強制（数学）

集合論という数学の分野では、強制とは一貫性と独立性の結果を証明するための手法です。直感的には、強制とは、新しい「一般的な」オブジェクトを導入することで集合論の世界を より広い世界に拡張する手法と考えることができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle G}$

強制法は、1963年にポール・コーエンによって初めて使用され、選択公理と連続体仮説がツェルメロ-フランケル集合論から独立していることを証明しました。その後数年間で大幅に改訂され簡略化され、それ以来、集合論と再帰理論などの数理論理学の分野の両方で強力な手法として機能してきました。記述集合論では、再帰理論と集合論の両方からの強制法の概念を使用しています。強制法はモデル理論でも使用されていますが、モデル理論では強制法に言及せずに一般性を直接定義するのが一般的です。

強制は通常、望ましい特性を満たす拡張宇宙を構築するために使用されます。たとえば、拡張宇宙には、古い宇宙には存在しなかった、自然数の集合のサブセットと同一視される多くの新しい実数（少なくともその一部）が含まれる可能性があり、それによって連続体仮説に違反します。 ${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

このような拡張を直感的に正当化するには、「古い宇宙」を集合論のモデル として考えるのが一番です。集合論はそれ自体が「現実の宇宙」の集合です。レーヴェンハイム・スコーレムの定理により、は外部的に可算な「必要最低限​​の」モデルとして選択することができ、これにより に含まれないの多くの部分集合 ( 内)が存在することが保証されます。具体的には、で「基数の役割を果たす」が、実際には で可算である順序数があります。 で作業する場合、の各要素につき の1 つの明確な部分集合を簡単に見つけられるはずです。(簡単にするために、この部分集合の族は単一の部分集合 で特徴付けることができます。) ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$ ${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$

しかし、ある意味では、「拡張モデルを内で構築する」ことが望ましいかもしれません。これにより、が と同じである(より一般的には、基数崩壊は発生しない)など、特定の側面で「類似している」ことが保証され、 の特性を細かく制御できるようになります。より正確には、 のすべてのメンバーに内で(一意でない)名前が与えられる必要があります。名前は の式として考えることができます。これは、単純なフィールド拡張で のすべての要素が で表現できるのと同じです。強制の主要な要素は 内でそれらの名前を操作することです。そのため、強制の理論により が実際のモデルに対応することが保証されていることを知って、 を直接「宇宙」として考えると役立つ場合があります。 ${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \aleph_{2}^{M[X]}}$${\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=K(\theta )}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$

強制の微妙な点は、を 内の何らかの集合の任意の「欠落部分集合」とみなした場合、内の構築された はモデルでさえない可能性があるということです。これは、が 内では見えないに関する「特別な」情報(たとえばの可算性)をエンコードし、それによって「では記述できないほど複雑」な集合の存在を証明する可能性があるためです。 ^{[1] [2]}${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

強制は、新しく導入されたセットが に対するジェネリック セットであることを要求することで、このような問題を回避します。^[1]いくつかのステートメントは、任意のジェネリック に対して「強制的に」成立します。たとえば、ジェネリック は「強制的に」無限になります。さらに、ジェネリック セットの任意のプロパティ ( で記述可能) は、何らかの強制条件の下で「強制的に」成立します。「強制」の概念は 内で定義でき、 が実際に必要なプロパティを満たすモデルであることを証明するのに十分な推論力を与えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$

コーエンのオリジナルの手法は、現在では分岐フォーシングと呼ばれており、ここで説明する非分岐フォーシングとは少し異なります。フォーシングはブール値モデルの方法と同等であり、概念的にはより自然で直感的であると感じる人もいますが、通常は適用がはるかに困難です。^[3]

上記のアプローチがスムーズに機能するためには、 が実際ににおける標準推移モデルでなければなりません。これにより、と の両方でメンバーシップやその他の基本概念を直感的に処理できるようになります。標準推移モデルは、モストフスキーの崩壊補題を通じて任意の標準モデルから取得できますが、 の任意の標準モデル (またはその変形) の存在は、それ自体が の一貫性よりも強い仮定です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

