ランダウ・リフシッツモデル

固体物理学において、レフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツにちなんで名付けられたランダウ・リフシッツ方程式（LLE ）は、 1つの時間変数と1つ、2つ、または3つの空間変数に依存する、固体中の磁性の時間発展を記述する偏微分方程式である。

LLE は異方性磁石を表します。この方程式は( Faddeev & Takhtajan 2007 、p. 457)で次のように説明されています。これはベクトル場Sの方程式であり、言い換えればR ^{1+ n}上の関数で、 R ³の値をとります。この方程式は、通常対角行列であると仮定される固定された対称 3 x 3行列Jに依存します。つまり、 ${\displaystyle J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})}$すると、LLEはハミルトニアンに対するハミルトンの運動方程式によって与えられる。

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)}$

（ここで、J（S）はベクトルSに適用されたJの二次形式である）

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

1+1次元では、この方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

2+1次元では、この方程式は次の形式をとる。

$\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)}$

これは（2+1）次元のLLEです。（3+1）次元の場合、LLEは次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

一般の場合、LLE（2）は非積分可能であるが、2つの積分可能な簡約が可能である。

a) 1+1次元、すなわち式(3)では、積分可能である。

b) の場合${\displaystyle J=0}$この場合、(1+1)次元LLE(3)は、既に積分可能な連続古典的ハイゼンベルク強磁性方程式(例えば、ハイゼンベルクモデル(古典的)を参照)に変わります。

• 非線形シュレディンガー方程式
• ハイゼンベルクモデル（古典モデル）
• スピン波
• マイクロマグネティズム
• 石森方程式
• 磁石
• 強磁性

• Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonian methods in the theory of solitons , Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp.  x+592, doi : 10.1007/978-3-540-69969-9 , ISBN 978-3-540-69843-2MR 2348643​ 
• 郭博玲、丁世金（2008）『ランダウ＝リフシッツ方程式』中国科学院研究の最前線、ワールド・サイエンティフィック出版、ISBN 978-981-277-875-8
• Kosevich AM、Ivanov BA、Kovalev AS「非線形磁化波。動的および位相的ソリトン」–キエフ：Naukova Dumka、1988年。–192ページ。