ギーゼキング多様体

数学において、ギーゼキング多様体は、有限体積の尖端双曲型 3 次元多様体です。向き付け不可能であり、非コンパクト双曲型多様体の中では体積が最小で、体積はおよそ です。これは、ヒューゴ・ギーゼキング (1912) によって発見されました。 ${\displaystyle V\approx 1.0149416}$

ギーゼキング多様体は、四面体から頂点を削除し、アフィン線型写像を使用して面をペアで接着することによって構築できます。頂点に 0、1、2、3 というラベルを付けます。頂点 0、1、2 の面を、頂点 3、1、0 の面にこの順序で接着します。面 0、2、3 を面 3、2、1 にこの順序で接着します。ギーゼキング多様体の双曲構造では、この理想的な四面体は、David BA Epsteinと Robert C. Penner による標準的な多面体分解です。さらに、面のなす角度は です。三角形分割には、1 つの四面体、2 つの面、1 つの辺があり、頂点はありません。そのため、元の四面体の辺はすべて接着されています。 ${\displaystyle \pi /3}$

ギーゼキング多様体は、8の字結び目の補集合に同相な二重被覆 を持つ。基礎となるコンパクト多様体はクラインの壺境界を持ち、ギーゼキング多様体の第1ホモロジー群は整数である。

ギーゼキング多様体は、ファイバーが一度穴を開けられたトーラスで、モノドロミーが次のように与えられる円上のファイバー束です。 このマップの正方形はアーノルドの猫のマップであり、これはギーゼキング多様体が 8 の字結び目の補集合によって二重に覆われていることを別の方法で示します。 ${\displaystyle (x,y)\to (x+y,x).}$

ギーゼキング多様体の体積はギーゼキング定数^[1]と呼ばれ、およそ次の数値を持ちます。

${\displaystyle V=1.01494\ 16064\ 09653\ 62502\ 12025\dots }$^[2]

これはクラウゼン関数の閉じた形式^[3]で次のように表すことができます。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(\varphi \right)}$

${\displaystyle V=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$

これはカタラン定数 に似ており、これも体積として現れ、クラウゼン関数で表現できます。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0.91596559\dots }$

別の閉じた形式の表現は、三ガンマ関数を使って表すことができます。

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{3}}\left({\frac {\psi _{1}(1/3)}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\right)}$

ギーゼキング定数の積分は次のように与えられる。

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi /3}\ln \left(2\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle V=2\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{\sqrt {(1-x)(3+x)}}}\mathrm {d} x}$

これらはクラウゼン関数の定義から導かれ、^[4]

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\ infty }{\frac {\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}{xyz(x+y+z+{\tfrac) {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}})^{2}}}}$

さらに別の表現は次のようになります。

${\displaystyle V={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}\right)}$

これにより、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}={\frac {2\pi ^{2}}{27} }+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}V}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}={\frac {2\pi ^{2}}{27} }-{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}V}$

これは次のようになります:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{16}} +{\frac {1}{2}}G}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k+3)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{16}} -{\frac {1}{2}}G}$

カタラン定数 の場合。 ${\displaystyle G}$

• 数学定数のリスト
• カタルーニャの定数

• Gieseking、Hugo (1912)、Analytische Untersuhungen uber Topologische Gruppen、論文、ミュンスター、JFM  43.0202.03
• アダムス、コリン C. (1987)、「最小体積の非コンパクト双曲 3 次元多様体」、アメリカ数学会紀要、100 (4): 601–606、doi :10.2307/2046691、ISSN  0002-9939、JSTOR  2046691、MR  0894423
• Epstein, David BA ; Penner, Robert C. (1988). 「非コンパクト双曲多様体のユークリッド分解」Journal of Differential Geometry . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310/jdg/1214441650 . MR  0918457.