この問題を回避するための標準的な手法は、を の任意の有限部分集合の標準的な推移モデルとすることです( の任意の公理化には少なくとも 1 つの公理スキーマがあり、したがって公理の数は無限です)。この公理の存在は反射原理によって保証されます。強制論証の目標は一貫性の結果を証明することであるため、理論の矛盾は有限の長さの導出で明らかになり、したがって有限の数の公理のみが関係するため、これで十分です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

各強制条件は、モデルに付随するオブジェクトに関する有限の情報と見なすことができます。オブジェクトに関する情報を提供する方法は多数あり、それぞれ異なる強制概念が生じます。強制概念を形式化する一般的なアプローチは、強制条件をposet構造を持つ抽象オブジェクトと見なすことです。 ${\displaystyle X}$

強制的順序集合は、 の順序付き 3 組で、 はの事前順序、は最大の要素です。 のメンバーは、強制条件(または単に条件)です。 順序関係は、 「は」よりも強いことを意味します。 (直感的に、「より小さい」条件は「より多くの」情報を提供します。これは、より小さい区間が、区間よりも数πについてより多くの情報を提供するのと同じです。) さらに、事前順序はアトムレスである必要があり、つまり、分割条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\displaystyle [3.1,3.2]}$${\displaystyle \leq}$

• 各 に対して、となるようなが存在し、 となるような は存在しません。${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\leq p}$${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$${\displaystyle s\leq q,r}$

言い換えれば、少なくとも 2 つの相容れない方向で強制条件を強化することが可能でなければなりません。直感的に、これは が有限の情報であるのに対し、 を決定するには無限の情報が必要であるためです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

さまざまな慣例が使用されています。著者の中には、反対称であることも要求する人もいます。その場合、関係は半順序になります。標準用語と矛盾しますが、とにかく半順序という用語を使用する人もいます。一方、前順序という用語を使用する人もいます。最大要素は省略できます。逆順序も使用されており、最も有名なのはSaharon Shelahと共著者によるものです。 ${\displaystyle \leq}$

を任意の無限集合（ など）とし、問題の一般的なオブジェクトを新しいサブセット とします。Cohen の強制の元の定式化では、各強制条件は、またはの形式の文の有限集合であり、自己矛盾がありません（つまり、の同じ値に対してと が同じ条件に現れない）。この強制の概念は通常、 Cohen の強制と呼ばれます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle X\subseteq S}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle a}$

コーエン強制の強制的半集合は、逆包含の下での有限部分関数 からへのとして正式に記述できます。コーエン強制は分割条件を満たします。なぜなら、任意の条件 が与えられた場合、で言及されていない要素を常に見つけることができ、 または のいずれかを に追加して、互いに互換性のない 2 つの新しい強制条件を得ることができる からです。${\displaystyle (\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle p}$

強制的 poset のもう 1 つのわかりやすい例は です。ここで、および は、非ゼロのルベーグ測度を持つのボレル部分集合のコレクションです。この強制的 poset に関連付けられた一般的なオブジェクトは、ランダムな実数です。ボレル部分集合が元の拡張されていない宇宙で「記述」されている限り (これは、ボレル コードの概念で形式化できます)、 は測度 1 を持つ のあらゆるボレル部分集合に含まれることが示されます。各強制条件は、その測度に等しい確率を持つランダム イベントと見なすことができます。この例から得られる直観的な理解のため、確率論的言語は、他の発散的強制的 poset で使用されることがあります。 ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle r}$${\displaystyle [0,1]}$

個々の強制条件は、一般的なオブジェクト を完全に決定することはできませんが、すべての真の強制条件の集合はを決定します。実際、一般性を失うことなく、は に付随する一般的なオブジェクトであると一般に考えられているため、拡張モデルは と呼ばれます。通常、当初望まれていたオブジェクトが実際にモデル 内にあることを示すのは簡単です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M[G]}$

この規則では、「汎用オブジェクト」の概念を一般的な方法で記述できます。具体的には、セットはに対する の汎用フィルタである必要があります。「フィルタ」条件は、 がすべての真の強制条件の集合であること が理にかなっていることを意味します。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• もし、${\displaystyle p\geq q\in G}$${\displaystyle p\in G;}$
• ならば、​${\displaystyle p,q\in G}$${\displaystyle r\in G}$${\displaystyle r\leq p,q.}$

