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タイプ2ファジィ集合とシステムは、より多くの不確実性を扱えるように、標準的なタイプ1ファジィ集合とシステムを一般化したものです。ファジィ集合の黎明期から、タイプ1ファジィ集合のメンバシップ関数には不確実性が伴わないという点が批判されてきました。これは、ファジィという言葉が多くの不確実性を意味することから、この言葉と矛盾しているように思われます。では、メンバシップ関数の値に不確実性がある場合はどうすればよいのでしょうか。この問いに対する答えは、ファジィ集合の発明者であるロトフィ・A・ザデー[ 1 ]が1975年に、より洗練された種類のファジィ集合を提案した際に示されました。その最初のものを彼は「タイプ2ファジィ集合」と呼びました。タイプ2ファジィ集合は、メンバシップ関数に関する不確実性をファジィ集合理論に組み込むことを可能にし、タイプ1ファジィ集合に対する上記の批判に正面から対処する方法です。また、不確実性が存在しない場合、タイプ2のファジィ集合はタイプ1のファジィ集合に還元されます。これは、予測不可能性がなくなると確率が決定論に還元されるのと同様です。
タイプ1のファジーシステムは固定のメンバシップ関数で動作しますが、タイプ2のファジーシステムではメンバシップ関数が変動します。ファジー集合は、入力値がどのようにファジー変数に変換されるかを決定します。[ 2 ]
タイプ1ファジィ集合とタイプ2ファジィ集合を記号的に区別するために、ファジィ集合の記号の上にチルダ記号を付けます。したがって、Aはタイプ1ファジィ集合を表し、Ãはそれに対応するタイプ2ファジィ集合を表します。後者の方法で得られたタイプ2ファジィ集合は、「一般タイプ2ファジィ集合」（特別な区間タイプ2ファジィ集合と区別するため）と呼ばれます。
ザデーはタイプ2ファジィ集合にとどまらず、1976年の論文[ 1 ]で、これをすべてタイプnファジィ集合に一般化した。本稿では、タイプ1からタイプnファジィ集合（n = 1, 2, ...）への論理的な進展の次のステップであるタイプ2ファジィ集合のみに焦点を当てる。一部の研究者はタイプ2ファジィ集合よりも高次のファジィ集合の研究を始めているが、2009年初頭の時点では、この研究はまだ初期段階にある。
一般的なタイプ2ファジィ集合Ãのメンバーシップ関数は3次元であり（図1）、3次元目はその2次元領域上の各点におけるメンバーシップ関数の値であり、「不確実性のフットプリント」（FOU）と呼ばれる。
区間型タイプ2ファジィ集合の場合、第3次元の値は常に同じ（例えば1）であり、これは区間型タイプ2ファジィ集合の第3次元には新たな情報が含まれていないことを意味します。そのため、このような集合では第3次元は無視され、FOU（不確実性不確実性）のみを用いて記述されます。こうした理由から、区間型タイプ2ファジィ集合は時に第1次不確実性ファジィ集合モデルと呼ばれ、一方、第3次元が有用な一般的なタイプ2ファジィ集合は時に第2次不確実性ファジィ集合モデルと呼ばれることがあります。
FOUはタイプ1メンバーシップ関数のぼやけを表し、その2つの境界関数（図2）である下限メンバーシップ関数（LMF）と上限メンバーシップ関数（UMF）によって完全に記述されます。これらの関数はどちらもタイプ1ファジィ集合です。したがって、タイプ1ファジィ集合の数学を用いて、区間タイプ2ファジィ集合を特徴付け、扱うことが可能です。つまり、タイプ1ファジィ集合を既に理解しているエンジニアや科学者は、区間タイプ2ファジィ集合を理解して使用するために、一般的なタイプ2ファジィ集合の数学を学ぶのに多くの時間を費やす必要はありません。
1980年代から1990年代前半にかけて、タイプ2ファジィ集合に関する研究は停滞したが、それに関する論文は少数ながら発表された。人々はまだタイプ1ファジィ集合をどう扱うべきか模索していたため、1976年にザデーがタイプ2ファジィ集合を提案したにもかかわらず、研究者がタイプ1ファジィ集合の研究を中断してタイプ2ファジィ集合に集中するには時期尚早だった。1990年代後半、ジェリー・メンデルとその学生によるタイプ2ファジィ集合とシステムに関する研究の結果として、この状況は変化した。[ 3 ]それ以来、世界中のより多くの研究者がタイプ2ファジィ集合とシステムに関する論文を執筆している。
