ファジー集合演算

ファジー集合演算は、ファジー集合に対する明確な集合 演算の一般化です。実際には、複数の一般化が可能です。最も広く使用されている演算は、標準ファジー集合演算と呼ばれ、ファジー補集合、ファジー積集合、ファジー和集合で構成されます。

A と B を A,B ⊆ U となるファジー集合とします。u は U 宇宙内の任意の要素 (値など) です: u ∈ U。

標準補完

${\displaystyle \mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)}$

補数は、¬ A の代わりに∁ A または A ^{∁で表されることもあります。}

標準交差点

${\displaystyle \mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

標準ユニオン

${\displaystyle \mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

一般に、(i,u,n)の三つ組は、次の場合に限りド・モルガン三つ組 と呼ばれる。

• i はt-ノルムであり、
• u はt-コノルム（別名 s-ノルム）です。
• nは強い否定語であり、

したがって、すべてのx、y∈ [0、1]に対して次の式が成り立ちます。

u ( x , y ) = n ( i ( n ( x ), n ( y ) ) )

（一般化されたド・モルガン関係）。^[1]これは以下に詳細に示される公理を意味します。

μ _A ( x ) は、 x がAに属する度合いとして定義されます。∁Aがc型のAのあいまいな補集合を表すとします。すると、μ _∁A ( x ) は、 x が∁Aに属する度合いであり、 x がAに属さない度合いです。(したがって、 μ _A ( x ) は、 x が∁Aに属さない度合いです。) 補集合∁ A を関数によって定義します。

c  : [0,1] → [0,1]

すべてのx ∈ Uについて: μ _∁A ( x ) = c ( μ _A ( x ))

公理c1.境界条件

c (0) = 1 かつc (1) = 0

公理 c2.単調性

すべてのa , b ∈ [0, 1]に対して、 a < bならばc ( a ) > c ( b )である。

公理 c3.連続性

c は連続関数です。

公理 c4.反転

cは反転であり、各a∈[0,1]に対してc ( c ( a ) ) = aとなる。

c は強い否定語（別名、ファジー補語）です。

公理c1とc3を満たす関数cには、 c(a ^* ) = a ^{*となる不動点a *}が少なくとも1つあり、公理c2も満たされる場合は、そのような不動点は1つだけ存在する。標準否定子c(x) = 1-xの場合、唯一の不動点はa ^* = 0.5である。^[2]

2つのファジィ集合AとBの交差は、一般に単位区間上の二項演算、つまり次の形式の関数によって指定される。

i :[0,1]×[0,1]→[0,1]。

すべてのx∈Uについて: μA∩B ( _x ) = i _{[ μA (} x ) , μB ₍ x ) ] 。​

公理 i1.境界条件

（a , 1）= a

公理 i2.単調性

b ≤ d はi ( a , b ) ≤ i ( a , d )を意味する。

公理 i3.可換性

i ( a、b ) = i ( b、a )

公理 i4.結合性

i ( a、i ( b、d )) = i ( i ( a、b )、d )

公理 i5.連続性

iは連続関数である

公理 i6.劣冪等性

0 < a < 1 のすべてにおいてi ( a , a ) < a

公理 i7.厳密な単調性

i ( a ₁ , b ₁ ) < i ( a ₂ , b ₂ ) （ a ₁ < a ₂かつ b ₁ < b _{2の場合）}

公理i1からi4はtノルム（別名ファジー交差）を定義する。標準_{tノルムminは唯一}のべき等tノルムである（つまり、すべてのa∈ [0,1]に対してi ( a1 , a1 )= a ）。 ^[2]

2つのファジィ集合AとBの和集合は、一般に、次の形式の単位区間関数の二項演算によって指定される。

u :[0,1]×[0,1]→[0,1]。

すべてのx∈Uについて: μA∪B ( _x ) = u _{[ μA} ( x ₎ , μB ₍ x ) ] 。​

公理 u1. 境界条件

u ( a , 0) = u (0 , a ) = a

公理 u2.単調性

b ≤ dならばu ( a , b ) ≤ u ( a , d )となる。

公理 u3.可換性

u ( a、b ) = u ( b、a )

公理 u4.結合性

u ( a、u ( b、d )) = u ( u ( a、b )、d )

公理 u5.連続性

uは連続関数である

公理 u6.超冪性

u ( a , a ) > a （0 < a < 1のすべてに対して）

公理 u7.厳密な単調性

a ₁ < a ₂かつb ₁ < b ₂ であれば、u ( a ₁ , b ₁ ) < u ( a ₂ , b ₂ )となる。

公理u1からu4はt-コノルム（別名s-ノルムまたはファジーユニオン）を定義します。標準t-コノルムmaxは唯一のべき等t-コノルムです（つまり、すべてのa∈[0,1]に対してu（a1、a1）= a）。^[2]

ファジー セットに対する集約操作は、複数のファジー セットを望ましい方法で結合して単一のファジー セットを生成する操作です。

nファジー集合（2 ≤ n ）に対する集約演算は関数によって定義される。

h :[0,1] ⁿ → [0,1]

公理 h1.境界条件

h (0, 0, ..., 0) = 0 かつ h (1, 1, ..., 1) = 1

公理 h2.単調性

すべてのi ∈ N _nに対してa _i , bi ∈ [0,1]となるn組の任意のペア < a ₁ , a ₂ , ..., a _n > および < b ₁ , b ₂ , ..., b _n > について、すべてのi ∈ N _nに対してa _i ≤ bi_であれば、h ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) ≤ h ( b ₁ , b ₂ , ..., b _{n )が}成立します。つまり、h はすべての引数において単調増加です。

公理 h3.連続性

h は連続関数です。

• ファジー論理
• ファジー集合
• Tノルム
• タイプ2ファジィ集合とシステム
• ド・モルガン代数

• Klir, George J. ; Bo Yuan (1995)。『ファジー集合とファジー論理：理論と応用』 Prentice Hall。ISBN 978-0131011717。

• LA ザデー「ファジー集合」情報と制御、8:338–353、1965