「～に対して一般的」 であるとは、次のことを意味します。${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

• が の「稠密な」部分集合である場合（つまり、各 に対して、となる が存在する場合）、 となります。${\displaystyle D\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\in D}$${\displaystyle q\leq p}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

が可算モデルであるとすると、 Rasiowa–Sikorski の補題から汎用フィルタの存在が分かります。実際、もう少しだけ正しいことがあります。条件 が与えられると、となる汎用フィルタを見つけることができます。 の分割条件により、 がフィルタである場合、 は稠密です。 の場合、は のモデルであるため、 になります。このため、汎用フィルタが になることはありません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$${\displaystyle G\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$

強制的半集合には-名のクラスが関連付けられている。 - 名は次の形式の 集合である。${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

上の任意のフィルタが与えられた場合、-names からの解釈または評価マップは次のように与えられる。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

-namesは、実際には、宇宙の拡張です。 が与えられた場合、 は-name であると定義されます。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

なので、 となります。ある意味では、は の特定の選択に依存しない「 の名前」です。 ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

これにより、を明示的に参照せずに「 の名前」を定義することもできます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

となることによって。 ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

-名前、解釈、およびの概念は、超限再帰によって定義できます。空集合、順序数 の後続順序数、べき集合演算子、および極限順序数により、次の階層が定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \alpha +1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}}$

そして、-名のクラスは次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

解釈マップとマップも同様に階層構造で定義できます。 ${\displaystyle x\mapsto {\check {x}}}$

一般的なフィルタ が与えられた場合、次のように処理します。の -名のサブクラスは と表されます。 ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

の集合論の研究を の研究に還元するために、メンバーシップを二項関係として、すべての-name を定数として 、通常の一階述語論理のように構築される「強制言語」を使用します。${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

を定義します(「 poset を持つモデル内の力」と読みます)。ここでは条件、 は強制言語の式、 は-名前であり、 がを含む汎用フィルタである場合、となることを意味します。この特殊なケースは、多くの場合、「 」または単に「 」と記述されます。このようなステートメントは、 が何であっても、 では真です。 ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle G}$

重要なのは、この強制関係の外部定義が、およびのインスタンスの -名に対する超限帰納法（具体的には-帰納法）によって定義され、次に式の複雑さに対する通常の帰納法によって定義される 内の内部定義と同等であるということです。これにより、 のすべての特性が実際には の特性となり、におけるの検証が簡単になります。これは通常、次の 3 つの主要な特性として要約されます。 ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle u\in v}$${\displaystyle u=v}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M[G]}$

• 真実:によって強制される場合、つまり何らかの条件 に対して、 が成り立つ場合に限ります。${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• 定義可能性: ステートメント " " は で定義可能です。${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle M}$
• 一貫性: 。${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

における強制関係を定義する方法は、多種多様だが同等なものがある。^[4]定義を簡略化する1つの方法は、まずよりも厳密に強い修正された強制関係を定義することである。修正された関係は依然として強制の3つの主要な特性を満たしているが、一次式と が同等であっても、と は必ずしも同等ではない。修正されていない強制関係は と定義できる。 実際、コーエンの強制の元々の概念は、ではなく である。^[3]${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi }$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi '}$$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .}$$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

修正された強制関係は、次のように再帰的に定義できます。 ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v}$手段${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v}$手段${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi }$手段${\displaystyle \neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )}$手段${\displaystyle (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)}$手段${\displaystyle (\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).}$

強制言語の他の記号は、これらの記号を使用して定義できます。たとえば、は、などを意味します。ケース 1 と 2 は互いに依存し、ケース 3 に依存しますが、再帰は常により低いランクの -nameを参照するため、超限帰納法によって定義が実行されます。 ${\displaystyle u=v}$${\displaystyle \neg (u\neq v)}$${\displaystyle \forall x\,\varphi (x)}$${\displaystyle \neg \exists x\,\neg \varphi (x)}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

