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実数の集合x 1 , x 2 , ..., x nの間の整数関係は、すべてが 0 ではない整数の集合a 1 , a 2 , ..., a nであり、
整数関係アルゴリズムは、整数関係を見つけるためのアルゴリズムです。具体的には、与えられた精度で既知の実数の集合が与えられた場合、整数関係アルゴリズムは、それらの間の整数関係を見つけるか、または係数の大きさが特定の上限より小さい整数関係が存在しないことを判定します。[ 1 ]
n = 2の場合、ユークリッドの互除法の拡張により、任意の2 つの実数x 1とx 2の間に存在する整数関係を見つけることができます。このアルゴリズムは、 x 1 / x 2の連分数展開の連続する項を生成します。数値間に整数関係が存在する場合、それらの比は有理数となり、アルゴリズムは最終的に終了します。
整数関係アルゴリズムには数多くの応用例があります。最初の応用例は、与えられた実数x が代数的である可能性が高いかどうかを、 xのべき乗の集合{1, x , x 2 , ..., x n } の間の整数関係を探すことによって判定することです。2番目の応用例は、実数xと、 e、π 、ln(2)などの数学定数の集合の間の整数関係を探すことで、これらの定数の線形結合としてxを表す式を導き出すことです。
実験数学における典型的なアプローチは、数値計算法と任意精度演算を用いて、無限級数、無限積、または積分の近似値を高精度（通常は少なくとも100桁の有効数字）で求め、次に整数関係アルゴリズムを用いて、この値と一連の数学定数との間の整数関係を探索することです。整数関係が見つかれば、元の級数、積、または積分の閉形式表現の可能性が示唆されます。この推測は、形式的な代数的手法によって検証できます。アルゴリズムへの入力値の精度が高ければ高いほど、見つかった整数関係が単なる数値的なアーティファクトではないという確信度が高まります。
このアプローチの注目すべき成功例は、PSLQ アルゴリズムを使用して、πの値のBailey–Borwein–Plouffe 公式につながる整数関係を見つけたことです。PSLQ はまた、複数のゼータ関数と量子場理論におけるそれらの出現を含む新しい恒等式の発見、およびロジスティック写像の分岐点の特定にも役立っています。たとえば、B 4がロジスティック写像の 4 番目の分岐点である場合、定数α = − B 4 ( B 4 − 2) は、最大係数が 257 30である 120 次多項式の根です。[ 14 ] [ 15 ]整数関係アルゴリズムは、逆記号計算機やPlouffe のインバータなどのアプリケーションで、高精度の数学定数のテーブルやヒューリスティックな探索方法と組み合わせて使用されます。
