ハミルトン・ヤコビ方程式

物理学において、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられたハミルトン・ヤコビ方程式は、古典力学の別の定式化であり、ニュートンの運動の法則、ラグランジアン力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同等です。

ハミルトン・ヤコビ方程式は、粒子の運動を波として表すことができる力学の定式化である。この意味で、この方程式は、光の伝播と粒子の運動の類似性を見つけるという理論物理学の長年の目標（少なくとも18世紀のヨハン・ベルヌーイにまで遡る）を達成した。機械システムが従う波動方程式は、以下に説明するように、シュレーディンガー方程式に似ているが同一ではない。このため、ハミルトン・ヤコビ方程式は、古典力学から量子力学への「最も近いアプローチ」であると考えられている。^{[1] [2]}この関係の質的形式は、ハミルトンの光機械類似性と呼ばれている。

数学において、ハミルトン・ヤコビ方程式は変分法の問題の一般化における極限幾何学を記述する必要条件である。これは動的計画法のハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の特殊なケースとして理解することができる。^[3]

ハミルトン・ヤコビ方程式は、一階の非線形 偏微分方程式である。

座標⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {q} }$にある粒子のシステムについて。関数はシステムのエネルギーを与えるシステムのハミルトニアンです。方程式の解は作用汎関数⁠ ⁠であり、^{[4]古い教科書では}ハミルトンの主関数と呼ばれています。解は、最小作用の原理で使用される形式の不定積分によってシステムラグランジアンに関連付けることができます。^{[5] : 431} 定作用の幾何学的表面はシステムの軌跡に垂直であり、システムダイナミクスの波面のようなビューを作成します。ハミルトン-ヤコビ方程式のこの特性は、古典力学と量子力学を結び付けます。^{[6] : 175}${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ $${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

太字の変数は一般化座標のリストを表します。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

変数またはリスト上のドットは時間微分を表します（ニュートン記法を参照）。たとえば、 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

同じ数の座標を持つ2つのリスト間のドット積表記は、対応する成分の積の合計を表す略記法です。たとえば、 $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

ヘッセ行列は 逆行列であるとする。この関係は 、オイラー・ラグランジュ方程式が2階常微分方程式の系を形成すること を示している。行列を逆行列にすると、この系は次のように変換される 。${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H_{\cal {L}}}$$${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

時刻と配置空間の点を固定します。存在定理と一意性定理は、条件とを持つすべての初期値問題に対して、局所的に一意の解を持つことを保証します。さらに、異なる初期速度を持つ極値がで交差しないほど十分に小さい時間間隔があるとします。後者は、任意の と任意の に対して、となる極値は最大でも 1 つしかないことを意味します。を作用関数に代入すると、ハミルトンの主関数 (HPF) が得られます。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

どこ

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

運動量は次のように定義されます。このセクションでは、HPF がわかると、の依存性がなくなること を示します。${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

実際、時刻と配置空間の点を固定します。すべての時刻と点について、ハミルトンの主関数の定義からの（唯一の）極値を とします。⁠ ⁠での速度を とします。すると ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$${\displaystyle \tau =t}$

機械システムのハミルトニアン が与えられた場合、ハミルトン・ヤコビ方程式はハミルトンの主関数に対する一階非線形偏微分方程式である。^[7]${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

あるいは、以下に述べるように、ハミルトン力学からハミルトン・ヤコビ方程式を導くこともできる。これは、古典ハミルトン方程式の 標準変換の生成関数として扱うことによって行われる。${\displaystyle S}$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

共役運動量は一般化座標に関する の一次導関数に対応する。${\displaystyle S}$$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式の解として、主関数には未定定数が含まれます。最初の未定定数は と表され、最後の未定定数は の積分から得られます。 ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

と の関係は、これらの運動定数を用いて位相空間における軌道を記述します。さらに、これらの量 も運動定数であり、これらの方程式を逆にすると、すべてのおよび定数と時間の関数として見つけることができます。^[8]${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、一般化座標と時間の関数に関する単一の 1 階偏微分方程式です。一般化運動量は、古典作用の導関数としてのみ現れます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$

