アトラス（トポロジー）

数学、特に位相幾何学において、アトラスは多様体を記述するために用いられる概念である。アトラスは、大まかに言えば、多様体の個々の領域を記述する個々の図表から構成される。一般に、アトラスの概念は、多様体の形式的な定義、およびベクトル束やその他のファイバー束といった関連構造の基礎となっている。

アトラスの定義はチャートの概念に依存する。位相空間Mのチャートは同相写像である。${\displaystyle \varphi }$Mの開部分集合Uからユークリッド空間の開部分集合への変換。この図は伝統的に順序対として記録される。${\displaystyle (U,\varphi )}$[ ^{1 ]​}

ユークリッド空間で座標系を選択すると、次の座標が定義されます。${\displaystyle U}$点の座標${\displaystyle P}$の${\displaystyle U}$は、${\displaystyle \varphi (P).}$チャートと座標系によって形成されるペアは、ローカル座標系、座標チャート、座標パッチ、座標マップ、またはローカルフレームと呼ばれます。

位相空間のアトラス${\displaystyle M}$インデックス付きファミリーです${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$チャートの${\displaystyle M}$カバーするもの${\displaystyle M}$（つまり、${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$) ある固定されたnに対して、各チャートの像がn次元ユークリッド空間の開部分集合である場合、${\displaystyle M}$n次元多様体であると言われている。

atlas の複数形はatlasesですが、著者によってはatlantes を使用する場合もあります。^{[ 2 ] [ 3 ]}

地図帳${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$オン${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle M}$以下の条件を満たす場合、それは適切な地図帳と呼ばれる。

• 各チャートの画像は$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または$\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$、 どこ$\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$は閉じた半空間です。
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$は、​${\displaystyle M}$、 そして
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$、 どこ${\displaystyle B_{1}}$は、原点を中心とする半径1の開いた球である。

すべての第二可算多様体は適切なアトラスを持つ。^{[ 4 ]}さらに、${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$は、第2可算多様体の開被覆である。${\displaystyle M}$そうすれば適切な地図帳がある${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$の上${\displaystyle M}$、したがって${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$は、​${\displaystyle {\mathcal {V}}}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle M}$

$\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

$\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

$\tau_{\beta,\alpha}}$

$\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

$\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

多様体上の2つのチャートと、それぞれの遷移マップ

遷移図は、地図帳の2つの図を比較する方法を提供する。この比較を行うには、一方の図と他方の図の逆の構成要素を考慮する。この構成要素は、両方の図の定義領域の交差部分に限定しない限り、明確に定義されない。（例えば、ヨーロッパの図とロシアの図がある場合、これらの2つの図の重なり部分、つまりロシアのヨーロッパ部分を比較することができる。）

より正確に言うと、${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$そして${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$多様体Mの 2 つのチャートは次のようになります。${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$空ではありません。遷移マップ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$マップは次のように定義されます $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

注意してください。${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$そして${\displaystyle \varphi _{\beta }}$どちらも同相写像であり、遷移マップ$\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$これも同相写像である。

多様体には、位相構造だけでなく、より詳細な構造を求める場合が多い。例えば、多様体上の関数の微分を明確に定義したい場合、遷移関数が微分可能なアトラスを構築する必要がある。このような多様体は微分可能多様体と呼ばれる。微分可能な多様体があれば、接線ベクトル、そして方向微分を明確に定義することができる。

各遷移関数が滑らかな写像である場合、アトラスは滑らかなアトラスと呼ばれ、多様体自体は滑らかであると呼ばれる。あるいは、遷移写像がk 個の連続微分のみを持つという条件を課すこともできる。この場合、アトラスは滑らかであると言われる。${\displaystyle C^{k}}$。

非常に一般的に言えば、各遷移関数が擬群に属する場合${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ユークリッド空間の同相写像のアトラスは、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-アトラス。アトラスのチャート間の遷移マップが局所的な自明化を保持する場合、そのアトラスはファイバー束の構造を定義します。

• 滑らかなアトラス
• 滑らかなフレーム

• ローランド、トッドによるアトラス