かけやセット

数学において、カケヤ集合またはベシコビッチ集合は、ユークリッド空間内の点の集合であり、どの方向にも単位線分が含まれる。たとえば、ユークリッド平面内の半径 1/2 の円板、または 3 次元空間内の半径 1/2 の球は、カケヤ集合を形成する。この分野の研究の多くは、このような集合がどれだけ小さくなり得るかという問題に取り組んでいる。ベシコビッチは、測度 0のベシコビッチ集合が存在することを示した。

カケヤ針集合（カケヤ集合とも呼ばれる）は、平面上の（ベシコビッチ）集合であり、単位線分をその中で連続的に 180 度回転させて、逆向きで元の位置に戻ることができるという、より強い性質を持つ。半径 1/2 の円板もカケヤ針集合の例である。

掛谷の針問題は、単位長さの針を 360° 回転させることができる平面上の領域の面積が最小であるかどうかを問うものです。この問題は、凸領域に対して掛谷宗一(1917)によって初めて提起されました。凸集合の面積の最小値は、パールが示したように、高さ1、面積 1/√3 の正三角形によって 実現されます。^[1]${\displaystyle D}$

カケヤは、凸性制約のないカケヤ最小面積集合は三角錐形状になるだろうと示唆したようです。しかし、これは誤りです。より小さな非凸カケヤ集合が存在します。 ${\displaystyle D}$

ベシコヴィッチは、単位長さの針を回転させることができる領域 の面積に 0 より大きい下限は存在しないことを示すことができた。つまり、任意の に対して、針が 360 度回転する連続運動を行うことができる領域の面積が存在する。 ^[3]これは、各方向に単位セグメントを含む平面集合に関する彼の以前の研究に基づいている。このような集合は現在、ベシコヴィッチ集合と呼ばれている。このような集合が任​​意に小さい 測度を持つ可能性があることを示したベシコヴィッチの研究は1919 年のものである。この問題はそれ以前にも分析家によって検討されていた可能性がある。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$

ベシコヴィッチ集合を構築する方法の1つ（対応する図を参照）は、ベシコヴィッチの元の構築を簡素化できたオスカー・ペロンにちなんで「ペロン木」として知られています。 ^[4]正確な構築と数値境界は、ベシコヴィッチの普及版に記載されています。^[2]

最初に観察すべきことは、針は領域を掃引することなく、直線上を好きなだけ移動できることです。これは、針がゼロ幅の線分であるためです。Pál の 2 番目のトリックは、 Pálジョイン^[5]として知られ、無視できる領域を掃引しながら、平行な任意の 2 つの位置の間で針を移動する方法です。針は「N」の形をたどります。最初の位置から「N」の左側に少し移動し、中央の対角線まで角度を掃引し、対角線を下に移動して 2 番目の角度を掃引し、次に「N」の平行な右側を上に移動し、必要な 2 番目の位置に到達します。掃引されるゼロ以外の領域は、高さが 1 の 2 つの三角形と「N」の上部の角度だけです。掃引される領域は、に比例するこの角度に比例します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r}$

構築は、高さが 1 で、針が簡単に通過できる上部の角度がある程度ある三角形から始まります。目標は、この三角形に対してさまざまな操作を行って、針が通過できる方向を同じに保ちながら、面積を小さくすることです。まず、三角形を 2 つに分割し、その部分を互いに平行移動させて、全体の面積が最小になるように底辺が重なるようにすることを考えます。針は、最初の三角形によって指定された方向を通過し、2 番目の三角形にジャンプし、次に 2 番目の三角形によって指定された方向を通過することで、同じ方向を通過することができます。元の三角形が切断された 2 つの線は平行であるため、針は「N」テクニックを使用して三角形をジャンプできます。

