観測者が検出した光子の放出時刻、tは現在時刻、c は真空中の光速です。 $${\displaystyle \chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}}$$

この式は時間 にわたる積分であるにもかかわらず、固定時間tに仮想の巻尺で測定される正確な距離、つまり、被積分関数の逆スケール係数項によって時間に依存する共動光速度を考慮に入れた後の「適切な距離」（以下に定義）を与えます。「共動光速度」とは、共動座標 [ ]を通る光の速度を意味します。これは、局所的には光粒子のヌル測地線に沿った任意の点で、慣性系内の観測者が特殊相対性理論に従って常に光速度を として測定するにもかかわらず、時間に依存します。導出については、Davis & Lineweaver 2004 の「付録 A: 膨張と地平線の標準的な一般相対論的定義」を参照してください^。[2]特に、参照されている 2004 年の論文の式16 ～ 22 を参照してください [注: その論文では、スケール係数は距離の次元を持つ量として定義されていますが、ラジアル座標は無次元です。 ${\displaystyle 1/a(t')}$${\displaystyle c/a(t')}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R(t')}$${\displaystyle \chi }$

多くの教科書では、共動距離を表す記号が使用されています。ただし、これは、 FLRW 宇宙で一般的に使用されている共動座標系の座標距離とは区別する必要があります。FLRW 宇宙では、測定基準は次の形式になります (縮小円周極座標では、球面宇宙の半周でのみ機能します)。 ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle r}$$${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).}$$

この場合、共動座標距離は次のように関係する: ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle r}$${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle \chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa <0\ {\text{(a negatively curved ‘hyperbolic’ universe)}}\\r,&{\text{if }}\kappa =0\ {\text{(a spatially flat universe)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa >0\ {\text{(a positively curved ‘spherical’ universe)}}\end{cases}}}$$

ほとんどの教科書や研究論文では、共動観測者間の共動距離を時間に依存しない不変の固定量と定義し、それらの間の動的に変化する距離を「固有距離」と呼んでいます。この用法では、共動距離と固有距離は現在の宇宙の年齢では数値的に等しいですが、過去と未来では異なります。銀河までの共動距離が と表記されている場合、任意の時刻における固有距離は、 で表されます 。 ここで はスケール係数です (例: Davis & Lineweaver 2004)。^[2]時刻tにおける 2 つの銀河間の固有距離は、その時刻に定規で測定される距離です。^[6]${\displaystyle \chi }$${\displaystyle d(t)}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle d(t)=a(t)\chi }$$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle d(t)}$

宇宙時間は、固定された共動空間位置、つまり局所共動フレームにいる観測者にとって局所的に測定された時間と同一である。固有距離も、近くの物体の共動フレームで局所的に測定された距離に等しい。2 つの遠く離れた物体間の固有距離を測定するには、2 つの物体の間に直線上に共動観測者が多数いて、すべての観測者が互いに近く、2 つの遠く離れた物体の間にチェーンを形成していると想像する。これらの観測者はすべて同じ宇宙時間を持っていなければならない。各観測者はチェーン内の最も近い観測者までの距離を測定し、チェーンの長さ、つまり近くの観測者間の距離の合計が総固有距離となる。^[7]

宇宙論的な意味での共動距離と固有距離（特殊相対性理論における固有長とは対照的）の両方の定義において、すべての観測者が同じ宇宙年齢を持つことが重要です。たとえば、2 点間の直線または空間的測地線に沿って距離を測定する場合、2 点間に位置する観測者は、測地線の経路が自身の世界線と交差したときに異なる宇宙年齢を持つことになります。そのため、この測地線に沿った距離を計算すると、共動距離または宇宙論的固有距離を正しく測定していないことになります。共動距離と固有距離は、特殊相対性理論における距離の概念と同じ距離の概念ではありません。これは、両方の種類の距離を測定できる質量のない宇宙の仮想的なケースを考えるとわかります。FLRW 計量の質量密度がゼロ（空の「ミルン宇宙」）に設定されると、この計量の記述に使用される宇宙座標系は特殊相対性理論のミンコフスキー時空における非慣性座標系となり、慣性参照系の観点から見ると、一定のミンコフスキー固有時間 τ の面がミンコフスキー図内で双曲線として表示されます。^[8]この場合、宇宙時間座標によれば同時である 2 つのイベントについて、宇宙固有距離の値は、これらの同じイベント間の固有長の値に等しくありません。^[9]固有長は、ミンコフスキー図内のイベント間の直線に沿った距離（平坦なミンコフスキー時空では直線は測地線です）、または同時である慣性系内のイベント間の座標距離になります。

