ファジー集合

任意のファジー集合に対して${\displaystyle A=(U,m)}$そして${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$以下の明確な集合が定義される。

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$これはαカット（別名αレベルセット）と呼ばれます。
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$これは、その強いαカット（別名：強いαレベルセット）と呼ばれます。
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$そのサポートと呼ばれています
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$コア（またはカーネル）と呼ばれる${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$)

なお、著者によっては「カーネル」を異なる意味で解釈している場合があることに注意してください。詳細は下記を参照してください。

• ファジー集合${\displaystyle A=(U,m)}$空です（${\displaystyle A=\varnothing }$)の場合に限り

${\displaystyle \forall }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• 2つのファジー集合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$等しい（​${\displaystyle A=B}$) ならば

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• ファジー集合${\displaystyle A}$ファジー集合に含まれる${\displaystyle B}$（${\displaystyle A\subseteq B}$) ならば

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• 任意のファジー集合に対して${\displaystyle A}$、任意の要素${\displaystyle x\in U}$満たす

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

クロスオーバーポイントと呼ばれる。

• ファジィ集合が与えられた場合${\displaystyle A}$、 どれでも${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$そのために${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$空でないものは、A のレベルと呼ばれます。
• Aのレベルセットは、すべてのレベルの集合です。${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$異なるカットを表しています。これは、${\displaystyle \mu _{A}}$:

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• ファジー集合の場合${\displaystyle A}$その高さは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

どこ${\displaystyle \sup }$は上限を表し、それは以下の理由で存在します。${\displaystyle \mu _{A}(U)}$U は空集合ではなく、1 で上から抑えられています。U が有限集合の場合は、上限を最大値に置き換えるだけで済みます。

• ファジー集合${\displaystyle A}$正規化されていると言われるのは、

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

上限が最大値である有限の場合、これはファジィ集合の少なくとも1つの要素が完全なメンバーシップを持つことを意味します。空でないファジィ集合${\displaystyle A}$結果で正規化される可能性があります${\displaystyle {\tilde {A}}}$ファジィ集合のメンバーシップ関数をその高さで割ることによって：

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

類似点に加えて、この方法は通常の正規化とは異なり、正規化定数が和ではないという点が特徴である。

• ファジィ集合の場合${\displaystyle A}$実数${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$境界のあるサポートの場合、幅は次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

の場合${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$は有限集合、より一般的には閉集合であり、幅はちょうど

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

n次元の場合${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$上記は、n次元体積に置き換えることができる。${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$。

一般に、これはU上の任意の測度によって定義でき、例えば積分 (例えばルベーグ積分)によって定義できる。${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$。

• 非常に曖昧な集合${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$は凸集合である（明確な凸集合と混同しないように、曖昧な意味で）と言われるのは、

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

一般性を失うことなく、x ≤ yとすると、以下の式が得られる。

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

この定義は、一般的な位相空間Uに対する定義に拡張できます。ファジー集合とは、${\displaystyle A}$Uの任意の部分集合Zに対して、条件が 満たされるときに凸である。

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

保持する、${\displaystyle \partial Z}$Zの境界を表し、${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$は集合Xの像を表します(ここでは${\displaystyle \partial Z}$) 関数fの下で(ここでは${\displaystyle \mu _{A}}$)

ファジィ集合の補集合には最も一般的な定義が一つだけ存在するが、その他の主要な演算である和集合と積集合には、ある程度の曖昧さが存在する。

• 与えられたファジィ集合に対して${\displaystyle A}$その補遺${\displaystyle \neg {A}}$（時として次のように表記される）${\displaystyle A^{c}}$または${\displaystyle cA}$) は、次のメンバーシップ関数によって定義されます。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$。

• t をt-ノルム、s を対応する s-ノルム（別名 t-コノルム）とする。ファジィ集合のペアが与えられたとき、${\displaystyle A,B}$それらの交差点${\displaystyle A\cap {B}}$定義は以下のとおりです。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$、

そして彼らの組合${\displaystyle A\cup {B}}$定義は以下のとおりです。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$。

tノルムの定義によれば、和集合と積集合は可換性、単調性、結合性を持ち、ヌル要素と単位元の両方を持つことがわかります。積集合の場合、これらはそれぞれ∅とUであり、和集合の場合は逆になります。ただし、ファジィ集合とその補集合の和集合は完全な全体集合Uにならない場合があり、それらの積集合は空集合∅にならない場合があります。積集合と和集合は結合性を持つため、有限族のファジィ集合の積集合と和集合を再帰的に定義するのが自然です。ファジィ集合の和集合と積集合に対する一般的に受け入れられている標準演算子は、最大値演算子と最小値演算子であることに注目すべきです。

