強制概念のリスト

数学において、強制とは、集合論の新しいモデルM [ G ]を構築する方法であり、これは、 poset Pの一般的なサブセットG をモデルMに追加することによって行われます。使用される poset Pによって、新しい宇宙 (「拡張」) で保持されるステートメントが決まります。したがって、興味のあるステートメントを強制するには、適切なPを構築する必要があります。この記事では、この構築で使用されている poset Pのいくつかをリストします。

• Pは順序が<である半順序集合である。
• Vはすべての集合の宇宙である
• Mは集合論の可算推移モデルである
• G はM上のPの一般的な部分集合です。

• P内のすべての反連鎖が最大でも可算である場合、P は可算連鎖条件を満たします。これは、 VとV [ G ] が同じ基数 (および同じ共終性) を持つことを意味します。
• PのサブセットD は、任意のp ∈ Pに対してq ≤ pを満たすq ∈ Dが存在する場合、稠密であると呼ばれます。
• P上のフィルターは、 Pの空でない部分集合Fであり、 p < qかつp ∈ Fであればq ∈ Fであり、p ∈ Fかつq ∈ Fであればr ≤ pかつr ≤ qを満たすr ∈ Fが存在します。
• PのサブセットGがM上のジェネリックであるとは、それがM内のPのすべての稠密なサブセットを満たすフィルターである場合に言います。

アメーバ強制は、アメーバ順序で強制し、測定値 1 のランダムな実数セットを追加します。

コーエン強制（ポール・コーエンにちなんで名付けられました）では、 P はω ₂ × ω の有限部分集合から {0,1} への関数の集合であり、 p ⊇ qであればp < qです。

この poset は可算連鎖条件を満たします。この poset で強制すると、モデルに ω _{2 個の}異なる実数が追加されます。これは、連続体仮説の独立性の最初の証明で Cohen が使用した poset です。

より一般的には、ω _{2 を}任意の基数 κ に置き換えて、連続体のサイズが少なくとも κ であるモデルを構築することができます。ここでは制限はありません。κ が共終点 ω を持つ場合、実数の基数は κ より大きくなります。

グリゴリエフ強制（セルジュ・グリゴリエフに倣って）は、ω 上の自由超フィルタを破壊します。

ヘヒラー強制（スティーブン・ハーマン・ヘヒラーに由来）は、マーティンの公理が、ω から ω までのc未満の関数のすべての族が、最終的には何らかのそのような関数によって支配されることを意味することを示すために使用されます。

P は( s , E )のペアの集合です。ここでsは有限の自然数列 (有限の順序数から ω への関数として考えられます) であり、Eはωからω への関数の固定された集合Gの有限の部分集合です。 tがsに含まれ、F がEに含まれる場合、およびk がsの定義域にあるがtの定義域にはない場合、 Fのすべてのhに対してs ( k ) > h ( k )が成り立つ場合、要素 ( s , E ) は要素 ( t , F )よりも強いです。

クラスによる強制は、Robert SoareとCarl Jockuschによって考案され、他の結果の中でも特に、低基底定理 を証明するために使用されました。ここで、P は、包含順に並べられた の空でない部分集合(つまり、の無限の計算可能な部分木を通るパスの集合) の集合です。 ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle 2^{\omega}}$ ${\displaystyle 2^{<\omega}}$

有限台を持つ反復強制法は、スースリンの仮説の無矛盾性を示すためにソロベイとテネンバウムによって導入された。イーストンは、連続体関数の正則基数における可能な値を決定するために、別のタイプの反復強制法を導入した。可算台を持つ反復強制法は、ボレルの予想の無矛盾性の証明においてレーバーによって、公理A強制法を導入したバウムガートナーによって、そして適切な強制法を導入したシェラによって研究された。シェラは、プリークリ強制法などの半適切な強制法や、特にナンバ強制法を含む一般化を扱うために、 改訂された可算台反復法を導入した。

レイバー強制は、すべての強測度零集合は可算であるというボレルの予想が ZFC と一致することを示すためにレイバーによって使用されました。(ボレルの予想は連続体仮説と一致しません。)

• P は包含順に並べられた Laver ツリーの集合です。

レーバー木 pは、自然数の有限列の部分集合であり、

• pは木である: p はpの任意の要素の任意の初期シーケンスを含み、これはp が初期セグメントに関して閉じていると同等に表現される。
• pには幹がある: p内のすべてのtに対してs ≤ tまたはt ≤ sとなるような最大ノードs ( p ) = s ∈ p、
• t ∈ pかつs ≤ tの場合、 tにはp内のn ∈ ωに対する無限個の直後の後続tn が存在します。