ここで、三角形を 2 ^{n 個の}サブ三角形に分割するとします。図では 8 個を示しています。連続する三角形のペアごとに、前に説明したのと同じ重ね合わせ操作を実行して、2 つの重なり合う三角形からなる新しい図形を半分の数にします。次に、これらの新しい図形の連続するペアを、底辺が重なり合う合計面積が最小になるようにずらして重ね合わせます。図形が 1 つになるまで、これを n 回繰り返します。再び、針は 2 ^{n 個}のサブ三角形のそれぞれで方向順に掃き出すことで、同じ方向を掃き出すことができます。針は、これらの三角形が切断された 2 本の線が平行であるため、「N」技法を使用して連続する三角形をジャンプできます。

残っているのは、最終的な形状の面積を計算することです。証明はここで示すのが難しすぎます。代わりに、数値がどのようになるかについて議論します。図を見ると、 2 ⁿ個の部分三角形がかなり重なり合っていることがわかります。すべてが底部で重なり合っており、半分は左の枝の底部で重なり合っており、4 分の 1 は左の枝の底部で重なり合っています。以下同様に重なっています。 2 ⁱ個の部分三角形からi 回の併合操作で作成された各形状の面積がA _iで制限されているとします。これらの形状のうち 2 つを併合する前に、それらの面積は 2 A _iで制限されています。次に、2 つの形状をできるだけ重なるように一緒に移動させます。最悪の場合、これら 2 つの領域は互いに垂直な 1 x ε の長方形 2 つになり、重なり合う面積はわずか ε ²になります。しかし、構築した 2 つの形状は、細長い場合でも、連続する部分三角形のグループから作成されているため、ほぼ同じ方向を向いています。ハンドウェービングでは、それらの面積の少なくとも 1% が重なり合っていると述べられています。すると、結合された面積は A _i+1 = 1.99 A _iで囲まれます。元の三角形の面積は 1 で囲まれます。したがって、各サブ三角形の面積は A ₀ = 2 ^-nで囲まれ、最終的な形状の面積は A _n = 1.99 ⁿ × 2 ^-nで囲まれます。実際には、重なり合っていないすべての面積を注意深く合計すると、最終的な領域の面積ははるかに大きくなり、つまり1/nになります。n が大きくなると、この面積は 0 に縮小します。ベシコビッチ セットは、正三角形から作成されたペロン ツリーの 6 つの回転を組み合わせることによって作成できます。同様の構成は、平行四辺形でも作成できます。

測度ゼロのベシコヴィッチ集合を構築する方法は、「発芽」法以外にもある。例えば、カハネはカントール集合を​​使って2次元平面に測度ゼロのベシコヴィッチ集合を構築している。^[6]

1941 年、HJ Van Alphen ^[7]は、半径 2 + ε (任意の ε > 0) の円の内側に任意の小さな Kakeya 針集合が存在することを示した。三角筋よりも面積が小さい単連結Kakeya 針集合は 1965 年に発見された。Melvin Bloom とIJ Schoenberg はそれぞれ独立に、面積が、つまりBloom-Schoenberg 数に近い Kakeya 針集合を提示した。Schoenberg は、この数が単連結 Kakeya 針集合の面積の下限であると推測した。しかし、1971 年に F. Cunningham ^[8]は、ε > 0 の場合、半径 1 の円に含まれる面積が ε 未満の単連結 Kakeya 針集合が存在することを示した。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

任意に小さい正の測度のカケヤ針集合と測度 0 のベシコビッチ集合は存在するが、測度 0 のカケヤ針集合は存在しない。

これらのベシコヴィッチ集合がどれだけ小さくなり得るかという同じ疑問が、高次元で提起され、カケヤ予想として総称されるいくつかの予想を生み出し、幾何学的測度論として知られる数学の分野の始まりに貢献しました。特に、測度ゼロのベシコヴィッチ集合が存在する場合、それらが存在する空間の次元よりも小さい次元 s に対して s 次元ハウスドルフ測度ゼロを持つこともできるでしょうか。この疑問から、次の予想が生まれます。

掛谷集合予想: R ⁿのベシコビッチ集合を、あらゆる方向に単位線分を含む集合として定義します。そのような集合のハウスドルフ次元とミンコフスキー次元は必ずnに等しいというのは本当ですか?

