人口動態

人口動態は、人口の規模と年齢構成を動的システムとしてモデル化し研究するために使用される数学の一種です。

人口動態は伝統的に数理生物学の主要な分野であり、220年以上の歴史を持っていますが^[1] 、過去1世紀にわたって数理生物学の範囲は大きく拡大しました。^[要出典]

人口動態の始まりは、マルサスの研究であり、マルサスの成長モデルとして定式化されていると広く考えられています。マルサスによれば、条件（環境）が一定（ceteris paribus）であると仮定すると、人口は指数関数的に増加（または減少）します。[ 2 ^{] : 18}この原理は、19世紀初頭のベンジャミン・ゴンペルツ^[3]やピエール・フランソワ・ヴェルフルストによるマルサスの人口動態モデルを改良し調整した研究などのその後の予測理論の基礎となりました。 ^[4]

より一般的なモデル定式化は1959年にFJリチャーズによって提案され、^[5]サイモン・ホプキンスによってさらに拡張され、ゴンペルツ、フェルフルスト、ルートヴィヒ・フォン・ベルタランフィのモデルが一般的な定式化の特殊なケースとしてカバーされました。ロトカ・ヴォルテラ捕食者-被食者方程式は別の有名な例であり、^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]代替の}アルディティ・ギンツブルグ方程式も同様です。^{[14] [15]}

簡略化された人口モデルは、通常、死亡、出生、移民、移住の4 つの主要変数 (4 つの人口動態プロセス) から始まります。人口動態と進化の変化を計算するために使用される数学モデルは、外部からの影響がないという仮定に基づいています。モデルは、「...複数の競合する仮説が同時にデータに直面する」場合、数学的に複雑になることがあります。 ^[16]たとえば、移民と移住が発生しない閉鎖系では、人口内の個体数の変化率は次のように記述できます。 ここで、Nは調査対象の特定の実験人口内の個体の総数、Bは出生数、D は特定の実験またはモデルでの個体あたりの死亡数です。代数記号b、d、r は、一般人口の出生率、死亡率、個体あたりの変化率、つまり固有の増加率を表します。この式は、人口の変化率（dN / dt ）が出生数から死亡数を引いたもの（ B − D ）に等しいと解釈できる。^{[2] [13] [17]}$${\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=BD=bN-dN=(bd)N=rN,}$$

これらの手法を用いて、マルサスの人口増加原理は後にロジスティック方程式として知られる数学モデルに変換されました。 ここで、Nは人口規模、rは自然増加の内在率、Kは人口の収容力です。この式は次のように読み取れます。人口の変化率（dN / dt ）は、収容力（1 − N / K）によって制限される成長（ rN ）に等しい。これらの基本的な数学的原理から、人口生態学の分野は、実際の人口の人口動態を照会し、その結果を統計モデルに対してテストする調査分野へと拡大しました。人口生態学の分野では、繁殖力と生存率に関する予測行列を作成するために、生活史と行列代数に関するデータがよく使用されます。この情報は、野生生物の在庫管理と収穫割当の設定に使用されます。^{[13] [17]}$${\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=rN\left(1-{N \over K}\right),}$$

個体群を制御する密度依存の力がない場合に個体群が増加する速度は、固有増加率として知られています。ここで、 導関数は個体群の増加率、Nは個体群サイズ、rは固有増加率です。したがって、rは個体あたりの個体群の最大理論増加率、つまり最大個体群成長率です。この概念は、昆虫の個体群生態学または管理において、環境要因が害虫の個体群増加率にどのように影響するかを判断するためによく使用されます。指数的個体群増加およびロジスティック個体群増加も参照してください。^[18]$${\displaystyle {\mathrm {d} N \over \mathrm {d} t}=rN}$$ ${\displaystyle dN/dt}$

人口動態は、数理生物学におけるもう一つの活発な研究分野である数理疫学（集団に影響を及ぼす感染症の研究）と重なり合っています。ウイルス拡散のさまざまなモデルが提案され、分析されており、健康政策の決定に応用できる重要な結果をもたらしています。^[要出典]

