ジョン・R・スタリングス

ジョン・R・スタリングス
2006年のスタリングスの写真
生まれる	( 1935-07-22 )1935年7月22日 モリルトン、アーカンソー州、米国
死亡	2008年11月24日(2008-11-24)（享年73歳） 米国カリフォルニア州バークレー
母校	アーカンソー大学 プリンストン大学
知られている	6 次元を超えるポアンカレ予想の証明、 群の端に関するスタリングスの定理、スタリングスのグラフとオートマトン
受賞歴	フランク・ネルソン・コール代数学賞(1971)
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	カリフォルニア大学バークレー校
博士課程の指導教員	ラルフ・フォックス
博士課程の学生	マーク・カラー スティーヴン ・M・ガーステン J・ハイアム・ルービンスタイン

ジョン・ロバート・スタリングス・ジュニア（1935年7月22日 - 2008年11月24日）は、幾何群論と3次元多様体位相幾何学への独創的な貢献で知られる数学者。スタリングスは、 1967年よりカリフォルニア大学バークレー校の数学科の名誉教授であった^{[1] 。 [1]彼は、主に}幾何群論と3次元多様体の位相幾何学の分野で50を超える論文を発表した。スタリングスの最も重要な貢献には、1960年の論文での6次元を超えるポアンカレ予想の証明と、1971年の論文での群の端に関するスタリングスの定理の証明がある。

ジョン・スタリングスは1935年7月22日、アーカンソー州モリルトンで生まれた。^[1]

スタリングスは1956年にアーカンソー大学で理学士号を取得し（同大学の優等生プログラムの最初の2人の卒業生の1人となった）^{[2] 、1959年に}プリンストン大学でラルフ・フォックスの指導の下で数学の博士号を取得した^[1]。

スタリングスは博士号を取得後、オックスフォード大学でNSFのポスドク研究員を務めたほか、プリンストン大学で講師や教授職に就くなど、ポスドクや教員のポストを数多く務めた。1967年にカリフォルニア大学バークレー校に教員として加わり、1994年に退職するまでその職にとどまった。^[1]退職後も、スタリングスは2005年までカリフォルニア大学バークレー校の大学院生を指導し続けた。^[3]スタリングスは1962年から1965年までアルフレッド・P・スローン研究員、1972年から1973年までミラー研究所研究員を務めた。 ^[1] スタリングスは、そのキャリアを通じて、マーク・カラー、スティーブン・M・ガーステン、J・ハイアム・ルビンスタインを含む22人の博士課程の学生と100人の博士号取得者の子孫を育てた。彼は主に幾何群論と3次元多様体の位相幾何学の分野で50本以上の論文を発表しました。

スタリングスは1970年にニースで開催された国際数学者会議で招待講演を行った^[4]。また1969年にはイェール大学でジェームズ・K・ウィットモア講演を行った^[5]。

スタリングスは1970年にアメリカ数学会からフランク・ネルソン・コール代数学賞を受賞した。 ^[6]

2000年5月にバークレーの数理科学研究所で開催された会議「群論の幾何学的および位相的側面」は、スタリングスの65歳の誕生日を記念して開催された。 ^{[7] 2002年には、ジャーナル}Geometriae Dedicata の特別号がスタリングスの65歳の誕生日を記念して発行された。^[8]スタリングスは2008年11月24日に前立腺癌で亡くなった。 ^{[3] [9]}

スタリングスの数学的貢献のほとんどは、幾何群論と低次元位相幾何学（特に3 次元多様体の位相幾何学）の分野と、これら 2 つの分野の相互作用に関するものです。

スタリングスの初期の重要な成果は、1960年に6次元を超えるポアンカレ予想を証明したことである^[10] 。（スタリングスの証明は、4次元を超える同じ結果を証明したスティーブン・スメールの別の証明^[11]とは独立して、その直後に得られたものである）。

スタリングスは、 n > 6の場合のポアンカレ予想の証明で使用したのと同様の「巻き込み」法を使用して、 nが 4 でない場合、通常のユークリッドn次元空間は一意の区分線形、したがって滑らかな構造を持つことを証明しました。1982 年のマイケル フリードマンとサイモン ドナルドソンの研究の結果として、4 次元空間にはエキゾチックな滑らかな構造、実際には無数の非同値な構造があることが示されたため、このことはさらに重要になりました。