固有距離の変化を、その変化が測定された宇宙時間の間隔で割り（または固有距離を宇宙時間で導関数）、これを「速度」と呼ぶと、銀河やクエーサーの結果としての「速度」は光速c を超えることがあります。このような超光速膨張は、特殊相対性理論や一般相対性理論、あるいは物理的宇宙論で使用されている定義と矛盾しません。光自体でさえ、この意味ではcの「速度」を持ちません。任意の物体の全速度は、 の和として表すことができます。ここで、は宇宙の膨張による後退速度（ハッブルの法則で与えられる速度）であり、 は局所的な観測者によって測定された「固有速度」（ および、点は第 1導関数を示す）です。したがって、光 はcに等しくなります（光が原点にある私たちの位置に向かって放射される場合は− c 、私たちから離れて放射される場合は + c）が、全速度は通常cとは異なります 。^{[2]特殊相対論でも、}慣性系における光の座標速度はcであることが保証されているだけである。非慣性系では座標速度はcと異なる可能性がある。^[10]一般相対論では、曲がった時空の広い領域上の座標系は「慣性」ではないが、曲がった時空の任意の点の局所近傍では、局所的な光速度がc ^{[11]であり、星や銀河などの巨大な物体の局所速度は常に}cより小さい「局所慣性系」を定義できる。遠方の物体の速度を定義するために使用される宇宙論的定義は座標に依存している。一般相対論では、遠方の物体間の速度の一般的な座標に依存しない定義はない。^[12]宇宙の膨張が（少なくとも最大規模では）光速を超えて進行している可能性が高いことをどのように説明し、普及させるのが最善かは、多少の論争を引き起こしている。1つの視点は、2004年の Davis と Lineweaver で提示されている。^[2]${\displaystyle v_{\text{tot}}=v_{\text{rec}}+v_{\text{pec}}}$${\displaystyle v_{\text{rec}}}$${\displaystyle v_{\text{pec}}}$${\displaystyle v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)}$${\displaystyle v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)}$${\displaystyle v_{\text{pec}}}$${\displaystyle v_{\text{tot}}}$

距離が短く、移動が短い場合、移動中の宇宙の膨張は無視できます。これは、非相対論的に移動する粒子の任意の 2 点間の移動時間は、それらの点間の適切な距離 (つまり、移動時の宇宙のスケール係数を使用して測定された共動距離であり、「現在」のスケール係数を使用して測定された共動距離) を粒子の速度で割った値にちょうどなるためです。粒子が相対論的な速度で移動している場合は、時間の遅れに対する通常の相対論的補正を行う必要があります。

• 他の距離測定と比較するための距離測定。
• 宇宙の膨張
• 光より速い § 宇宙の膨張、遠方の銀河が光より速く動いているように見えること。
• フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量
• 適切な長さ
• 赤方偏移、共動距離と赤方偏移の関係。
• 宇宙の形

• 重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用。スティーブン・ワインバーグ。出版社：Wiley-VCH （1972年7月）。ISBN 0-471-92567-5。 
• 物理宇宙論の原理。PJEピーブルズ。出版社：プリンストン大学出版局（1993年）。ISBN 978-0-691-01933-8。 

• 宇宙論における距離の測定
• ネッド・ライトの宇宙論チュートリアル
• iCosmos: 宇宙論計算機 (グラフ生成機能付き)
• 局所的に不均一なケースやFortran 77ソフトウェアを含む一般的な方法
• Atlas of the Universe ウェブサイトからの距離の説明。