以下の数式は、幾何集団をモデル化するのに使用されます。このような集団は、生殖期間を指定せずに成長する集団とは対照的に、禁欲期間の間に離散的な生殖期間で成長します。自然数 t が世代のインデックスであるとします (第 1 世代の場合はt=0 、第 2 世代の場合はt=1など)。文字tが使用されるのは、世代のインデックスが時間であるためです。N _{t は}、世代tで、集団の個体のうち生殖する個体の数、つまり世代tでの集団サイズを表します。次の世代の集団、つまり時刻t+1での集団は、次の式で表されます。^[20] ここで $${\displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}+I_{t}-E_{t}}$$

• B _{t は}世代tとt + 1の間の人口の出生数であり、
• D _{t は}世代tとt + 1の間の死亡数であり、
• _tは世代tとt + 1の間に人口に追加された移民の数であり、
• E _{t は}世代tとt + 1の間で人口から移動する移住者の数です。

簡単にするために、人口の流入や流出はないものと仮定しますが、この仮定なしに次の方法を適用できます。数学的には、すべてのtに対して、I _t = E _t = 0であることを意味します。前の式は次のようになります。 $${\displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}.}$$

一般的に、出生数と死亡数は人口規模にほぼ比例します。このことから、次の定義が生まれます。

• 時刻tにおける出生率はb _t = B _t / N _tで定義されます。
• 時刻tにおける死亡率はd _t = D _t / N _tで定義されます。

前の式は次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle N_{t+1}=(1+b_{t}-d_{t})N_{t}.}$$

次に、出生率と死亡率は時間tに依存しないと仮定します（これは、出生数と死亡数が人口サイズに実質的に比例すると仮定することと同じです）。これは幾何人口の中心的な仮定です。これにより、幾何列 が得られるからです。次に、幾何増加率R = b _t - d _tを、出生率から死亡率を引いた値として定義します。この仮定では、出生率と死亡率のどちらも時間tに依存しないため、幾何増加率は時間 t に依存しません。次の式が得られます。 この式は、列(​​N _t )が第 1 項N ₀と公比1 + Rで幾何的であることを意味しており、これをλと定義します。λ は有限増加率とも呼ばれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{t+1}&=\left(1+R\right)N_{t}.\end{aligned}}}$$

したがって、帰納法によって、時刻tにおける人口サイズの式が得られます。 ここで、λ ^{t は}、世代数を累乗した有限増加率です。この最後の式は明示的であるため、前の式よりも便利です。たとえば、初期人口N _{0と有限増加率}λ がわかっている場合に、計算機を使用して 10 世代目の人口N _{10を計算したいとします。最後の式では、} t = 10を代入するだけで結果がすぐに得られますが、前の式では、 N ₉、N ₈、...、N _2からN ₁までを知る必要があります。 $${\displaystyle N_{t}=\lambda ^{t}N_{0}}$$

次の 3 つのケースが考えられます。

• λ > 1、つまりR > 0 、つまり（出生率と死亡率はどちらも時間tに依存しないという仮定のもとで）b ₀ > d ₀、つまり出生率が死亡率よりも厳密に大きい場合、人口規模は増加し、無限大に向かいます。もちろん、現実の世界では、人口が無制限に増加することはできません。ある時点で人口に資源が不足し、死亡率が上昇します。これにより、死亡率が時間に依存するようになったため、私たちの基本的な仮定は無効になります。
• λ < 1、つまりR < 0 、つまり（出生率と死亡率はどちらも時間tに依存しないという仮定のもとで）b ₀ < d ₀、つまり出生率が死亡率よりも厳密に小さい場合、人口規模は減少し、0に近づきます。
• λ = 1、つまりR = 0 、つまり（出生率と死亡率はどちらも時間tに依存しないという仮定のもとで）b ₀ = d ₀、つまり出生率が死亡率に等しい場合、人口サイズは一定で、初期人口N ₀に等しくなります。

集団の倍加時間（t d ）は、集団が2倍の大きさに成長するのに必要な時間です。[ 24 ]倍加_時間^{後に集団（} N）がその2倍の大きさ（2 N ）になるという事実を利用して、 N _t = λ ^t N ₀という式を使用して幾何集団の倍加時間を計算することができます。^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{t_{d}}&=\lambda ^{t_{d}}N_{0}\\2N_{0}&=\lambda ^{t_{d}}N_{ 0}\\\lambda ^{t_{d}}&=2\end{aligned}}}$$