1963 年の論文^[12]で、スタリングスは、無限生成 3 次元整ホモロジー群を持ち、しかも 型ではない、つまり有限 3 スケルトンを持つ分類空間を許容しない、有限に提示された群の例を構築しました。この例はスタリングス群と呼ばれるようになり、群のホモロジー的有限性特性の研究における重要な例です。ロバート・ビエリは後に^[13]、スタリングス群が、 の 3 つのコピーの直積から、 の 3 つのコピーの自由基数の選択から来る 6 つの要素に送る整数の加法群への準同型の核とまったく同じであることを示しました。ビエリはまた、スタリングス群が 型の群の例の列には当てはまるが 型の群の例の列には当てはまらないことも示しました。スタリングス群は、ムラデン・ベストヴィナとノエル・ブレイディによって開発された立方体複体の離散モース理論のバージョン^[14]と、極限群の直積の部分群の研究において重要な対象である。^{[15] [16] [17]}${\displaystyle F_{3}}$ ${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n+1}}$

群論におけるスタリングスの最も有名な定理は、複数の端を持つ（つまり、「無限遠で連結された成分が複数」を持つ）群の代数的特徴付けであり、現在では群の端に関するスタリングスの定理として知られています。スタリングスは、有限生成群 G が複数の端を持つ場合と、有限群上の融合自由積またはHNN 拡張として非自明な分割が許される場合（つまり、バス・セール理論の用語で言えば、有限のエッジ安定子を持つ木に対する非自明な作用が許される場合と、その場合とで同じ）に限ります。より正確には、定理は、有限生成群 G が複数の端を持つ場合と、G が融合自由積 として分割を許す場合（群C は有限であり、、、またはG がHNN 拡張（ただし、 はHの有限部分群）として分割を許す場合）に限り、その場合とで同じことを述べています。 ${\displaystyle G=A\ast _{C}B}$${\displaystyle C\neq A}$${\displaystyle C\neq B}$${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}Kt=L\rangle }$${\displaystyle K,L\leq H}$

スタリングスは、一連の研究でこの結果を証明した。最初は捩れのないケース（つまり、有限位数の非自明な元を持たない群）^[18]を扱い、次に一般の場合を扱った。^{[5] [19]スタリングスの定理は、コホモロジー次元が 1 である有限生成群をまさに}自由群として特徴付けるという長年の未解決問題に肯定的な解決をもたらした。^[20]群の端に関するスタリングスの定理は、群の幾何学的性質（複数の端を持つ）とその代数構造（有限部分群上での分割を許容する）を結び付けるため、幾何学的群論本来の最初の結果の 1 つと考えられている。スタリングスの定理は、他の数学者による多くの代替証明（例^{[21] [22]}）と多くの応用（例^[23]）を生み出した。この定理は、スタリングスの結果の他の文脈への一般化や相対的バージョンにも影響を与えた。例えば、群の部分群に対する相対的端の概念の研究などである^{[24] [25] [26] 。これには}CAT(0)立方体複体との関連も含まれる。^{[27]スタリングスの定理の多数の応用と一般化を特に議論した包括的な調査は、2003年の}CTC Wallの論文に記載されている。^[28]

スタリングスのもう一つの影響力のある論文は、1983年の論文「有限グラフの位相幾何学」である。^{[29]伝統的に、}自由群の部分群の代数構造は、シュライアー書き換え法やニールセン変換などの組合せ論的手法を用いた組合せ群論において研究されてきた。^[30]スタリングスの論文は、単純なグラフ理論的枠組みも使用した被覆空間理論の方法に基づく位相的アプローチを提唱した。この論文は、自由群の部分群を記述するための現在一般にスタリングス部分群グラフと呼ばれる概念を導入し、また折り畳み技法（部分群グラフを近似しアルゴリズム的に取得するために使用される）と現在スタリングス折り畳みとして知られる概念も導入した。自由群の部分群に関する古典的な結果のほとんどは、この設定で単純明快な証明を獲得し、スタリングスの方法は、代数的およびアルゴリズム的問題の両方を含む自由群の部分群構造を研究するための理論の標準的なツールになりました（^{[31]を参照）。特に、スタリングスの部分群グラフとスタリングス折り畳みは、}ハンナ・ノイマン予想に近づ​​くための多くの試みで重要なツールとして使用されてきました。^{[32] [33] [34] [35]}

スタリングス部分群グラフは有限状態オートマトンとして見ることもできる^{[31]。また、}半群論やコンピュータサイエンスにも応用されている^{[36] [37] [38] [39]}。

スタリングスの折り畳み法は一般化され、他の文脈、特にバス・セール理論において木に対する群作用の近似や群のグラフの基本群の部分群構造の研究に応用されてきた。この方向での最初の論文はスタリングス自身によって書かれ^{[40] 、その後、他の数学者によって}バス・セール理論の文脈でスタリングスの折り畳み法の一般化がいくつか行われた。^{[41] [42] [43] [44]}

