ファジー部分代数

ファジィ部分代数理論は、ファジィ集合論の一章です。これは、通常、与えられた代数構造の部分代数の概念を表現する公理の多値論理における解釈から得られます。

モナド述語記号Sを持つ代数構造の第一階言語を考えてみましょう。ファジィ部分代数とは、任意のn項演算h に対して、次の公理を含む理論のファジィモデルです。

${\displaystyle \forall x_{1},...,\forall x_{n}(S(x_{1})\land .....\land S(x_{n})\rightarrow S(h(x_{1},...,x_{n}))}$

そして、任意の定数cに対して、S(c)となる。

最初の公理は、演算 h に関する S の閉包を表し、2 番目の公理は c が S の要素であるという事実を表します。例として、付値構造が [0,1] で定義され、連言を解釈するために使用される [0,1] での演算によって表されるとします。すると、ドメインが D である代数構造のあいまい部分代数は、D のあいまい部分集合s : D → [0,1]によって定義され、D のすべての d ₁ ,...,d _nに対して、h がn 項演算記号 h の 解釈である場合、${\displaystyle \odot}$

• ${\displaystyle s(d_{1})\odot ...\odot s(d_{n})\leq s(\mathbf {h} (d_{1},...,d_{n}))}$

さらに、c がs( c ) = 1 となる定数 c の解釈である場合。

広く研究されているファジィ部分代数のクラスは、演算が最小値と一致するクラスです。このような場合、次の命題をすぐに証明できます。 ${\displaystyle \odot}$

命題。代数構造のファジー部分集合sは、[0,1]内のすべてのλに対してsの閉カット{x∈D:s(x)≥λ}が部分代数である場合に限り、ファジー部分代数を定義する。

ファジィ部分群とファジィ部分モノイドは、ファジィ部分代数の特に興味深いクラスである。このような場合、モノイド（M,•, u）のファジィ部分集合sは、次の場合のみ ファジィ部分モノイドである。

1. ${\displaystyle s(\mathbf {u} )=1}$
2. ${\displaystyle s(x)\odot s(y)\leq s(x\cdot y)}$

ここで、u はA 内の 中立要素です。

群Gが与えられたとき、 Gのファジー部分群はGのファジー部分モノイドsであって、

• s(x)≤s(x ⁻¹ )である。

ファジィ部分群の概念はファジィ同値の概念と厳密に関連していることを証明することは可能である。実際、Sを集合、GをSの変換群、(G,s)をGのファジィ部分群と仮定する。すると、

• e(x,y) = Sup{s(h) : hはGの元であり、h(x) = yとなる}

ファジー同値を得る。逆に、Sにおけるファジー同値eとし、Sのあらゆる変換hに対して、

• s(h) = Inf{e(x,h(x)): x∈S}。

すると、s は S における変換のファジーサブグループを定義します。同様の方法で、ファジーサブモノイドをファジー順序に関連付けることができます。

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