これはn = 1、2 の場合に当てはまることが分かっていますが、高次元では部分的な結果しか分かっていません。

^{この問題に取り組む現代的な方法は、}次のように構築される特定の種類の最大関数を考えることです。S n ⁻¹ ⊂ R ⁿをn次元空間の単位球とします。長さ 1、半径 δ > 0 の円筒で、点a ∈ R ⁿを中心とし、長辺が単位ベクトルe ∈ S ^{n −1}の方向に平行であると定義します。次に、局所的に積分可能な関数fに対して、 fのKakeya 最大関数を次のように 定義します。${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

ここで、mはn次元ルベーグ測度を表します。球面Sn−1内のベクトル^{eに対して}定義されることに注意してください。 ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

そして、これらの関数には、もし真であれば、高次元の Kakeya 集合予想を意味する予想があります。

掛谷最大関数予想: すべての ε > 0 に対して、定数C _ε > 0 が存在し、任意の関数fとすべての δ > 0に対して、(表記については lp スペースを参照)

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

掛谷予想を証明するためのいくつかの結果は次のとおりです。

• 掛谷予想はn = 1（自明）およびn = 2（Davies ^[9]）のときに成立する。
• 任意のn次元空間において、Wolff ^[10]はKakeya集合の次元は少なくとも( n +2)/2でなければならないことを示した。
• 2002年にKatzとTao ^[11]はWolffの境界を に改良し、 n > 4の場合により優れた値を示した。${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• 2000年に、Katz、 Łaba、Tao ^{[12]は、3次元のKakeya集合の}ミンコフスキー次元が5/2より大きいことを証明した。
• 2000年にジャン・ブルガンはカケヤ問題を、調和解析と加法数論を含む算術的組合せ論^{[13] [14]}に関連付けました。
• 2017年に、KatzとZahl ^[15]は、 3次元のBesicovitch集合のハウスドルフ次元の下限を絶対定数に対してに改良しました。${\displaystyle 5/2+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$

驚くべきことに、これらの予想は他の分野、特に調和解析における多くの問題と関連していることが示されています。たとえば、1971年にチャールズ・フェファーマンはベシコヴィッチ集合構成を使用して、1より大きい次元では、原点を中心とし半径が無限大に向かう球面上の切断フーリエ積分は、 p ≠ 2のときにL ^pノルムに収束する必要がないことを示しました（これは、そのような切断積分が収束する1次元の場合とは対照的です）。^[16]

Kakeya 問題に類似したものとしては、円など、線よりも一般的な形状を含む集合を考えることが挙げられます。

• ^1997年[17]と1999年^[18]に、ウルフは、あらゆる半径の球を含む集合は必ず全次元、つまりその次元がその球が存在する空間の次元に等しいことを証明し、カケヤ最大関数に類似した円形最大関数の境界を証明することによってこれを証明した。

• 測度が0であるすべての点の周りに球面を含む集合が存在すると推測された。エリアス・スタイン^{[19]の結果は、そのような集合はすべて}n ≥ 3のときに正の測度を持つ必要があることを証明し、マーストランド^[20]はn = 2の場合に同じことを証明した。

掛谷予想の一般化は、あらゆる方向の線分ではなく、たとえばk次元部分空間の一部を含む集合を考えることです。( n , k )-ベシコビッチ集合 K を、ルベーグ測度がゼロであるすべてのk次元単位円板の平行移動を含むR ⁿ内のコンパクト集合として定義します。つまり、 B がゼロを中心とする単位球を表す場合、すべてのk次元部分空間Pに対して、 ( P ∩ B ) + x ⊆ Kとなるx ∈ R ^{n が}存在します。したがって、 ( n , 1)-ベシコビッチ集合は、前述の標準ベシコビッチ集合です。

