スペースチャージ

異種電荷とは、空間電荷の極性が隣接する電極の極性と逆であることを意味し、同種電荷はその逆の状況を指します。高電圧印加時、電極近傍の異種電荷は絶縁破壊電圧を低下させる一方、同種電荷は絶縁破壊電圧を上昇させると予想されます。交流条件下で極性を反転させた後、同種電荷は異種空間電荷に変換されます。

真空ダイオードに適用される空間電荷制限電流のチャイルドの法則は、一般的に単一キャリアデバイスの半導体/絶縁体には適用されず、モット・ガーニーの法則に置き換えられます。厚さの薄いスラブ材料の場合${\displaystyle L}$2 つの選択的オーム接点に挟まれた電流密度は、${\displaystyle J}$スラブを流れる流量は次のように表されます。^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle J={\frac {9}{8}}\varepsilon \mu {\frac {V^{2}}{L^{3}}},}$$ どこ${\displaystyle V}$はスラブに印加された電圧であり、${\displaystyle \varepsilon }$は固体の誘電率です。モット・ガーニーの法則は、真性半導体における電荷輸送に関する重要な洞察を提供します。すなわち、金属や高濃度ドープ半導体における電荷輸送で期待されるように、ドリフト電流が印加電圧に比例して増加する（オームの法則から）とは期待すべきではないということです。モット・ガーニーの法則における唯一の未知量は電荷キャリア移動度であるため、${\displaystyle \mu }$この式は、真性半導体における電荷輸送の特性評価によく用いられます。しかしながら、欠陥や非オーム接触を含む半導体、あるいはアモルファス半導体の特性評価にモット・ガーニーの法則を用いる場合は、電流の大きさや電圧に対するべき乗則依存性に大きなずれが生じるため、注意が必要です。このような場合、モット・ガーニーの法則は特性評価にそのまま適用することはできず、欠陥や非理想的な注入を考慮できる他の式を用いる必要があります。

モット・ガーニーの法則を導出する際には、以下の仮定を置く必要がある。

1. 存在する電荷キャリアは1種類のみであり、すなわち電子または正孔のみである。
2. この材料自体は本来導電性を持たないが、一方の電極から電荷が注入され、もう一方の電極によって捕捉される。
3. キャリア移動度、${\displaystyle \mu }$誘電率、${\displaystyle \varepsilon }$はサンプル全体を通して一定である。
4. 電流の流れは、トラップやエネルギー的な不規則性によって制限されない。
5. 現在の状況は、主にドーピングによるものではない。
6. 電荷注入電極における電界はゼロであるため、電流はドリフトのみによって支配される。

導出

厚さの結晶を考えてみましょう${\displaystyle L}$電流を流す${\displaystyle J}$。 させて${\displaystyle E(x)}$距離 における電場${\displaystyle x}$表面から、そして${\displaystyle n(x)}$単位体積あたりの電子数。すると、電流はドリフトによるものと拡散によるものの2つの寄与から構成される。 $${\displaystyle J=en{\mu }E-De{\frac {dn}{dx}},}$$

いつ${\displaystyle {\mu }}$電子の移動度と${\displaystyle D}$拡散係数。ラプラス方程式は、場に対して次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {dE}{dx}}=e{\frac {n}{\varepsilon }}.}$$

したがって、${\displaystyle n}$、 我々は持っています： $${\displaystyle J={\varepsilon }{\mu }E{\frac {dE}{dx}}-\varepsilon D{\frac {d^{2}E}{dx^{2}}}.}$$

積分後、アインシュタインの関係式を利用し、${\textstyle {\frac {dE}{dx}}}$電場に関して得られる項は次のとおりです。 $${\displaystyle E={\sqrt {{\frac {2J}{\varepsilon \mu }}(x+x_{0})}},}$$ どこ${\displaystyle x_{0}}$は定数です。${\textstyle {\frac {dE}{dx}}}$用語は、私たちが想定しているからです${\textstyle {\frac {dE}{dx}}\sim {\frac {E}{L}}}$そして${\textstyle KT{\frac {dE}{dx}}\ll eE^{2}}$。

