代数的に閉じた群

群論において、群が 代数的に閉じているとは、適用可能な方程式と不等式の有限集合が群の拡大を必要とせずに における解を持つ場合を言う。この概念は、この記事の後半の § 形式的定義 で明確にされる。 ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

次の条件（方程式と不等式）を満たす グループの要素を見つけたいとします。${\displaystyle x\ }$${\displaystyle G\ }$

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

${\displaystyle x^{3}=1\ }$

${\displaystyle x\neq 1\ }$

すると、最初の 2 つの方程式が を意味するため、これが不可能であることが簡単にわかります。この場合、条件セットはと矛盾していると言えます。(実際、この条件セットはどのグループとも矛盾しています。) ${\displaystyle x=1\ }$${\displaystyle G\ }$

${\displaystyle G\ }$
${\displaystyle .\ }$ ${\displaystyle {\underline {1}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {a}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {1}}\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle {\underline {a}}\ }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle 1\ }$

ここで、右側に掛け算表があるグループがあるとします。 ${\displaystyle G\ }$

条件は次のようになります。

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

${\displaystyle x\neq 1\ }$

には、 という解があります。 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle x=a\ }$

ただし条件:

${\displaystyle x^{4}=1\ }$

${\displaystyle x^{2}a^{-1}=1\ }$

簡単に確認できるため、 に解決策はありません。${\displaystyle G\ }$

${\displaystyle H\ }$

${\displaystyle .\ }$ ${\displaystyle {\underline {1}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {a}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {b}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {c}}\ }$ ${\displaystyle {\underline {1}}\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle b\ }$ ${\displaystyle c\ }$ ${\displaystyle {\underline {a}}\ }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle c\ }$ ${\displaystyle b\ }$ ${\displaystyle {\underline {b}}\ }$ ${\displaystyle b\ }$ ${\displaystyle c\ }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle {\underline {c}}\ }$ ${\displaystyle c\ }$ ${\displaystyle b\ }$ ${\displaystyle 1\ }$ ${\displaystyle a\ }$

しかし、このグループを隣接する掛け算表を持つ グループに拡張すると、次のようになります。${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$

すると、条件にはとという 2 つの解が存在します。 ${\displaystyle x=b\ }$${\displaystyle x=c\ }$

したがって、このような条件に関しては 3 つの可能性があります。

• これらは と矛盾する可能性があり、 のいかなる拡張においても解が存在しない可能性があります。${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G\ }$
• 彼らには解決策があるかもしれません。${\displaystyle G\ }$
• これらは では解を持たないかもしれませんが、それでもの何らかの拡張では解を持ちます。${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle G\ }$

このような一連の条件に解が存在する場合、それ自体に解が存在するようなグループが存在するかどうかを尋ねるのは合理的です。答えは「はい」であり、そのようなグループを代数的に閉じたグループと呼びます。 ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

まず、予備的なアイデアが必要です。

が群であり、が可算な生成元上の自由群である場合、 に係数を持つ方程式と不等式の有限集合とは、との 自由積のサブセットのペアとを意味します。 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle F\ }$ ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle E\ }$${\displaystyle I\ }$${\displaystyle F\star G}$${\displaystyle F\ }$${\displaystyle G\ }$

これは、の変数と要素で構成される方程式と不等式の集合の概念を形式化します。この集合は次のような方程式を表します。 ${\displaystyle x_{i}\ }$${\displaystyle g_{j}\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle E\ }$

${\displaystyle x_{1}^{2}g_{1}^{4}x_{3}=1}$

${\displaystyle x_{3}^{2}g_{2}x_{4}g_{1}=1}$

${\displaystyle \dots \ }$

この集合は次のような不等式を表す。 ${\displaystyle I\ }$

${\displaystyle g_{5}^{-1}x_{3}\neq 1}$

${\displaystyle \dots \ }$

この有限の方程式と不等式の集合における解 とは、すべての に対してとなり、すべての に対して となる準同型 を意味します。ここで は、 上で に等しく、上でが恒等となる唯一の準同型です。 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle f:F\rightarrow G}$${\displaystyle {\tilde {f}}(e)=1\ }$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle {\tilde {f}}(i)\neq 1\ }$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}:F\star G\rightarrow G}$${\displaystyle f\ }$${\displaystyle F\ }$${\displaystyle G\ }$