区間型2ファジィ集合は、そのような集合に必要な数学（主に区間演算）が、一般的な2ファジィ集合に必要な数学よりもはるかに単純であるため、最も注目を集めています。区間型2ファジィ集合に関する文献は膨大ですが、一般的な2ファジィ集合に関する文献ははるかに少ないです。どちらの種類のファジィ集合も、世界中でますます多くの研究者によって積極的に研究されており、ロボット制御などのさまざまな分野で成功裏に活用されています。[ 4 ]
形式的には、区間型2ファジィ集合については、すでに以下のことが解明されている。
タイプ2ファジィ集合は、不確実性をモデル化できるため、ルールベースのファジィ論理システム（FLS）において非常に幅広い応用が見出されています。一方、タイプ1ファジィ集合では、このような不確実性をモデル化することはできません。タイプ2 FLSのブロック図を図3に示します。この種のFLSは、ファジィ論理制御、ファジィ論理信号処理、ルールベースの分類などに使用され、FLSが誤差関数を最小化するように設計されているため、ファジィ集合の関数近似アプリケーションと呼ばれることもあります。
図3のルールベースFLSの4つの構成要素に関する以下の議論は、現在までに最も一般的なタイプ2 FLSである区間タイプ2 FLSを対象としていますが、議論の大部分は一般的なタイプ2 FLSにも適用可能です。
主題専門家によって提供されるか、数値データから抽出されるルールは、IF-THEN ステートメントの集合として表現されます。例:
ファジィ集合は、ルールの前件（IF部分）または後件（THEN部分）に現れる用語、およびFLSへの入力と出力に関連付けられています。メンバーシップ関数はこれらのファジィ集合を記述するために使用され、タイプ1 FLSではすべてがタイプ1ファジィ集合であるのに対し、区間タイプ2 FLSでは少なくとも1つのメンバーシップ関数が区間タイプ2ファジィ集合となります。
区間型タイプ2のFLSでは、以下の種類の不確実性のいずれか、またはすべてを定量化できます。
図3では、測定された（明確な）入力は、まずファジィ化ブロックでファジィ集合に変換されます。これは、ルールを活性化するのは数値ではなくファジィ集合であり、ルールは数値ではなくファジィ集合で記述されているためです。区間型タイプ2 FLSでは、3種類のファジィ化器が可能です。測定値が次のようになる場合：
図3では、測定値がファジィ化された後、結果として得られた入力ファジィ集合は、推論ブロックによってファジィ出力集合にマッピングされます。これは、まずファジィ集合理論を使用して各ルールを定量化し、次に推論メカニズムの助けを借りてファジィ集合の数学を使用して各ルールの出力を確立することによって実現されます。ルールがM個ある場合、推論ブロックへのファジィ入力集合は、それらのルールのサブセットのみをアクティブ化します。このサブセットには少なくとも1つのルールが含まれ、通常はMよりもはるかに少ないルールが含まれます。推論は一度に1つのルールずつ実行されます。したがって、推論ブロックの出力には、1つ以上の発火ルールのファジィ出力集合が存在します。
FLSのほとんどの工学的応用では、最終出力として数値（ファジィ集合ではなく）が必要となります。例えば、上記のルールの結果は「バルブを少し右に回す」です。自動バルブは「少し右に」が何を意味するのか理解できません。なぜなら、「少し右に」は言語表現であり、バルブは数値、つまり一定の角度で回転させる必要があるからです。したがって、発火ルールの出力であるファジィ集合を数値に変換する必要があり、これは図3の出力処理ブロックで行われます。
タイプ1のファジィ論理システムでは、「非ファジィ化」と呼ばれる出力処理によって、タイプ1のファジィ集合が数値にマッピングされます。これには多くの方法があり、例えば、発火ルールの出力ファジィ集合の和集合を計算し（結果は別のタイプ1のファジィ集合になります）、その集合のメンバシップ関数の重心を計算する、発火ルールの各結果メンバシップ関数の重心の加重平均を計算する、などです。