比較すると、ラグランジュ力学の同等のオイラー・ラグランジュの運動方程式にも共役運動量は現れませんが、これらの方程式はのシステムであり、一般に一般化座標の時間発展に関する2次方程式です。同様に、ハミルトンの運動方程式は、一般化座標とその共役運動量 の時間発展に関する2 Nの1次方程式の別のシステムです。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

HJE はハミルトンの原理のような積分最小化問題と等価な表現であるため、変分法の他の問題や、より一般的には力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスなどの数学や物理学の他の分野でも有用である。例えば、ハミルトン・ヤコビ方程式は、リーマン多様体上の測地線を決定するために使用できる。これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。しかし、計算ツールとしては、偏微分方程式を解くのは非常に複雑であることが知られているが、独立変数を分離できる場合は別である。この場合、HJE は計算上有用となる。^{[5] : 444}

タイプ 2生成関数を含む任意の標準変換は関係式につながり 、新しい変数と新しいハミルトニアン に関するハミルトン方程式は同じ形式になります。 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}}$$${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$${\displaystyle K}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

HJE を導出するには、新しいハミルトニアン を作成するような生成関数を選択します。したがって、その導関数もすべてゼロになり、変換されたハミルトン方程式は自明になる ため、新しい一般化座標 と運動量は運動定数になります。これらは定数であるため、このコンテキストでは、新しい一般化運動量は通常、つまり と表され、新しい一般化座標は通常 と表されるためです。 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$${\displaystyle K=0}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

生成関数をハミルトンの主関数に任意の定数を加えた値に設定すると、 HJEが自動的に発生する。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$$

これらをについて解くと、 わかりやすいように成分で書かれた 便利な方程式や が得られる。 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

理想的には、これらのN方程式を逆転させて、定数およびの関数として元の一般化座標 を見つけ、元の問題を解決できます。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$${\displaystyle t}$

問題が変数の加法的分離を許す場合、HJEは直接運動定数を導く。例えば、ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合、時間tは分離できる。その場合、 HJEの時間微分は定数でなければならず、通常は( )で表され、分離された解を与える。 ここで、 時間に依存しない関数は、省略された作用またはハミルトンの特性関数^{[5] :434}と呼ばれることがあり、 ^{[9] :607}と 表記されることもある（作用原理名を参照）。簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$${\displaystyle -E}$$${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.}$$

他の変数の分離可能性を説明するために、ある一般化座標 とその導関数が ハミルトニアンにおいて 単一の関数として一緒に現れると仮定する。 ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

その場合、関数Sは2つの関数に分割することができ、1つはq _kのみに依存し、もう1つは残りの一般化座標のみに依存する。 $${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

これらの式をハミルトン・ヤコビ方程式に代入すると、関数ψは定数（ここでは と表記）でなければならないことがわかり、次の1階常微分方程式が得られる。${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.}$$

幸運なケースでは、関数は完全に関数に分離できる。${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$ $${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

このような場合、問題は常微分方程式に移行します。 ${\displaystyle N}$

Sの分離可能性は、ハミルトニアンと一般化座標の選択の両方に依存します。直交座標と、時間依存性がなく一般化運動量に関して2 次であるハミルトニアンの場合、各座標の位置エネルギー項にハミルトニアンの対応する運動量項の座標依存係数を乗じると、各座標の位置エネルギー項が加法的に分離可能であれば、S は完全に分離可能になります (シュテッケル条件)。説明のために、次のセクションでは直交座標の例をいくつか示します。 ${\displaystyle S}$

球座標では、保存ポテンシャルU内を運動する自由粒子のハミルトニアンは次のように表される。 $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、類似の形式で記述できる 関数が存在する限り、これらの座標で完全に分離可能である。${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

完全に分離された溶液を HJEに代入すると、 $${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

この方程式は、ハミルトン・ヤコビ方程式から依存性 を排除する運動定数である 、の方程式から始めて、常微分方程式を連続的に積分することによって解くことができる。${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }\right]=E.}$$