これは、変数を の要素に置き換えて真の恒等式と不恒等式を得るという考え方を形式化したものです。例では、 と を置き換えると次のようになります。 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle x_{1}\mapsto g_{6},x_{3}\mapsto g_{7}}$${\displaystyle x_{4}\mapsto g_{8}}$

${\displaystyle g_{6}^{2}g_{1}^{4}g_{7}=1}$

${\displaystyle g_{7}^{2}g_{2}g_{8}g_{1}=1}$

${\displaystyle \dots \ }$

${\displaystyle g_{5}^{-1}g_{7}\neq 1}$

${\displaystyle \dots \ }$

有限の方程式と不等式の集合は、それらを「より大きな」グループで解くことができる場合、と整合していると 言えます。より正式には、 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$

方程式と不等式は、群と埋め込みが存在し、方程式と不等式の有限集合とがに解を持つ場合、 と矛盾しません。ここで、は上でに等しく、 は 上の恒等写像である唯一の準同型です。 ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle h:G\rightarrow H}$${\displaystyle {\tilde {h}}(E)}$${\displaystyle {\tilde {h}}(I)}$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle {\tilde {h}}}$${\displaystyle {\tilde {h}}:F\star G\rightarrow F\star H}$${\displaystyle h\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle F\ }$

ここで、 に係数を持ちと一致するすべての有限の方程式と不等式の集合が に解を持つ場合、その群は代数的に閉じていると正式に定義します。 ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

次の結果が示すように、代数的に閉じた群の具体的な例を示すことは困難です。

• すべての可算群は、可算な代数的閉群に埋め込むことができます。
• すべての代数的に閉じた群は単純です。
• 代数的に閉じた群は有限生成ではない。
• 代数的に閉じた群は再帰的に表現できません。
• 有限生成群は、すべての代数的に閉じた群に埋め込むことができる場合にのみ、解ける単語問題を持ちます。

これらの結果の証明は一般に非常に複雑です。ただし、可算群が代数的に閉じた群に埋め込むことができる という証明の概要は次のとおりです。${\displaystyle C\ }$

まず、 で係数を持ち で矛盾のない方程式のすべての有限集合は、 で解を持つという性質を持つ可算群に埋め込みます。 ${\displaystyle C\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$${\displaystyle C\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$

係数を持つ方程式と不等式の有限集合は可算個しかありません。それらの列挙を固定します。次のようにして群を帰納的に定義します。 ${\displaystyle C\ }$${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},\dots \ }$${\displaystyle D_{0},D_{1},D_{2},\dots \ }$

${\displaystyle D_{0}=C\ }$

${\displaystyle D_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}D_{i}\ &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{is not consistent with}}\ D_{i}\\\langle D_{i},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\rangle &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{has a solution in}}\ H\supseteq D_{i}\ {\mbox{with}}\ x_{j}\mapsto h_{j}\ 1\leq j\leq n\end{matrix}}\right.}$

さて、次のようになります。

${\displaystyle C_{1}=\cup _{i=0}^{\infty }D_{i}}$

ここで、この構築を繰り返してグループのシーケンスを取得し、次のようにします。 ${\displaystyle C=C_{0},C_{1},C_{2},\dots \ }$

${\displaystyle A=\cup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$

すると、 はを含む可算群になります。 と一致する方程式と不等式の有限集合はいずれも、 の係数を持つ必要があり、したがって に解が必ず存在するため、 は代数的に閉じています。 ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle C\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle C_{i}\ }$${\displaystyle C_{i+1}\ }$

• 代数的閉包
  • 代数的に閉じた体

• A. Macintyre: 代数的に閉じた群について、数学年報、96、53-97 (1972)
• BH ノイマン: 代数的に閉じた群に関するノート。J. ロンドン数学協会 27, 227-242 (1952)
• BH ノイマン: 代数的に閉じた群の同型性問題。Word Problems、pp 553–562。アムステルダム: North-Holland 1973
• WR スコット: 代数的に閉じた群。Proc. Amer. Math. Soc. 2, 118-121 (1951)