スタリングスの1991年の論文「非正曲面群の三角形」^[45]は、三角形群の概念を導入し研究した。この概念は、アンドレ・ヘフリガー^{[46]ら[47 ]が開発した}群の複合体の理論（バス・セール理論の高次元版）の出発点となった。^[ 48]スタリングスの研究は、理論がうまく機能するためには、群の複合体に何らかの「非正曲率」条件を課すことの重要性を指摘した。このような制限は、バス・セール理論の1次元の場合には必要ではない。

スタリングスの3 次元多様体位相幾何学への貢献の中で最もよく知られているのはスタリングスのファイバ定理である。^[49]この定理は、M がコンパクト既約3 次元多様体で、その基本群に正規部分群が含まれ、この部分群が有限生成であり、この部分群による商群が無限巡回である場合、円上のM ファイバが存在することを述べている。これはハーケン多様体理論における重要な構造的結果であり、多くの代替証明、一般化、応用 (例^{[50] [51] [52] [53]} ) を生み出した。これには高次元の類似物も含まれる。^[54]

1965年のスタリングスの論文「ポアンカレ予想を証明しない方法」^[55]は、有名なポアンカレ予想を群論的に再定式化した。この論文はユーモラスな告白で始まった。「私はポアンカレ予想を誤って証明するという罪を犯しました。しかし、それは別の国でのことでした。それに、今まで誰もそのことを知りませんでした。」^{[1] [55]皮肉なタイトルにもかかわらず、スタリングスの論文は、}ポアンカレ予想の代数的側面を探るその後の研究の多くに影響を与えた（例えば、^{[56] [57] [58] [59]}を参照）。

スタリングスは言語にも興味があり、人工言語であるインターリングアで数少ない数学の研究論文を執筆した。^{[60] [61]}

• スタリングス、ジョン R. (1960)、「多面体ホモトピー球」、アメリカ数学会誌、66 (6): 485–488、doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10511-3、MR  0124905
• スタリングス、ジョン R.; ゼーマン、EC (1962)、「ユークリッド空間の区分線形構造」、ケンブリッジ哲学協会紀要、58 (3): 481–488、Bibcode :1962PCPS...58..481S、doi :10.1017/S0305004100036756、MR  0149457、S2CID  120418488
• Stallings, John R. (1962)、「特定の 3 次元多様体のファイバー化について」、3 次元多様体のトポロジーと関連トピック (Proc. The Univ. of Georgia Institute、1961)、Prentice Hall、pp. 95–100、MR  0158375
• スタリングス、ジョン R. (1965)、「ホモロジーおよび群の中心級数」、代数ジャーナル、2 (2): 170–181、doi :10.1016/0021-8693(65)90017-7、MR  0175956
• スタリングス、ジョン (1963)、「3 次元積分ホモロジーが有限生成でない有限生成群」、アメリカ数学ジャーナル、85 (4)、ジョンズホプキンス大学出版局: 541–543、doi :10.2307/2373106、JSTOR  2373106、MR  0158917
• スタリングス、ジョン R. (1968)、「無限に多くの端を持つ捩れのない群について」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、88 (2)、Annals of Mathematics: 312–334、doi :10.2307/1970577、JSTOR  1970577、MR  0228573
• スタリングス、ジョン・R.（1971）、群論と3次元多様体、イェール大学出版局、ISBN 978-0-300-01397-9、MR  0415622
• Stallings, John R. (1978)、「ファイバー結び目とリンクの構築」、代数的および幾何学的位相幾何学 (Proc. Sympos. Pure Math.、スタンフォード大学、スタンフォード、カリフォルニア州、1976)、第 2 部、Proc. Sympos. Pure Math.、XXXII、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 55–60、MR  05205​​22
• Stallings, John R. (1983)、「有限グラフのトポロジー」、Inventiones Mathematicae、71 (3): 551–565、Bibcode :1983InMat..71..551S、doi :10.1007/BF02095993、MR  0695906、S2CID  16643207、最近の引用は100件以上
• Stallings, John R. (1991)、「Folding G -trees」、Arboreal group theory (Berkeley, CA, 1988)、Mathematical Sciences Research Institute Publications、vol. 19、ニューヨーク: Springer、pp. 355–368、doi :10.1007/978-1-4612-3142-4_14、ISBN 978-0-387-97518-4、MR  1105341
• Stallings, John R. (1991)、「非正曲面三角形のグループ」、幾何学的観点からのグループ理論 (Trieste, 1990)、ニュージャージー州リバーエッジ: World Scientific、pp. 491–903、ISBN 978-981-02-0442-6、MR  1170374

• 数学系譜プロジェクトのジョン・R・スタリングス
• John Stallings のホームページ。
• ジョン・スタリングスを偲んで、アメリカ数学会報、第56巻（2009年）、第11号、1410～1417頁