構成上、(そしてしたがって) は自動的に定義可能性を満たします。真理性と一貫性も満たす証明は、上記の 5 つのケースをそれぞれ帰納的に調べることによって行われます。ケース 4 と 5 は自明です (と を基本記号として選択したおかげで^[5] )、ケース 1 と 2 は がフィルタであるという仮定のみに依存しており、ケース 3 のみが汎用フィルタである必要があります。^[3]${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

形式的には、強制関係の内部定義（上記で示したものなど）は、実際には任意の式を別の式に変換するものであり、ここでと は追加変数です。 モデルは変換に明示的には現れません（ 内では、は単に「は-名である」という意味であることに注意してください）。実際、この変換は、可算推移モデルに関係なく、すべての集合のユニバースにおける強制関係の「構文上の」定義としてとらえることができます。ただし、何らかの可算推移モデル に対して強制したい場合は、後者の式は の下で（つまり、すべての量指定子が のみの範囲にある状態で）解釈する必要があります。その場合、このセクションの冒頭で説明した の外部「意味的」定義と同等になります。${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u\in M^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

任意の式に対して、理論の定理（例えば、有限個の公理の連言）が存在し、任意の可算推移モデルに対して、任意の原子なし半順序と任意の-ジェネリックフィルタに対して、${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\models T}$${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

これは、強制関係が実際に「 で定義可能」 であるという意味です。${\displaystyle M}$

上記の議論は、強制的な半集合 が与えられた場合、宇宙 に属さない一般的なフィルタ の存在を仮定できるという基本的な一貫性の結果によって要約できます。この場合、は再び、 をモデル化する集合論的宇宙です。さらに、 のすべての真理は、強制関係を含む の真理に還元できます。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle V}$

可算推移モデルまたは全宇宙のいずれかに付随する両方のスタイルが一般的に使用されています。あまり一般的ではないのは、セット モデルまたはクラス モデルについて言及されていない、強制の「内部」定義を使用するアプローチです。これは Cohen の元の方法であり、1 つの詳細化ではブール値解析の方法になります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$

最も単純で自明でない強制的 poset は で、有限部分関数は逆包含の下で から へです。つまり、条件は本質的に の 2 つの互いに素な有限部分集合とであり、の「はい」と「いいえ」の部分として考えられ、のドメイン外の値に関する情報は提供されません。「は よりも強い」は、言い換えれば の「はい」と「いいえ」の部分が の「はい」と「いいえ」の部分のスーパーセットであり、その意味で はより多くの情報を提供すること を意味します。${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\supseteq p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

をこの poset の汎用フィルタとします。とが両方とも にある場合、 はフィルタであるため条件となります。つまり、 の任意の 2 つの条件は共通の定義域で一致する ため、は から への明確に定義された部分関数です。${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g=\bigcup G}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G}$

実際、は全関数です。 が与えられている場合、 とします。すると は稠密になります。(任意の が与えられ、が の定義域にない場合は、 の値を付加します。結果は になります。) 条件にはの定義域にがあり、 であるため、 が定義されることがわかります。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p\subseteq g}$${\displaystyle g(n)}$

を、一般的な条件のすべての「はい」のメンバーの集合とします。 に直接名前を付けることが可能です。 ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

次に、がであると仮定します。を主張します。 ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$${\displaystyle A\subseteq \omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

すると は稠密になります。(任意の が与えられた場合、 がその定義域にないことを見つけ、 " " の状態に反しての値を付加します。) すると、任意の はを証明します。要約すると、はの「新しい」サブセットであり、必然的に無限です。 ${\displaystyle D_{A}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in A}$${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$${\displaystyle X\neq A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$

を に置き換えると、つまり、入力が および の形式で、出力が または である有限部分関数を考えると、の新しい部分集合が得られます。密度の議論により、それらはすべて異なります。 が与えられた場合、 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$${\displaystyle (n,\alpha )}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

それぞれは稠密であり、その中の一般的な条件は、α 番目の新しいセットが番目の新しいセットとどこかで一致しないことを証明します。 ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \beta }$

これはまだ連続体仮説の反証ではありません。 、またはに写像する新しい写像が導入されていないことを証明する必要があります。たとえば、 の代わりに 、最初の非可算順序数 から への有限部分関数 を考えると、からへの一対一の関係が得られます。言い換えると、はを縮小し、強制拡大では は可算順序数です。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