G が( P , ≤)に対してジェネリックである場合、実数{ s ( p ) : p ∈ G } （レーバー実数と呼ばれる）がG を一意に決定します。

Laver 強制はLaver プロパティを満たします。

これらの poset はさまざまな基数を縮小します。言い換えると、基数のサイズをより小さい基数と等しくします。

• 基数を ω に縮退する: P は、与えられた基数 λ より小さい順序数の有限シーケンスすべての集合です。λ が非可算である場合、この poset を強制すると、λ は ω に縮退します。
• 基数を別の基数に縮約する: P は、κ より小さい基数の κ のサブセットから λ までのすべての関数の集合です (κ と λ は固定)。この poset で強制すると、λ が κ に縮約されます。
• レヴィ崩壊: κ が正則で λ がアクセス不可能な場合、P は、 κ より小さいサイズの定義域を持つλ × κの部分集合上の関数pの集合であり、 pの定義域内のすべての (α, ξ) に対してp (α, ξ) < α です。この poset は、 λ より小さいすべての基数を κ に崩壊しますが、 λ を κ の後継として保持します。

レヴィ崩壊はアズリエル・レヴィにちなんで名付けられました。

マギドールによって開発された多くの強制概念の中で、最もよく知られているものの 1 つは、基数の共終性を与えられたより小さな正則基数に変更するために使用される Prikry 強制の一般化です。

• Pの元は、自然数の有限集合sと自然数の無限集合Aからなるペアであり、 sのすべての要素はAのすべての要素よりも小さい。順序は次のように定義される。

s がtの初期セグメントであり、B がAのサブセットであり、t がs ∪ Aに含まれる場合、( t , B )は ( s , A )よりも強い (( t , B ) < ( s , A ))。

マティアス強制はエイドリアン・マティアスにちなんで名付けられました。

難波強制（難波寛治に由来）は、ω _{1 を}崩壊させることなく ω ₂の共終性をω に変更するために使用されます。

• Pは、 T内の任意のs がT内に拡張を持ち、その拡張が すぐ後続を持つという特性を持つすべてのツリー( ω ₂未満の順序数の有限シーケンスの集合の空でない下向きの閉じた部分集合) の集合です。 Pは包含によって順序付けられます (つまり、サブツリーはより強い条件です)。 汎用フィルター内のすべてのツリーの共通部分は、 ω ₂で共終的である可算なシーケンスを定義します。${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$${\displaystyle \aleph_{2}}$

Namba の強制は、 Pのサブセットであり、そのサブセットの下側には順序付けが線形であり、その上には各ノードの直後に後続ノードが存在するノードがあります。 ${\displaystyle \aleph_{2}}$

マギドールとシェラは、CHが成り立つ場合、ナンバ強制のジェネリックオブジェクトはナンバ'によるジェネリック拡張には存在せず、その逆も成り立つことを証明した。^{[1] [2]}

Prikry 強制法 (Karel Prikrý に倣って) では、P は( s、A )のペアの集合であり、 s は固定された測定可能な基数 κ の有限部分集合であり、Aはκ 上の固定された正規測度Dの要素です。t がsの初期セグメントであり、AがBに含まれ、s がt ∪ Bに含まれる場合、条件( s、A )は( t、B )よりも強くなります。 この強制法の概念は、すべての基数を保存しながら κ の共終性に変更するために使用できます。

強制条件の積を取ることは、すべての条件を同時に強制する方法です。

• 有限積: PとQが半集合である場合、積半集合P × Qは、 p ₁ ≤ p _2かつq ₁ ≤ q ₂ならば、( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ )で定義される半順序を持ちます。
• 無限積:最大元が 1 である一組の poset P _i , i ∈ Iの積は、 p ( i ) ∈ P ( i )であり、有限個を除くすべてのiに対してp ( i ) = 1となるようなI上の関数pの集合です。すべてのiに対してp ( i ) ≤ q ( i )である場合、順序はp ≤ qで与えられます。
• ポセット集合P _i , i ∈ I（Iは基数の集合）のイーストン積（ウィリアム・ビゲロー・イーストンに由来）は、 p ( i ) ∈ P ( i )であり、すべての正規基数 γ に対して、 p (α) ≠ 1である γ の元 α の数が γ より小さいような I 上の関数pの集合です。