以来、${\displaystyle x=0}$、${\displaystyle n=n_{0}}$、 我々は持っています：

したがって、結晶全体の電位降下は次のようになる。

( ⁎ ) と ( ⁎⁎ )を利用すると、次のように書ける。${\displaystyle J}$に関しては${\displaystyle V}$小規模向け${\displaystyle V}$、${\displaystyle J}$小さくて${\displaystyle x_{0}\ll L}$、 となることによって：

したがって、電流は の二乗に比例して増加する。${\displaystyle V}$大規模な場合${\displaystyle V}$、${\displaystyle x_{0}\gg L}$そして、以下の結果が得られます。 $${\displaystyle J={\frac {1}{2}}{\frac {e\mu n_{0}V}{L}}.}$$

応用例として、電荷キャリア移動度1500  cm² /Vs、比誘電率11.9、面積10⁻⁸ ^cm²、厚^さ10⁻⁴ cmの真性シリコン片を流れる定常状態の空間電荷制限電流は、オンライン計算機を用いて³ Vで126.4 μAと計算できます。この計算が正確であるためには、上記のすべての条件を満たす必要があることに注意してください。    

電子/正孔輸送が伝導帯/価電子帯端から伸びる指数関数的な尾部の形をしたトラップ状態によって制限される場合、 $${\displaystyle n_{\mathrm {t} }={\frac {N_{\mathrm {t} }}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }}}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }}}\right),}$$ ドリフト電流密度はマーク・ヘルフレッヒ方程式によって与えられる^{[ 10 ]}$${\displaystyle J=q^{1-\ell }{\mu }{N_{\mathrm {eff} }}\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}\ell }{N_{\mathrm {t} }(\ell +1)}}\right)^{\ell }\left({\frac {2\ell +1}{\ell +1}}\right)^{\ell +1}{\frac {{V}^{\ell +1}}{{L}^{2\ell +1}}}}$$ どこ${\displaystyle q}$は基本電荷です。${\displaystyle \ell =k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }/k_{\mathrm {B} }T}$と${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$熱エネルギーであるため、${\displaystyle N_{\mathrm {eff} }}$は半導体中の電荷キャリアタイプの有効状態密度、すなわち、${\displaystyle E_{\mathrm {C} }}$または${\displaystyle E_{\mathrm {V} }}$、 そして${\displaystyle N_{\mathrm {t} }}$はトラップ密度です。

単一キャリアデバイスに非常に小さな印加バイアスが印加される場合、電流は次のように表されます。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle J=4{\pi }^{2}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{q}}\mu \varepsilon {\frac {V}{L^{3}}}.}$$

低電圧領域における電流を表す方程式は、モット・ガーニーの法則と同じ厚さスケーリングに従うことに注意してください。${\displaystyle L^{-3}}$しかし、印加電圧に比例して直線的に増加する。

半導体に非常に大きな電圧を印加すると、電流は飽和領域に移行する可能性がある。

速度飽和領域では、この方程式は次の形式をとる。 $${\displaystyle J=2\varepsilon v{\frac {V}{L^{2}}}}$$

異なる依存性に注目してください${\displaystyle J}$の上${\displaystyle V}$モット・ガーニーの法則と、速度飽和領域における電流を記述する方程式との間の関係。弾道流の場合（衝突がないと仮定）、モット・ガーニーの方程式は、より一般的なチャイルド・ラングミュアの法則の形をとる。

電荷キャリア飽和領域では、試料を流れる電流は次式で与えられる。 $${\displaystyle J=q\mu N_{\mathrm {eff} }{\frac {V}{L}}}$$ どこ${\displaystyle N_{\mathrm {eff} }}$は、半導体中の電荷キャリアタイプの有効状態密度である。