連続体仮説の独立性を示す最後のステップは、コーエン強制が基数を崩壊させないことを示すことです。このためには、強制ポセットの すべての反鎖が可算であることが十分な組み合わせ特性です。

の（強い）反連鎖 は、およびならばと は両立しない（と表記される）ようなサブセットであり、つまり およびとなるようながに存在しないことを意味します。ボレル集合の例では、非両立性とは の測度がゼロであることを意味します。有限部分関数の例では、非両立性とは が関数ではない、つまり、と が何らかのドメイン入力に異なる値を割り当てることを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p,q\in A}$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\perp q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle r\leq p}$${\displaystyle r\leq q}$${\displaystyle p\cap q}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$は、 内のすべての反連鎖が可算である場合に限り、可算連鎖条件(ccc)を満たします。(明らかに不適切であるこの名前は、古い用語の名残です。一部の数学者は、「可算反連鎖条件」を「cac」と書きます。) ${\displaystyle \mathbb {P} }$

がccc を満たすことは、測定値を合計しても最大 になるため簡単にわかります。また、はccc を満たしますが、証明はより困難です。 ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

非可算なサブファミリー が与えられた場合、何らかの に対して、サイズ の集合の非可算なサブファミリー に縮小します。非可算な数の に対しての場合、これを非可算なサブファミリー に縮小してこれを繰り返し、有限集合と、最大で可算な数の に対して任意の が となるようなサイズの非互換条件の非可算なファミリーを取得します。次に、任意の を選び、 と共通のドメイン メンバーを持つ可算なメンバーの 1 つではない任意の から を選びます。すると、 と は互換であるため、 は反連鎖ではありません。言い換えると、-反連鎖は可算です。^[6]${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$${\displaystyle p\in W_{0}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

強制における反鎖の重要性は、ほとんどの目的において、密集合と最大反鎖は同等であるということである。最大反鎖とは、より大きな反鎖に拡張できないものである。これは、すべての要素が の何らかの要素と互換性があることを意味する。最大反鎖の存在は、ゾルンの補題から導かれる。最大反鎖 が与えられたとき、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

すると は稠密となり、 の場合に限ります。逆に、稠密集合 が与えられた場合、ツォルンの補題により、最大反鎖 が存在し、の場合に限ります。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$${\displaystyle D}$${\displaystyle A\subseteq D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

がccc を満たすと仮定します。が内の関数で与えられている場合、内を次のように近似できます。を の名前とし( の定義により)、 を から への関数に強制する条件とします。関数を次のように 定義します。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

強制の定義可能性により、この定義は の範囲内で意味をなします。強制の一貫性により、異なる は互換性のない から生じます。ccc により、は可算です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(a)}$

要約すると、は に依存するため では未知ですが、ccc 強制ではそれほど未知ではありません。 とは無関係に、任意の入力における の値が何であるかを推測する可算な集合を特定できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

これには、次のような非常に重要な結果があります。 において、が 1 つの無限順序数から別の無限順序数への全射である場合、にも全射があり、その結果、 にも全射があります。特に、基数はつぶれません。結論は、において であるということです。 ${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

上記の Cohen モデルにおける連続体の正確な値、および一般的な基数に対するのような変形は、 Robert M. Solovayによって解明されました。彼はまた、 (一般化連続体仮説) を正規基数に対してのみ有限回違反する方法も解明しました。たとえば、上記の Cohen モデルでは、で が成り立つ場合、 でが成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

ウィリアム・B・イーストンは、正則基数に対して に違反する適切なクラスバージョンを導き出し、基本的に既知の制約 (単調性、カントールの定理、ケーニッヒの定理) が唯一の-証明可能な制約であることを示しました (イーストンの定理 を参照)。 ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

イーストンの研究は、適切な条件のクラスで強制するという点で注目に値します。一般に、適切な条件のクラスで強制する方法では、 のモデルを得ることができません。たとえば、（ はすべての順序数の適切なクラス）で強制すると、連続体は適切なクラスになります。一方、 で強制すると、順序数の可算な列挙が導入されます。どちらの場合も、結果として得られる は明らかに のモデルではありません。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$${\displaystyle \mathbf {On} }$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

