積分の時間発展

微分積分では、多くの応用において、積分領域と被積分関数が特定のパラメータの関数である体積積分または表面積積分の変化率を計算する必要があります。物理的な応用では、そのパラメータは多くの場合時間tです。

十分に滑らかな積分関数を持つ1次元積分の変化率は、微積分の基本定理のこの拡張によって決まります。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

移動曲面の計算[ ^1]は、ユークリッド領域上の体積積分、曲面の微分幾何学上の面積分（移動する輪郭境界を持つ曲面上の積分を含む）に対する類似の公式を提供します。

tを時間的なパラメータとし、滑らかな表面境界Sを持つ時間依存領域Ω を考える。FをΩ の内部で定義される時間依存不変場とする。すると、積分 ${\displaystyle \int _{\Omega }F\,d\Omega }$

以下の法律によって規定される：^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS}$

ここで、C は界面の速度です。界面の速度C は、運動面の微積分における基本概念です。上記の式では、C は外部法線に対して表される必要があります。この法則は、微積分の基本定理の一般化と見なすことができます。

関連する法則は表面積の変化率を規定する。

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

法律にはこう書かれている

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

ここで、-導関数は、もともとジャック・アダマールによって提案された、移動面の計算における基本演算子です。は平均曲率テンソルのトレースです。 この法則では、法線の選択がCとに対して一貫している限り、C は外部法線に関する式である必要はありません。 上記の式の最初の項はFの変化率を表し、2 番目の項は面積の拡大または縮小を補正します。は面積である ため、上記の式を に適用すると、平均曲率が面積の変化率を表すことがわかります。${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$${\displaystyle F\equiv 1}$${\displaystyle \int _{S}\,dS}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

上記の式は、平均曲率が適切に面積の 形状勾配と呼ばれることができることを示しています。${\displaystyle B_{\alpha}^{\alpha}}$

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}$

は一般的な平均曲率フローであり、面積に対する最急降下を表します。半径Rの球の場合は、 外部法線に対して 、半径Rの円の場合は、 であることに注意してください。${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R}$${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$

S が移動する輪郭 γ を持つ移動面であると仮定します。S に対する輪郭 γ の速度が c であると仮定します。この場合、時間依存積分の変化率は次のようになります。

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

最後の項は、右の図に示すように、併合による面積の変化を表します。