ラディン強制法 (ロン・バーク・ラディンに由来) は、技術的に複雑なマギドール強制法の一般化であり、ある正規の基数 λ に閉じた無制限のサブセットを追加します。

λ が十分に大きい基数である場合、強制により λ は正則、可測、超コンパクトなどになります。

• P は正測度の [0,1] のボレル部分集合の集合であり、p はqに含まれる場合、qより強いと呼ばれます。ジェネリック集合Gは、「ランダムな実数」、つまり[ r , s ] ^VがGに含まれるすべての有理区間[ r , s ] ^{V [ G ]}内の唯一の実数x _{G を}エンコードします。この実数は、 X がVに含まれる測度 1 の[0, 1] ^Vの任意の部分集合である場合、x _G ∈ Xであるという意味で「ランダム」です。

• P は有限{0, 1}シーケンスの集合に含まれるすべての完全木の集合です。(木Tは、そのメンバーのすべての初期セグメントを含む有限シーケンスの集合であり、 Tの任意の要素tに対してt を拡張するセグメントsが存在し、 s 0 とs 1 の両方がTに含まれる場合、完全木と呼ばれます。) p がqに含まれる場合、木p はqよりも強力です。完全木による強制は、ジェラルド・エノック・サックスによって、最小限の構成可能性を持つ実数a を生成するために使用されました。

サックス強制にはサックス特性があります。

の定常部分集合Sに対して、集合はSからの閉列であり、C はの閉非有界部分集合であり、が および を端拡張する場合に限り、 によって順序付けられます。 では、 はSの閉非有界部分集合であり、Vの各クラブ集合にほぼ含まれます。は保存されます。 この方法は、連続体仮説とススリン仮説の一貫性を示すために、ロナルド・ジェンセンによって導入されました。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$${\displaystyle \omega _{1}\}}$${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle C'\subseteq C}$${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma \cup C}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

の定常部分集合Sに対して、 P をSからの閉可算列の集合と等しく設定します。 では、 はSの閉非境界部分集合であり、保存されます。また、 CH が成り立つ場合は、すべての基数が保存されます。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \bigcup G}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

の定常部分集合Sについて、P を、可算順序数のペアの有限集合の集合と等しく設定します。この場合、およびであれば であり、およびがpの異なる要素である場合は常にまたは となります。P は逆包含によって順序付けられます。 では、 はSの閉じた非有界部分集合であり、すべての基数は保存されます。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \in p}$${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle \alpha \in S}$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$${\displaystyle \langle \gamma ,\delta \rangle }$${\displaystyle \beta <\gamma }$${\displaystyle \delta <\alpha }$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$

シルバー強制（ジャック・ハワード・シルバーに由来）は、自然数から{0, 1}への部分関数で定義域が共無限であるものすべての集合、または同等にすべてのペア( A、p )の集合です。ここで、Aは無限補数を持つ自然数のサブセット、p はAから固定された 2 要素集合への関数です。条件q が条件pよりも強いのは、 q がp を拡張する場合です。

Silver 強制は、融合、サックス特性を満たし、実数に関して最小です (ただし、最小ではありません)。

Vopěnka 強制法 ( Petr Vopěnkaに倣って) は、 に順序数の集合を一般的に追加するために使用されます。まず をのべき集合の空でない部分集合すべての集合として定義します。ここでは包含順です。 の場合に限ります。各条件は、すべての に対して となる組で表すことができます。 と の間の変換の最小表現は であり、したがって は poset と同型です(条件は の要素の最小表現です)。この poset は の部分集合に対する Vopenka 強制法です。となる 要素のすべての表現の集合として定義すると、 は-ジェネリックとなり、 になります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle {\text{OD}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A\subseteq \alpha }$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p\subseteq q}$${\displaystyle p\in P'}$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$${\displaystyle x\subseteq \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{OD}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{A}}$${\displaystyle p\in P'}$${\displaystyle A\in p}$${\displaystyle G_{A}}$${\displaystyle {\text{HOD}}}$${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$

• Jech, Thomas (2003)、集合論: ミレニアム版、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-44085-7
• クネン、ケネス（1980）、集合論：独立性証明入門、エルゼビア、ISBN 978-0-444-86839-8
• クネン、ケネス（2011）、集合論、論理学研究、第34巻、ロンドン：カレッジ出版、ISBN 978-1-84890-050-9、Zbl  1262.03001

• A.ミラー（2009）「Forcing Tidbits」