かつては、より洗練された強制によって、特異基数のべき乗を任意に変化させることもできると考えられていました。しかし、これは困難で微妙で驚くべき問題であることが判明しました。強制モデルでは、さまざまな大きな基数特性の一貫性に応じて、さらにいくつかの制限が証明可能になりました。多くの未解決の問題が残っています。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

ランダム強制は、関係によって順序付けられた正の測度の のすべてのコンパクト部分集合の集合に対する強制として定義できます(包含のコンテキストで小さい集合は順序付けでも小さい集合であり、より多くの情報を持つ条件を表します)。重要な密集合には 2 つの種類があります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \subseteq }$

1. 任意の正の整数に対して、集合は稠密であり、 は集合の直径です。${\displaystyle n}$$${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle p}$
2. 測度 1 の任意のボレル部分集合の場合、その集合は稠密です。${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$$${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

任意のフィルタおよび有限個の要素 に対して、 が成り立つようなものが存在します。この順序付けの場合、これは任意のフィルタが有限交差特性を持つコンパクト セットの集合であることを意味します。このため、任意のフィルタのすべての要素の交差は空ではありません。 が任意の正の整数 に対して稠密集合 と交差するフィルタである場合、フィルタには任意に小さい正の直径の条件が含まれます。したがって、 からのすべての条件の交差の直径は 0 です。ただし、直径 0 の空でない集合はシングルトンのみです。したがって、となる実数は 1 つだけ存在します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$${\displaystyle q\in G}$${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

を測度 1 の任意のボレル集合とします。 が と交差する場合はとなります。 ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle r_{G}\in B}$

しかし、可算推移モデル上の汎用フィルタは には存在しません。によって定義される実数はの要素ではないことが証明できます。問題は、 の場合、「はコンパクト」であるが、より大きな宇宙 の観点からは、非コンパクトになる可能性があり、汎用フィルタからのすべての条件の共通部分は実際には空であることです。このため、 G からの条件の位相閉包の集合(つまり) を検討します。および の有限共通部分の性質により、集合にも有限共通部分の性質があります。集合 の要素は、有界集合の共通部分として有界閉集合です。^{[説明が必要]}したがって、は有限共通部分の性質を持つ コンパクト集合の集合^{[説明が必要]}であり、したがって非空共通部分を持ちます。および基底モデルは宇宙 から測定基準を継承するため、集合には任意に小さい直径の要素があります。最後に、集合 のすべてのメンバーに属する実数が 1 つだけ存在します。汎用フィルタはからとして再構築できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle p}$${\displaystyle U\supset V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$${\displaystyle {\bar {p}}=p\cup \{\inf(p)\}\cup \{\sup(p)\}}$${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

が の名前である場合、^{[説明が必要]}、 に対しては「は測度1のボレル集合」が 成り立ち、 が成り立つ。${\displaystyle a}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle B\in V}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

に対して となる。任意の汎用フィルタに対して となる名前が存在する。 ${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

それから

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

任意の条件に当てはまります。 ${\displaystyle p}$

すべてのボレル集合は、有理数の端点を持つ区間から始めて、補集合と可算和集合の演算を可算回数適用することで、一意でない形で構築できます。このような構築の記録はボレル符号と呼ばれます。のボレル集合が与えられた場合、ボレル符号を復元し、次に で同じ構築シーケンスを適用してボレル集合 を取得します。 の構築とは独立して同じ集合が得られ、基本的な特性が保持されることが証明できます。たとえば、 の場合、 です。の測度が 0 の場合、 の測度は 0 です。このマッピングは単射です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

およびとなるような任意の集合に対して、 「は測度 1 のボレル集合である」が成立します。 ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle B\in V}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle B}$${\displaystyle r\in B^{*}}$

これは、 の観点からは が「0 と 1 の無限ランダムシーケンス」であることを意味し、基底モデル からのすべての統計テストを満たすことを意味します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

したがって、ランダムな実数 が与えられた場合、次のことが示される。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.}$

