テイラー・クエット流

流体力学において、テイラー・クエット流れは、 2 つの回転する円筒間の隙間に閉じ込められた粘性流体から構成されます。レイノルズ数Reで測定される低角速度では、流れは定常で純粋に方位角方向です。この基本状態は、粘性を測定する手段としてこの実験装置を使用したモーリス・マリー・アルフレッド・クエットにちなんで、円形クエット流れとして知られています。サー・ジェフリー・イングラム・テイラーは、画期的な論文でクエット流れの安定性を調査しました。^{[ 1 ]}テイラーの論文は、流体力学的安定性理論の発展の礎となり、当時科学界で議論されていた滑りなし条件が、固体境界での粘性流れの正しい境界条件であることを示しました。

テイラーは、内側シリンダーの角速度が一定の閾値を超えると、クエット流が不安定になり、軸対称の環状渦を特徴とする二次定常状態であるテイラー渦流が出現することを示した。その後、シリンダーの角速度が増加すると、システムは不安定性の進行を経て、より時空間的に複雑な状態になり、次の状態は波状渦流と呼ばれる。2つのシリンダーが反対方向に回転すると、螺旋渦流が発生する。あるレイノルズ数を超えると、乱流が発生する。

円形クエット流は、脱塩から磁気流体力学、粘度分析に至るまで幅広い用途があります。ねじれたテイラー渦や波状の流出境界など、さまざまな流れの形態が長年にわたって分類されてきました。流体力学において、十分に研究され、文書化された流れです。^{[ 2 ]}

単純なテイラー・クエット流は、回転する2つの無限に長い同軸円筒間に生成される定常流です。^{[ 3 ]}円筒の長さは無限に長いため、定常状態では流れは基本的に一方向になります。半径の内側円筒の場合${\displaystyle R_{1}}$一定の角速度で回転している$\displaystyle \Omega _{1}}$半径の外側円筒${\displaystyle R_{2}}$一定の角速度で回転している$\displaystyle \Omega _{2}}$図に示すように、方位角速度成分は^{[ 4 ]で与えられる。}

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

どこ

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}$

レイリー卿^{[ 5 ] [ 6 ]}は、非粘性仮定、すなわち摂動オイラー方程式を用いて問題の安定性を研究した。基準によれば、粘性がない場合、方位角速度分布の必要十分条件は${\displaystyle v_{\theta }(r)}$安定していることは^{[ 7 ]}

$\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

区間内のあらゆる場所で、さらに、分布が不安定なのは、$\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$区間内のどこでも減少するはずです。${\displaystyle |rv_{\theta }|}$は、流体要素の回転軸に関する単位質量あたりの角運動量を表します。基準を別の言い方で表現すると、軸に関する角運動量の層状構造は、それが単調に外側に向かって増加する場合に限り安定していると言えます。

この基準をテイラー・クエット流に適用すると、以下の条件を満たす場合に流れが安定であることがわかる。${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$つまり、安定性のためには、外側の円筒は（同じ方向に）より大きな角速度で回転する必要がある。$\displaystyle \eta ^{2}}$内側の円筒の 倍。レイリーの基準が破られています ($\displaystyle \Phi <0}$）流体全体にわたって${\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}}$一方、シリンダーが反対方向に回転する場合、つまり${\displaystyle \mu <0}$レイリーの基準は内側の領域でのみ破られる。$\displaystyle \Phi (r)<0}$のために${\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}}$どこ${\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}$。

画期的な研究において、GI Taylorは粘性力の存在下における不安定性の基準を実験的にも理論的にも発見した。一般に、粘性力はレイリーの基準によって予測される不安定性の発生を遅らせることがわかっている。安定性は、次の3つのパラメータによって特徴付けられる。${\displaystyle \eta }$、${\displaystyle \mu }$そしてテイラー数

${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}。$

最初の結果は、流れが安定しているという事実に関するものです。${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$これはレイリーの基準と一致している。しかし、特定のパラメータ範囲では安定なケースも存在する。${\displaystyle \mu <\eta ^{2}}$。

テイラーは、環状ギャップが狭いギャップであることを示す明確な基準を得た。${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$平均半径に比べて小さい${\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2}$言い換えれば、${\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}$薄いギャップ近似におけるテイラー数のより良い定義は

${\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}$

このテイラー数に関して、同方向回転の臨界条件は次のとおりであることが判明した。

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}$

として${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$臨界テイラー数は次式で与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}$

テイラー渦（サー・ジェフリー・イングラム・テイラーにちなんで名付けられた）は、テイラー数（${\displaystyle \mathrm {Ta} }$流量の${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$。

流れにおいて

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

流れの不安定性は存在しない、つまり流れの摂動は粘性力によって減衰され、流れは安定している。しかし、${\displaystyle \mathrm {Ta} }$を超える${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$軸対称不安定性が現れます。これらの不安定性の性質は、安定性の交換（過剰安定性ではなく）であり、結果として乱流ではなく、流れの中に大きな環状渦が積み重なって形成される安定した二次流パターンが現れます。これらはテイラー渦です。元の流れの流体力学は、${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$テイラー渦が存在するテイラー・クエット流と呼ばれる新しい流れは、流れが大きなレイノルズ数に達するまでは実際には安定しており、その時点で流れは不安定な「波状渦」の流れに遷移し、おそらく非軸対称不安定性の存在を示している。

理想化された数学的問題は、特定の値を選択することによって提起される。${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \eta }$、 そして${\displaystyle \mathrm {Ta} }$。 として${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$そして${\displaystyle \mu \rightarrow 0}$下から見ると、臨界テイラー数は${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}​

1975 年、JP Gollub とHL Swinney は回転流体における乱流の発生に関する論文を発表しました。テイラー・クエット流れシステムにおいて、回転速度が増加すると、流体が「流体ドーナツ」の山に層状化することを観察しました。回転速度がさらに増加すると、ドーナツは振動してねじれ、最終的に乱流になります。^{[ 12 ]}彼らの研究は、乱流におけるRuelle–Takens シナリオを確立するのに役立ちました。 ^{[ 13 ]}これは、流体力学システムが安定した流れパターンから乱流に移行する方法を理解する上で、 Floris TakensとDavid Ruelleによる重要な貢献です。この移行の主な支配因子はレイノルズ数ですが、他にも重要な影響因子があります。流れが開いているか (つまり、横方向の上下方向がある) または閉じているか (流れが横方向に制限されている、たとえば回転している)、および制限されている (壁効果の影響を受ける) または制限されていない (壁効果の影響を受けない) かです。この分類によれば、テイラー・クエット流は、閉鎖された境界のある流れ系で形成される流れパターンの一例である。

• Chossat, P.; Iooss, G. (1992).クエット・テイラー問題. 応用数理科学. 第 102巻. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-4300-7 . ISBN 978-0387941547。
• コシュミダー、EL（1993）。ベナールセルとテイラー渦。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-40204-0。