交代階乗

数学において、交代階乗は、正の整数の最初のn個の階乗の交代和の絶対値です。

これはそれらの和と同じですが、nが偶数の場合は奇数添字の階乗に-1を掛け、 nが奇数の場合は偶数添字の階乗に-1を掛けて、加数の符号が交互になります（または、必要に応じて加算演算子と減算演算子が交互になります）。代数的に言えば、

${\displaystyle \operatorname {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}$

または再帰関係

${\displaystyle \operatorname {af} (n)=n!-\operatorname {af} (n-1)}$

ここでaf(1) = 1である。

最初のいくつかの交代階乗は

1、1、5、19、101、619、4421、35899、326981、3301819、36614981、442386619、5784634181、81393657019 ( OEISの配列A005165 )​​​​​

たとえば、 3 番目の交代階乗は 1! – 2! + 3! です。4 番目の交代階乗は −1! + 2! − 3! + 4! = 19 です。nの偶奇に関係なく、最後の ( n番目) 加数n ! には正の符号が与えられ、 ( n  – 1) 番目の加数には負の符号が与えられ、それに応じて下位インデックスの加数の符号が交互に入れ替わります。

この交替パターンにより、結果の合計がすべて正の整数になることが保証されます。奇数または偶数のインデックスを持つ加数に負の符号が付けられるように規則を変更すると ( nの偶奇に関係なく)、結果の合計の符号は変わりますが、絶対値は変わりません。

ジヴコビッチ（1999）は、3612703がaf(3612702)を割り切り、したがってn ≥ 3612702のすべてにおいてaf( n )を割り切ることから、交代階乗で素数となるものは有限個しか存在しないことを証明した。 ^[1]素数はaf( n )である。

n = 3、4、5、6、7、8、10、15、19、41、59、61、105、160、661、...（OEISの配列A001272）

素数であることが証明されていない、 より確率の高い素数がいくつかあります。

• Weisstein、Eric W.「交代階乗」。MathWorld。
• Živković, Miodrag (1999). 「素数 ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i i ! {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{ni}i!} の数は有限である」.計算数学. 68 (225).アメリカ数学会: 403–409. Bibcode :1999MaCom..68..403Z. doi :10.1090/S0025-5718-99-00990-4.
• Yves Gallot、素数 1 2 ∑ i = 0 n − 1 i ! {\textstyle {1 \over 2}\sum _{i=0}^{n-1}i!} の数は有限ですか?
• Paul Jobling、Guy の問題 B43: n!-(n-1)!+(n-2)!-(n-3)!+...+/-1! の形式の素数の探索