とは相互に定義可能であるため、一般にについては と書きます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V[r]}$${\displaystyle V[G]}$

における実数の異なる解釈は、Dana Scottによって提供されました。 における有理数は、ボレル集合の最大反鎖、つまり、 上の特定の有理値関数に割り当てられた可算個の異なる有理値に対応する名前を持ちます。 における実数は、そのような関数のデデキント切断、つまり測定可能な関数に対応します。 ${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle V[G]}$

おそらく、より明確には、この方法はブール値モデルの観点から説明できます。これらのモデルでは、任意のステートメントに、単なる真偽値ではなく、完全なアトムのないブール代数からの真理値が割り当てられます。次に、このブール代数でウルトラフィルタが選択され、理論のステートメントに真偽の値が割り当てられます。ポイントは、結果として得られる理論には、このウルトラフィルタを含むモデルがあり、このウルトラフィルタを使用して古いモデルを拡張することで得られる新しいモデルとして理解できることです。ブール値モデルを適切な方法で選択することで、必要なプロパティを持つモデルを取得できます。このモデルでは、ある意味では、真でなければならない（「真になるように強制される」）ステートメントのみが真になります（この拡張/最小性プロパティがあるため）。

強制では、通常、ある文が（またはオプションで の拡張）と矛盾しないことを示すことを目指します。議論を解釈する 1 つの方法は、 が矛盾しないものと仮定し、 を新しい文と組み合わせた場合も矛盾しないことを証明することです。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

各「条件」は有限の情報です。コンパクト性定理により、理論が満足できるのは、その公理のすべての有限部分集合が満足できる場合のみであるため、有限の部分のみが一貫性に関係するという考え方です。次に、一貫性のある条件の無限集合を選択してモデルを拡張できます。したがって、 の一貫性を前提として、この無限集合によって拡張された の一貫性を証明します。${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

ゲーデルの第二不完全性定理によれば、理論が矛盾しない限り、理論自体の公理のみを使用して、 などの十分に強い形式理論の無矛盾性を証明することはできない。したがって、数学者は の公理のみを使用して の無矛盾性を証明しようとしたり、のみを使用して が任意の仮説に対して無矛盾であることを証明しようとしたりしない。このため、無矛盾性の証明の目的は、の無矛盾性を の無矛盾性に対して相対的に証​​明することである。このような問題は相対無矛盾性の問題として知られ、そのうちの 1 つは以下を証明する。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

相対的一貫性の証明の一般的なスキームは次のとおりです。証明は有限であるため、有限の数の公理のみを使用します。

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

与えられた証明に対して、その証明の妥当性を検証することができます。これは、証明の長さに基づいて帰納的に証明できます。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

そして解決する

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

以下のことを証明することで

結論として、

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

となる(*)。相対的無矛盾性の証明の核心は(**)を証明することである。の証明は、公理の任意の有限部分集合に対して構築することができる(もちろん手段による)。(もちろんの普遍的な証明はない。) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

では、任意の条件 に対して、 によって強制される (名前によって評価される) 式の集合が演繹的に閉じていることが証明できます。さらに、任意の公理に対して、 は、この公理が によって強制されることを証明します。次に、 を強制する条件が少なくとも 1 つあることを証明すれば十分です。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle H}$

ブール値の強制の場合も、手順は同様で、 のブール値がではないことを証明します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

別のアプローチでは、反射定理を使用します。任意の有限公理集合に対して、この公理集合には可算推移モデルがあることが証明されます。任意の有限公理集合に対して、可算推移モデルがを満たす場合、を満たすことが証明されるような有限公理集合が存在します。可算推移モデルが を満たす場合、 は仮説 を満たすような有限公理集合が存在することを証明することにより、が証明されます。次に、任意の有限公理集合に対して、が証明されます。 ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T''}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T''}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

(**) では、を証明するためによりも強い理論が使用されることがあります。この場合、の無矛盾性に対する の無矛盾性の証明が得られます。 、ただし は(構成可能性の公理) であることに注意してください。${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$

• 強制概念のリスト
• 素敵な名前ですね

• ベル、ジョン・レーン（1985年）。集合論におけるブール値モデルと独立性証明。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 9780198532415。
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