シリーズマルチセクション

数学において、べき級数の多重区分とは、元の級数から変更せずに抽出された等間隔の項で構成される新しいべき級数である。正式には、べき級数が与えられた場合

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}}$

すると、その多重セクションは次のような形式の冪級数となる。

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}}$

ここで、p、q は整数で、 0 ≤ p < qです。級数多重セクションは、生成関数の一般的な変換の 1 つを表します。

解析関数の級数の多重セクション

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}}$

は関数に関して閉じた形式の表現を持ちます: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}\cdot f(\omega ^{k}\cdot z),}$

ここで、は原始的なq乗根です。この表現は、しばしば 1 乗根フィルターと呼ばれます。この解法は、トーマス・シンプソンによって初めて発見されました。^[1] この表現は、無限和を有限和に変換できる点で特に便利です。たとえば、これは、有理値p / qで評価されたディガンマ関数の閉じた形の解を与えるガウスのディガンマ定理の標準的な証明の重要なステップで使用されます。 ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$

一般に、級数の二等分は、級数の 偶数部分と奇数部分です。

等比級数を考える

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}\quad {\text{ for }}|z|<1.}$

上記のシリーズを 設定すると、その多重セクションが簡単にわかります。${\displaystyle z\rightarrow z^{q}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }z^{qm+p}={\frac {z^{p}}{1-z^{q}}}\quad {\text{ }}|z|<1 の場合。}$

多重セクションの合計は元のシリーズに等しくなければならないことを思い出すと、おなじみの恒等式が回復します。

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}z^{p}={\frac {1-z^{q}}{1-z}}.}$

指数関数

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}}$

上記の解析関数の式により、

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}e^{\omega ^{k}z}.}$

二分法は双曲関数であることが自明です。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m} \over (2m)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right)=\cosh {z}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m+1} \over (2m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)=\sinh {z}.}$

高次の多重セクションは、そのような級数はすべて実数直線に沿って実数値でなければならないことに注意することで見つけられます。実数部を取り、標準的な三角関数の恒等式を使用すると、式は明示的に実数形式で次のように記述できます。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}e^{z\cos(2\pi k/q)}\cos {\left(z\sin {\left({\frac {2\pi k}{q}}\right)}-{\frac {2\pi kp}{q}}\right)}.}$

これらはクロネッカーのデルタ表記法を用いた境界条件付きの線型微分方程式 の解として見ることができる。特に、三等分は ${\displaystyle f^{(q)}(z)=f(z)}$ ${\displaystyle f^{(k)}(0)=\delta _{k,p}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m} \over (3m)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}+2e^{-z/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+1} \over (3m+1)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-2e^{-z/2}\cos {\left({\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}+{\frac {\pi }{3}}\right)}\right)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+2} \over (3m+2)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-2e^{-z/2}\cos {\left({\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}-{\frac {\pi }{3}}\right)}\right),}$

そして四等分線は

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m} \over (4m)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}+\cos {z}\right)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+1} \over (4m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}+\sin {z}\right)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+2} \over (4m+2)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}-\cos {z}\right)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+3} \over (4m+3)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}-\sin {z}\right).}$

二項展開の多重セクション

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^{2}+\cdots }$

x = 1では、ステップqを持つ二項係数の合計に対して次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle {n \choose p}+{n \choose p+q}+{n \choose p+2q}+\cdots ={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{q}}\right)^{n}\cdot \cos {\frac {\pi (n-2p)k}{q}}.}$

• Weisstein、Eric W.「Series Multisection」。MathWorld。
• ソモス、マイケル『q-シリーズのマルチセクション』、2006年。
• John Riordan (1968)。組み合わせ恒等式。ニューヨーク: John Wiley and Sons。