メンバーシップ関数（数学）

数学では、ファジィ集合のメンバーシップ関数は、古典的な集合の指示関数の一般化です。ファジィ論理では、評価の拡張として真理の度合いを表します。真理の度合いは、概念的には異なるものの、しばしば確率と混同されます。なぜなら、ファジィ真理は、ある事象や条件の可能性ではなく、漠然と定義された集合へのメンバーシップを表すからです。メンバーシップ関数は、アリアスカー・ザデーがファジィ集合に関する最初の論文（1965年）で導入しました。アリアスカー・ザデーは、ファジィ集合の理論において、すべての可能な値の領域で動作するメンバーシップ関数（範囲が区間（0,1）をカバーする）を使用することを提案しました。

任意の集合に対して${\displaystyle X}$メンバーシップ機能${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$実数単位区間へ${\displaystyle [0,1]}$。

メンバーシップ関数は、${\displaystyle X}$ファジィ集合を表すメンバーシップ関数${\displaystyle {\tilde {A}}}$通常は次のように表される${\displaystyle \mu _{A}.}$要素の場合${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$値${\displaystyle \mu _{A}(x)}$はメンバーシップ度と呼ばれます${\displaystyle x}$ファジー集合において${\displaystyle {\tilde {A}}.}$会員資格${\displaystyle \mu _{A}(x)}$要素のメンバーシップのグレードを定量化する${\displaystyle x}$ファジー集合へ${\displaystyle {\tilde {A}}.}$値0は、${\displaystyle x}$はファジー集合の要素ではありません。値 1 は、${\displaystyle x}$はファジィ集合の完全なメンバーです。0から1の間の値はファジィメンバーを表し、これらはファジィ集合に部分的にのみ属します。

場合によっては、^{[ 1 ]}より一般的な定義が用いられ、メンバーシップ関数は任意の固定代数または構造の値をとる。${\displaystyle L}$通常は、${\displaystyle L}$少なくとも半順序集合または束であること。この場合、[0, 1] の値をとる通常のメンバーシップ関数は、 [0, 1] 値メンバーシップ関数 と呼ばれます。 

メンバーシップ関数の応用例の一つは、意思決定理論における能力として用いられることである。

意思決定理論では、キャパシティは関数として定義される。${\displaystyle \nu }$ある集合の部分集合の集合であるSから、${\displaystyle [0,1]}$、したがって${\displaystyle \nu }$集合ごとに単調であり、正規化されている（つまり${\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1)。}$これは確率測度 の概念を一般化したもので、可算加法性という確率公理が緩和されています。容量は事象の発生確率を主観的に測る尺度として用いられ、特定の容量が与えられた場合の「期待値」は、その容量に関するショケ積分によって求められます。

• 非ファジィ化
• ファジィ測度理論
• ファジィ集合演算
• ラフセット

• Zadeh LA、1965、「ファジィ集合」。Information and Control 8：338–353。
• Goguen JA、1967、「L-ファジィ集合」。Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 : 145–174

• ファジー画像処理