次の常微分方程式には一般化座標が含まれます。 ここで は再び運動の定数であり、依存性を排除してHJE を最終的な常微分方程式に簡約します。 この方程式を積分すると の解が完成します。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }=\Gamma _{\theta }}$$${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$${\displaystyle S}$

楕円柱座標におけるハミルトニアンは、楕円の焦点が -軸上の にある 場合に書き表される 。ハミルトン・ヤコビ方程式は、 が類似した形を持つという条件で、これらの座標において完全に分離可能である。 ここで、、 は任意の関数である。完全に分離された解を HJEに代入すると、次の式が得られる 。 $${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$${\displaystyle \pm a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$$

最初の常微分方程式 を分離すると 、簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式が得られます（並べ替えと両辺の分母の乗算後）。 この方程式自体は、2 つの独立した常微分方程式 に分離でき 、これを解くと、 の完全な解が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$$${\displaystyle S}$

放物線円筒座標におけるハミルトニアンは次のように書ける。 $${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、、 、 が任意の関数 である類似の形を持つ 限り、これらの座標で完全に分離可能である。完全に分離された解を HJEに 代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.}$$

最初の常微分方程式 を分離すると 、簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式が得られます（並べ替えと両辺の分母の乗算後）。 この方程式自体は、2 つの独立した常微分方程式 に分離でき 、これを解くと、 の完全な解が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$$${\displaystyle S}$

HJEは、軌跡と波面の二重性を確立します。^[10]たとえば、幾何光学では、光は「光線」としても波としても考えられます。波面は、時刻に放射された光が時刻に到達した表面として定義できます。光線と波面は二重であり、一方がわかれば、もう一方は推測できます。 ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$${\textstyle t=0}$${\textstyle t}$

より正確には、幾何光学は変分問題であり、「作用」は経路に沿った移動時間であり、は媒体の屈折率、は無限小の弧の長さです。上記の定式化から、オイラー・ラグランジュ定式化を使用して光線の経路を計算できます。または、ハミルトン・ヤコビ方程式を解くことで波面を計算することもできます。1 つを知ることは、もう 1 つを知ることにつながります。 ${\textstyle T}$$${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$${\textstyle n}$${\textstyle ds}$

上記の双対性は非常に一般的であり、変分原理から派生するすべてのシステムに適用されます。つまり、オイラー・ラグランジュ方程式を使用して軌道を計算するか、ハミルトン・ヤコビ方程式を使用して波面を計算します。

時刻において最初に であったシステムの、時刻における波面は、となる点の集合として定義されます。 が既知であれば、運動量は直ちに推定されます。${\textstyle t}$${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$${\textstyle t_{0}}$${\textstyle \mathbf {q} }$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

がわかれば、の方程式を解くことで軌道の接線が計算されます。ここで はラグランジアンです。軌道は の情報から復元されます。 ${\textstyle \mathbf {p} }$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$${\textstyle {\cal {L}}}$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

関数の等値面は、任意の時刻tで決定できます。時間の関数としての -等値面の運動は、等値面上の点から始まる粒子の運動によって定義されます。このような等値面の運動は、波動方程式に厳密には従いませんが、 -空間を移動する波として考えることができます。これを示すために、S が波の 位相を表すものとします。 ここで、は指数引数を無次元にするために導入された定数 (プランク定数) です。波の振幅の変化は、 を複素数とすることで表すことができます。ハミルトン・ヤコビ方程式は と書き直され、 これがシュレーディンガー方程式となります。 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

逆に、シュレーディンガー方程式と の仮定から始めると、次のように推論できる。^[11]${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$$

上記のシュレーディンガー方程式の古典的極限（）は、ハミルトン・ヤコビ方程式の次の変形と同一になる。 ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

曲がった空間を移動する静止質量 の粒子に対する形式^[12]のエネルギー-運動量関係を用いると、 はアインシュタインの場の方程式から解かれた計量テンソル（すなわち、逆計量）の反変座標であり、 は光速 である。4元運動量を作用の4元勾配に等しく設定すると、 計量 によって決定される幾何学、 すなわち重力場 におけるハミルトン-ヤコビ方程式が得られる。 $${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$