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$そして${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$[ ^{6 ]​}
• 標準否定子の場合${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$別の強い否定子に置き換えられると、ファジィ集合の差（以下で定義）は次のように一般化できる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• ファジー交差、和集合、補集合の三つ組は、ド・モルガンの三つ組を形成する。つまり、ド・モルガンの法則はこの三つ組にも適用される。

標準否定子を持つファジーな交差/和集合のペアの例は、 tノルムに関する記事で提供されているサンプルから導き出すことができます。

ファジー交差は一般に冪等ではありません。なぜなら、この性質を持つのは標準的なtノルムminだけだからです。実際、tノルムとして算術乗算を用いると、結果として得られるファジー交差演算は冪等ではありません。つまり、ファジー集合とそれ自身との交差を繰り返し取ることは自明ではありません。代わりに、ファジー集合のm乗を定義することになり、これは非整数指数に対して次のように標準的に一般化できます。

• 任意のファジー集合に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$ν乗​${\displaystyle A}$メンバーシップ関数によって定義されます。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

指数が2の場合は、特別な名前が付けられるほど特殊なケースである。

• 任意のファジー集合に対して${\displaystyle A}$濃度​${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$定義される

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

取${\displaystyle 0^{0}=1}$、 我々は持っています${\displaystyle A^{0}=U}$そして${\displaystyle A^{1}=A.}$

• ファジィ集合が与えられた場合${\displaystyle A,B}$ファジー集合の差${\displaystyle A\setminus B}$、また表記される${\displaystyle A-B}$は、メンバーシップ関数を介して直接定義できます。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

つまり${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$例：

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

セット差に関する別の提案としては、次のようなものが考えられます。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

• デュボワとプラード（1980）は、絶対値を取ることによって対称ファジィ集合の差分を提案しており、

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

または、最大値、最小値、および標準否定 の組み合わせを使用することで、

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^{[ 7 ]}

tノルム、tコノルム、およびネガターの定義に類似した一般化対称差の定義の公理は、Alsina et al. (2005) および Bedregal et al. (2009) による先行研究に続き、Vemur et al. (2014) によって提案された。^{[ 7 ]}

• 明確な集合とは対照的に、ファジー集合に対しても平均化演算を定義することができる。

交差演算と和演算の一般的な曖昧さとは対照的に、互いに素なファジィ集合には明確さがある。2 つのファジィ集合${\displaystyle A,B}$互いに素であるのは、

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

これは以下と同等です

${\displaystyle \nexists }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

また同等

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

min / maxは at/s ノルムのペアであることを覚えておいてください。他のペアでも同様に機能します。

ファジー集合が互いに素であるのは、そのサポートが、明確な集合の標準的な定義に従って互いに素である場合に限る。

互いに素なファジィ集合の場合${\displaystyle A,B}$交差は ∅ となり、和集合も同じ結果となり、それは次のように表されます。

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

そのメンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

両方の項のうち、ゼロより大きいのは一方のみであることに注意してください。

互いに素なファジィ集合の場合${\displaystyle A,B}$以下のことが当てはまります。

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

これは、次のように有限個のファジィ集合の族に一般化できます。${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$インデックス集合I (例えばI = {1,2,3,..., n })を持つファジィ集合の族。この族は、次の場合に限り (ペアごとに) 互いに素である。

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

ファジィ集合の族${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$基礎となるサポートのファミリーが互いに素である場合に限り、それは互いに素である。${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$は、明確な集合の族の標準的な意味で互いに素である。

t/sノルムのペアとは無関係に、互いに素なファジィ集合の共通部分は再び∅となり、和集合には曖昧さはない。

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

そのメンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

ここでも、被加数のうちゼロより大きいのは1つだけです。

互いに素なファジィ集合の族の場合${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$以下のことが当てはまります。

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

ファジー集合の場合${\displaystyle A}$有限のサポート${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$（つまり「有限ファジー集合」）の場合、その濃度（別名スカラー濃度またはシグマカウント）は次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$。

