曲面の曲率に関連する二次形式
微分幾何学 において 、 第 2 基本形式 (または 形状テンソル ) は、 3 次元 ユークリッド空間の 滑らかな表面 の 接平面 上の 2 次形式 であり、通常は で表されます(「2」と読みます)。 第 1 基本形式 とともに 、表面の外在的不変量、つまり 主曲率を定義するために使用されます。より一般的には、このような 2 次形式は 、リーマン多様体 の滑らかな浸漬 部分多様 体に対して定義されます 。
私 私
{\displaystyle \mathrm {I\!I} }
R のサーフェス 3 第二基本形式の定義
モチベーション R 3 における パラメトリック曲面 S の 2 番目の基本形式は、 ガウス によって導入され、研究されました。まず、曲面が 2 回 連続的に微分可能な 関数 z = f ( x , y ) のグラフであり 、平面 z = 0 が原点で曲面に 接している とします。すると、 f とその x および y に関する 偏導関数は (0,0) でゼロになります。したがって、 (0,0) での f の テイラー展開は、 2 次項から始まります。
ず = ら
x
2
2
+ ま x ええ + いいえ
ええ
2
2
+
高次の項
、
{\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{高次項}}\,,}
そして、座標 （ x 、 y ）の原点における第2の基本形式は、二 次形式 である。
ら d
x
2
+ 2 ま d x d ええ + いいえ d
ええ
2
。
{\displaystyle L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.}
S 上の 滑らかな点 P については、平面 z = 0が P で S に接するように座標系を選択し 、同じ方法で 2 番目の基本形式を定義できます。
古典記法 一般的なパラメトリック サーフェスの 2 番目の基本形式は、次のように定義されます。 r = r ( u , v )を R 3 のサーフェスの正規のパラメタ化とします。 ここで、 r は 2 変数の滑らかなベクトル値関数 です。 rの u および v に関する 偏微分は、 r u および r v で表すのが一般的です 。 パラメタ化の正規性は、 r u および r v が r のドメイン内の 任意の ( u , v )に対して線形独立であり、したがって各点で S への接平面に張られることを意味します 。 同様に、 クロス積 r u × r v は 、サーフェスに垂直な非ゼロのベクトルです。 したがって、パラメタ化は単位法線ベクトルn のフィールドを定義します 。
ん
=
r
あなた
×
r
ヴ
|
r
あなた
×
r
ヴ
|
。
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.}
2番目の基本形は通常次のように書かれる。
私 私
= ら d
あなた
2
+ 2 ま d あなた d ヴ + いいえ d
ヴ
2
、
{\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,}
接平面の
基底 { r u , r v }におけるその行列は
[
ら
ま
ま
いいえ
]
。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.}
パラメトリック uv 平面の任意の点における係数 L 、 M 、 N は、その点における r の 2 番目の偏導関数を S の法線上に投影することで与えられ、次のように ドット積 を使用して計算できます 。
ら =
r
あなた あなた
⋅
ん
、 ま =
r
あなた ヴ
⋅
ん
、 いいえ =
r
ヴ ヴ
⋅
ん
。
{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N =\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.}
ヘッセ行列 H の 符号付き距離場 の場合 、第 2 基本形式係数は次のように計算できます。
ら = −
r
あなた
⋅
H
⋅
r
あなた
、 ま = −
r
あなた
⋅
H
⋅
r
ヴ
、 いいえ = −
r
ヴ
⋅
H
⋅
r
ヴ
。
{\displaystyle L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u} \cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.}
物理学者の表記法 一般的なパラメトリック曲面 S の 2 番目の基本形式は次のように定義されます。
r = r ( u 1 , u 2 )を R 3 の曲面の正規パラメータ化とします 。 ここで r は 2 変数の滑らかな ベクトル値関数です。 rの u α に関する 偏微分は、 r α , α = 1, 2 と表記するのが一般的です 。 パラメータ化の正規性は、 r 1 と r 2が r のドメイン内の 任意の ( u 1 , u 2 ) に対して線形独立であり、したがって各点で S への接平面に張られることを意味します。 同様に、 外積 r 1 × r 2 は 、曲面に垂直な非ゼロのベクトルです。 したがって、パラメータ化は単位法線ベクトル n のフィールドを定義します。
