楕円円筒座標

楕円円筒座標は、2 次元の楕円座標系を垂直方向に投影して得られる3 次元の直交 座標系です。したがって、座標面は共焦点楕円と双曲線のプリズムです。2 つの焦点と は、通常、直交座標系の 軸上でそれぞれと に 固定されているとみなされます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle +a}$${\displaystyle x}$

楕円円筒座標の最も一般的な定義は ${\displaystyle (\mu,\nu,z)}$

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

${\displaystyle z=z}$

ここで は非負の実数であり、 です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}$

これらの定義は楕円と双曲線に対応している。三角関数の恒等式

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{ 2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

定数曲線は楕円形になるが、双曲三角関数の恒等式は ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

定数の曲線が双曲線を形成することを示しています。 ${\displaystyle \nu }$

楕円円筒座標のスケール係数とは次の式に等しい。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

残りのスケール係数はである。したがって、無限小体積要素は ${\displaystyle h_{z}=1}$

${\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

や などの他の微分演算子は、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$

楕円座標の代替的で幾何学的に直感的なセットが時々使用されます。ここで、 および です。したがって、定数の曲線は楕円ですが、定数の曲線は双曲線です。座標は区間 [-1, 1] に属している必要があり、 座標は 1 以上である必要があります。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$${\displaystyle \tau =\cos \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

座標は、焦点およびまでの距離と単純な関係にあります。(x,y) 平面上の任意の点について、焦点までの距離の合計は に等しく、その差はに等しくなります。したがって、 までの距離は であり、 までの距離は です。( および はそれぞれ および にあることを思い出してください。) ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\displaystyle 2a\tau }$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$

これらの座標の欠点は、直交座標への1対1の変換がないことである。

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$

代替楕円座標のスケール係数は ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

そして、もちろん、である。したがって、無限小体積要素は ${\displaystyle h_{z}=1}$

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

楕円円筒座標の典型的な応用は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式などの偏微分方程式を解くことです。楕円円筒座標では、 変数を分離できます。典型的な例としては、幅 の平らな導体板を囲む電場が挙げられます。 ${\displaystyle 2a}$

3次元波動方程式は、楕円柱座標で表現すると変数分離によって解くことができ、マシュー微分方程式を導くことができます。

楕円座標の幾何学的特性も役に立つことがあります。典型的な例としては、 固定ベクトル に加算されるすべてのベクトルとのペアの積分が挙げられます。ここで、被積分関数はベクトルの長さとの関数です。(このような場合、2 つの焦点の間に と を- 軸に揃えて配置します。つまり、 です。)具体的には、、 およびはそれぞれ粒子の運動量とその分解生成物を表し、被積分関数には生成物の運動エネルギー (運動量の 2 乗の長さに比例する) が含まれる可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

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• MathWorld による楕円円筒座標の説明