U自体が有限集合である場合、相対濃度は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$。

これは、除数が空でないファジィ集合である場合に一般化できます。ファジィ集合の場合${\displaystyle A,G}$G ≠ ∅の場合、相対濃度は次のように定義できます。

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$、

これは条件付き確率の式と非常によく似ています。注:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$ここ。
• 結果は、選択された特定の交差（tノルム）によって異なる場合がある。
• のために${\displaystyle G=U}$結果は明確であり、以前の定義と類似している。

任意のファジー集合に対して${\displaystyle A}$会員機能${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$家族とみなすことができる${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$後者は複数の距離を持つ距離空間である。${\displaystyle d}$既知。ノルム（ベクトルノルム）からメトリックを導出できる。${\displaystyle \|\,\|}$経由

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$。

例えば、${\displaystyle U}$有限である、つまり${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$このような指標は次のように定義できます。

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$0から1までの実数の数列です。

無限に${\displaystyle U}$最大値は上限値に置き換えることができます。ファジィ集合はメンバーシップ関数によって明確に定義されるため、この指標は同じユニバース上のファジィ集合間の距離を測定するために使用できます。

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$、

これは上記のサンプルでは次のようになります。

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$。

再び無限に${\displaystyle U}$最大値は上限に置き換える必要があります。無限のファジー集合があまりにも異なる場合、他の距離 (標準的な 2 ノルムなど) は発散する可能性があります。${\displaystyle \varnothing }$そして${\displaystyle U}$。

類似度尺度（ここでは、${\displaystyle S}$）は、例えばコチの提案に従って、距離から導出することができる。

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$もし${\displaystyle d(A,B)}$有限である、${\displaystyle 0}$それ以外、

またはウィリアムズとスティールの後：

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$もし${\displaystyle d(A,B)}$有限である、${\displaystyle 0}$それ以外

どこ${\displaystyle \alpha >0}$は傾斜パラメータであり、${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$。

時には、ファジィ集合の概念のより一般的な変形が用いられ、メンバーシップ関数は（固定または可変の）代数または構造の値をとる。${\displaystyle L}$特定の種類の。通常は、${\displaystyle L}$少なくとも半順序集合または束でなければならない。これらは通常、単位区間で値をとるものと区別するために、L-ファジー集合と呼ばれる。通常の[0, 1]の値をとるメンバーシップ関数は、[0, 1]値メンバーシップ関数と呼ばれる。このような一般化は、1967年にザデーの教え子であったジョセフ・ゴーゲンによって初めて検討された。 ^{[ 8 ]}古典的な系としては、真理値とメンバーシップ値を{0, 1}ではなく{f, t}で示すことが挙げられる。

アタナソフはファジィ集合の拡張を提供した。直観的ファジィ集合（IFS）${\displaystyle A}$2つの機能によって特徴づけられる。

1.${\displaystyle \mu _{A}(x)}$– xのメンバーシップの度合い

2.${\displaystyle \nu _{A}(x)}$– xの非会員度

関数付き${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$と${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$。

これは、次のような状況に似ています。${\displaystyle x}$投票

• 提案のために${\displaystyle A}$: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$)
• それに対して: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$)
• または投票を棄権する：（${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$)

結局のところ、承認率、否決率、棄権率があるのだ。

この状況では、特別な「直観的ファジー」否定子、tノルム、sノルムを定義できます。${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$そして両方の機能を組み合わせることで${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$この状況は、特殊な種類のLファジー集合に似ている。

さらに、これは次のように画像ファジー集合（PFS）を定義することによって拡張されています。PFS Aは、 Uを[0, 1]にマッピングする3つの関数によって特徴付けられます。${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$それぞれ「肯定的メンバーシップの度合い」、「中立的メンバーシップの度合い」、「否定的メンバーシップの度合い」および追加条件${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ これは、上記の投票サンプルに「投票拒否」という可能性を追加することで、サンプルを拡大するものです。

と${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$そして特別な「画像ファジー」否定子、tノルムとsノルムは、Lファジー集合の別のタイプに似ています。^{[ 9 ]}

IFSの拡張の一つとして、ピタゴラスファジー集合と呼ばれるものがある。このような集合は制約を満たす。${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$これはピタゴラスの定理を彷彿とさせる。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ピタゴラスファジー集合は、以前の条件が${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$は有効ではありません。ただし、より制限の少ない条件は${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$より多くの分野に適している可能性がある。^{[ 13 ] [ 14 ]}