ん
=
r
1
×
r
2
|
r
1
×
r
2
|
。
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.}
2番目の基本形は通常次のように書かれる。
私 私
=
b
α β
d
あなた
α
d
あなた
β
。
{\displaystyle \mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.}
上記の式では、 アインシュタインの総和規則 が使用されています。
パラメトリック u 1 u 2 平面上の任意の点における係数 b αβ は、その点におけるr の 2 番目の偏微分を S の法線上に投影することで与えられ、法線ベクトル n に基づいて次のように計算できます 。
b
α β
=
r
、 α β
γ
ん
γ
。
{\displaystyle b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.}
リーマン多様体における超曲面 ユークリッド空間 では 、第2の基本形式は次のように与えられる。
I
I
(
v
,
w
)
=
−
⟨
d
ν
(
v
)
,
w
⟩
ν
{\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu }
ここで は ガウス写像 であり 、 の 微分 は ベクトル値微分形式 とみなされ 、括弧は ユークリッド空間の
計量テンソルを表します。
ν
{\displaystyle \nu }
d
ν
{\displaystyle d\nu }
ν
{\displaystyle \nu }
より一般的には、リーマン多様体上では、第2基本形式は超曲面の
形状演算子 （ S で表記）を記述するのと同等の方法である。
I
I
(
v
,
w
)
=
⟨
S
(
v
)
,
w
⟩
n
=
−
⟨
∇
v
n
,
w
⟩
n
=
⟨
n
,
∇
v
w
⟩
n
,
{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle n=-\langle \nabla _{v}n,w\rangle n=\langle n,\nabla _{v}w\rangle n\,,}
ここで、 ∇ v w は 周囲多様体の 共変微分 を表し、 n は 超曲面上の法線ベクトルの体を表します。( アフィン接続 が ねじれなし の場合、2 番目の基本形式は対称です。)
2 番目の基本形式の符号は、 n の方向の選択に依存します(これは、超曲面の共方向と呼ばれます。ユークリッド空間内の曲面の場合、これは曲面の 方向 の選択によって同様に与えられます)。
任意の余次元への一般化 2番目の基本形式は任意の余次元 に一般化できる。その場合、それは 正規バンドル 内の値を持つ接空間上の2次形式であり 、次のように定義できる。
I
I
(
v
,
w
)
=
(
∇
v
w
)
⊥
,
{\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,}
ここで、 共変微分 の正規束へ
の直交射影を表します。
(
∇
v
w
)
⊥
{\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}
∇
v
w
{\displaystyle \nabla _{v}w}
ユークリッド空間 では 、 部分多様体 の 曲率テンソルは 次の式で記述できます。
⟨
R
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
これはガウスの定理「エグレギウム」 の一般化として見られるため、 ガウス方程式 と呼ばれます 。
一般のリーマン多様体では、周囲空間の曲率を追加する必要があります。N が リーマン多様体 ( M 、 g ) に埋め込まれた多様体である場合、誘導計量を持つ N の 曲率テンソル R N は 、第 2 基本形式と M の曲率テンソル R M を 使用して表すことができます。
⟨
R
N
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
R
M
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
+
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}
参照
参考文献 グッゲンハイマー、ハインリッヒ (1977)。「第 10 章 表面」。 微分幾何学 。 ドーバー。ISBN 0-486-63433-7 。 小林昭七・野水勝美 (1996) 『微分幾何学の基礎』第2巻 （新版） Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5 。 スピヴァック、マイケル (1999)。 微分幾何学の包括的入門 (第 3 巻) 。Publish or Perish。ISBN 0-914098-72-1 。
外部リンク