倍加時間は対数を取ることで求められます。たとえば、次の ようになります 。または、 $${\displaystyle t_{d}\log _{2}(\lambda )=\log _{2}(2)=1\implies t_{d}={1 \over \log _{2}(\lambda )}}$$$${\displaystyle t_{d}\ln(\lambda )=\ln(2)\implies t_{d}={\ln(2) \over \ln(\lambda )}}$$

したがって：$${\displaystyle t_{d}={\frac {1}{\log _{2}(\lambda )}}={\frac {0.693...}{\ln(\lambda )}}}$$

人口の半減期とは、人口が半分に減少するのにかかる時間です。半減期後に人口（ N）は半分（0.5N ）になるという事実を利用して、 N _t = λ ^t N _{0という式を使用して幾何人口の}半減期を計算することができます。^[20]

$${\displaystyle N_{t_{1/2}}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies {\frac {1}{2}}N_{0}=\lambda ^{t_{1/2}}N_{0}\implies \lambda ^{t_{1/2}}={\frac {1}{2}}}$$ ここでt _{1/2 は}半減期です。

半減期は対数を取ることで計算できます（上記参照）。 $${\displaystyle t_{1/2}={1 \over \log _{0.5}(\lambda )}=-{\ln(2) \over \ln(\lambda )}}$$

人口が減少すると仮定すると、λ < 1となり、ln( λ ) < 0 となることに注意してください。

幾何集団では、Rとλ は成長定数を表す（2および2.3を参照）。しかしロジスティック集団では、内在的成長率、または内在的増加率（r）が関連する成長定数である。幾何集団では生殖世代が重複しない（例えば、1年に1回生殖する）が、指数集団では重複するため、幾何集団と指数集団は通常、相互に排他的であると考えられる。^[25]しかし、両方の定数セットは以下の数学的関係を共有している。^[20]

指数関数的人口の成長方程式は、e がオイラー数（ロジスティック方程式によく適用される普遍定数）であり、rが固有の成長率である、という式です。 $${\displaystyle N_{t}=N_{0}e^{rt}}$$

幾何分布とロジスティック分布の関係を見つけるために、N _{t が}両方のモデルで同じである と仮定し、次の等式を展開します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{0}e^{rt}&=N_{0}\lambda ^{t}\\e^{rt}&=\lambda ^{t}\\rt&=t\ln(\lambda )\end{aligned}}}$$$${\displaystyle r=\ln(\lambda )}$$$${\displaystyle \lambda =e^{r}.}$$

進化ゲーム理論は、ロナルド・フィッシャーが1930年に発表した論文「自然選択の遺伝理論」で初めて提唱されました。^[26] 1973年にジョン・メイナード・スミスは、進化的に安定した戦略という中心的な概念を定式化しました。^[27]

人口動態は、いくつかの制御理論のアプリケーションで使用されています。進化ゲーム理論は、さまざまな産業やその他のコンテキストで使用できます。産業的には、主に多入力多出力 ( MIMO ) システムで使用されますが、単入力単出力 ( SISO ) システムでの使用にも適応できます。その他のアプリケーションの例としては、軍事作戦、配水、分散型発電機のディスパッチ、実験室実験、輸送問題、通信問題などがあります。

植物の個体数は、毎年の環境変動により大きく変動します。 ^[28]植物の動態は、哺乳類、鳥類、二化性昆虫よりも季節性が高いことが知られています。 ^[28]病気による摂動と相まって、混沌とした変動が生じることがよくあります。^[28]

コンピュータゲームの SimCity、Sim Earth、MMORPG Ultima Onlineなどは、こうした人口動態の一部を シミュレートしようとしました。

• アンドレイ・コロタエフ、アルテミー・マルコフ、ダリア・カルトゥリナ。社会マクロダイナミクス入門：世界システム成長のコンパクトマクロモデル。ISBN 5-484-00414-4 
• Turchin, P. 2003. 「複雑な人口動態：理論的/経験的統合」プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。
• スミス、フレデリックE. (1952)。「人口動態の実験的方法：批判」。生態学。33 (4): 441– 450。Bibcode : 1952Ecol ...33..441S。doi :10.2307/1931519。JSTOR 1931519  。

• 人口動態に関する仮想ハンドブック。底生無脊椎動物に重点を置いた人口動態の分析のための最先端の基本ツールをオンラインでまとめたものです。