区間型タイプ 2 FLS の場合、状況はやや複雑になります。区間型タイプ 2 ファジィ集合から数値に変換するには、（通常） 2 つのステップが必要だからです (図 3)。最初のステップは「タイプ縮約」と呼ばれ、区間型タイプ 2 ファジィ集合を区間値のタイプ 1 ファジィ集合に縮約します。タイプ縮約方法は、タイプ 1 非ファジィ化方法と同じ数だけ存在します。Karnik と Mendel [ 6 ] [ 3 ]によって開発されたアルゴリズムで、現在は「KM アルゴリズム」として知られていますが、タイプ縮約に使用されます。このアルゴリズムは反復的ですが、非常に高速です。
出力処理の第2段階は、型縮小の後に行われる処理であり、依然として「非ファジィ化」と呼ばれます。区間型2ファジィ集合の型縮小された集合は常に有限の数値区間であるため、非ファジィ化された値は、この区間の両端点の平均となります。
図3から明らかなように、区間型タイプ2 FLSには、明確な数値とタイプ縮小セットという2つの出力が存在する。後者は、区間型タイプ2 FLSを通過した不確実性の尺度を提供する。これは、前件または後件、あるいはその両方が不確実なルールを活性化させた（おそらく）不確実な入力測定値に起因する。標準偏差が確率統計において平均値に関する予測不可能な不確実性の尺度として広く用いられているのと同様に、タイプ縮小セットは区間型タイプ2 FLSの明確な出力に関する不確実性の尺度を提供することができる。
ファジィ集合の別の応用例も、Zadeh [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]の「言葉による計算」に触発されたものである。「言葉による計算」には、CW や CWW など、さまざまな頭字語が使用されている。Zadeh によると、次のようになる。
もちろん、彼はコンピュータが実際に数字ではなく単語（単語またはフレーズ）を使って計算するという意味で言ったのではありません。彼が言ったのは、コンピュータは単語によって起動され、その単語はファジィ集合を使って数学的表現に変換され、これらのファジィ集合はCWWエンジンによって別のファジィ集合にマッピングされ、その後、後者が再び単語に変換されるということです。当然の疑問は、単語のモデルとしてどの種類のファジィ集合（タイプ1またはタイプ2）を使用すべきかということです。メンデル[ 26 ] [ 27 ]は、カール・ポパーの「反証主義」の概念[ 28 ] [ 25 ]に基づいて、単語のモデルとしてタイプ1ファジィ集合を使用することは科学的に誤りであると主張しています。単語の（一次不確実性）モデルとして、区間タイプ2ファジィ集合を使用すべきです。CWWについては多くの研究が進行中です。
タイプ2ファジィ集合は、以下の分野で応用されています。
一般および区間タイプ2ファジィ集合およびシステム、ならびにタイプ1ファジィシステムをカバーするフリーウェアのMATLAB実装は、 http ://sipi.usc.edu/~mendel/software で入手できます。離散区間タイプ2ファジィ論理システムをサポートするソフトウェアは、 DIT2FLSツールボックス（http://dit2fls.com/projects/dit2fls-toolbox/ ）、および DIT2FLSライブラリパッケージ（http://dit2fls.com/projects/dit2fls-library-package/ ）で入手できます。
タイプ1、区間、および一般的なタイプ2ファジーシステムのソースコードを含むJavaライブラリは、http://juzzy.wagnerweb.net/で入手できます。
タイプ1およびタイプ2ファジー集合用のPythonライブラリは、https://github.com/carmelgafa/type2fuzzyで入手できます。
区間型2ファジィ集合およびシステム用のPythonライブラリは、https://github.com/Haghrah/PyIT2FLSで入手できます。
区間型タイプ2ファジー論理システム用のオープンソースのMatlab/Simulinkツールボックスは、以下のURLで入手可能です：http://web.itu.edu.tr/kumbasart/type2fuzzy.htm
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