( n , k )-ベシコビッチ予想: k > 1 の場合、( n , k )-ベシコビッチ集合は存在しない。

1979年、Marstrand ^[21]は (3, 2)-ベシコビッチ集合は存在しないことを証明した。しかし、ほぼ同じ時期にFalconer ^[22]は2 k > nに対して( n , k )-ベシコビッチ集合は 存在しないことを証明した。現在までの最良の境界はBourgain ^{[23]によるもので、彼は2 k −1} + k > nに対してそのような集合は存在しないことを証明した。

1999 年、ウォルフは、この予想を解く技術がユークリッドの場合にも応用できると期待して、カケヤ問題に類似した 有限体の問題を提起しました。

有限体カケヤ予想: F を有限体とし、K ⊆ F ^{n を}カケヤ集合とします。つまり、各ベクトルy ∈ F ⁿに対して、 K に直線 { x + ty  : t ∈ F } が含まれるようなx ∈ F ⁿが存在するとします。すると、集合K のサイズは少なくともc _n | F | ⁿになります。ここで、c _n >0 はnにのみ依存する定数です。

ゼエフ・ドヴィルは2008年にこの予想を証明し、 c _n = 1/ n !のときにこの命題が成り立つことを示しました。 ^{[24] [25]}彼の証明では、カケヤ集合上で消えるn変数の| F |未満の次数の多項式は必ず0になる、と指摘しました。一方、n変数の| F |未満の次数の多項式は、次元のベクトル空間を形成します 。

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

したがって、| F |未満の次数の非自明な多項式が少なくとも 1 つ存在し、この数未満の点を持つ任意の集合上で消滅します。これら 2 つの観察を組み合わせると、Kakeya 集合には少なくとも | F | ⁿ / n ! 個の点がなければならないことがわかります。

この技術が元のカケヤ予想の証明にまで及ぶかどうかは明らかではないが、この証明は本質的に代数的な反例をあり得ないようにすることで元の予想に信憑性を与えている。Dvirは有限体カケヤ問題とランダム性抽出器との関係の進歩に関する調査記事を書いている。^[26]

• ニコディムセット

• ベシコヴィッチ、エイブラム( 1963 ) 。「カケヤ問題」。アメリカ数学月刊誌。70 (7): 697–706。doi :10.2307/2312249。JSTOR 2312249。MR  0157266  。
• Dvir, Zeev (2009). 「有限体における Kakeya 集合のサイズについて」.アメリカ数学会誌. 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode :2009JAMS...22.1093D. doi :10.1090/S0894-0347-08-00607-3. MR  2525780. S2CID  3358826.
• ファルコナー、ケネス J. (1985)。フラクタル集合の幾何学。ケンブリッジ数学論文集。第 85 巻。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-25694-1. MR  0867284.
• 掛谷宗一(1917). 「楕円の最大値と最小値に関するいくつかの問題」.東北科学報告. 6 : 71–88.
• Katz, ネッツホーク;ワバ, イザベラ;タオ、テレンス(2000)。 「R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} におけるベシコビッチ集合のミンコフスキー次元の改良された境界」(PDF)。数学年報。152 (2): 383–446。土井：10.2307/2661389。JSTOR  2661389。MR  1804528。S2CID 17007027 。 ​

• Wolff, Thomas (1999)。「Kakeya 問題に関連する最近の研究」。Rossi, Hugo (編)。数学の展望: プリンストン大学 250 周年記念招待講演。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会。pp. 129–162。ISBN 978-0-8218-0975-4. MR  1660476。
• Wolff, Thomas (2003)。Łaba , Izabella ; Shubin, Carol (編著)。調和解析に関する講義。大学講義シリーズ。第 29 巻。Charles Fefferman による序文と Izabella Łaba による序文付き。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会。doi : 10.1090/ulect/ 029。ISBN 0-8218-3449-5MR  2003254 。

• ブリティッシュコロンビア大学の掛谷
• UCLAのベシコヴィッチ
• mathworld でのカケヤ針の問題
• 有限体カケヤ予想の Dvir の証明 (Terence Tao のブログ)
• ベシコビッチ・カケヤ集合の紹介