ダベンポート連鎖回転

物理学と工学において、ダベンポート連鎖回転は、物体に固定された特定の軸を中心とした3つの連鎖した固有回転である。オイラー回転とテイト・ブライアン回転は、ダベンポートの一般回転分解の特殊なケースである。回転角は、回転を3つのシーケンスに分解する一般的な問題がポール・B・ダベンポートによって最初に研究されたため、ダベンポート角と呼ばれている。^[1]

非直交回転座標系は、剛体にしっかりと固定されていると想像できます。この場合、ローカル座標系と呼ばれることもあります。回転軸が移動体と一体であることを考えると、一般化された回転は 2 つのグループに分けられます (ここで、x、y、zは非直交移動フレームを指します)。

一般化オイラー回転

( zxz、xyx、yzy、zyz、xzx、yxy )

一般化されたテイト・ブライアン回転

( xyz、yzx、zxy、xzy、zyx、yxz )。

一般化オイラー回転は第 1 軸と第 3 軸が重なり合う退化したケースであるため、ほとんどのケースは 2 番目のグループに属します。

回転を固有軸の周りの3つの合成運動に分解する一般的な問題は、P.ダベンポートによって「一般化オイラー角」という名前で研究されましたが、後にこれらの角度はM.シュスターとL.マークリーによって「ダベンポート角」と名付けられました。^[2]

一般的な問題は、3つの既知の軸が与えられた場合の回転の行列分解を求めることです。場合によっては、軸の1つが重複します。この問題は行列の分解問題と同等です。^[3]

ダベンポートは、非直交軸を使用して 3 つの基本回転を組み合わせることで、任意の方向を実現できることを証明しました。基本回転は、固定座標系の軸を中心に発生する場合 (外部回転) と、最初は固定座標系に揃えられ、基本回転ごとに方向が変化する回転座標系の軸を中心に発生する場合 (内部回転) があります。

ダベンポートの定理によれば、2番目の軸が他の2つの軸に垂直である場合にのみ、一意の分解が可能です。したがって、軸1と3は軸2に直交する平面上になければなりません。^[2]

したがって、オイラー連鎖回転とテイト・ブライアン連鎖回転における分解は、この特殊なケースです。テイト・ブライアンの場合は、軸 1 と 3 が垂直である場合に発生し、オイラーの場合は、軸 1 と 3 が重なり合っている場合に発生します。

ダベンポート回転の集合は、合成によって空間の任意の回転を生成するのに十分である場合、完全であると言われます。行列の用語で言えば、行列式が +1 である空間の任意の正規直交行列を生成できる場合、それは完全です。行列積の非可換性のため、回転システムは順序付けられる必要があります。

場合によっては、根本的な問題の幾何学的形状によって順序が強制されます。たとえば、特別な軸が「前方」方向を指している車両に使用する場合、6 つの回転の組み合わせのうち 1 つだけが役立ちます。興味深い構成は、航空機の方向と仰角をそれぞれ 1 つの独立した回転で制御できる構成です。

隣の図では、ヨー、ピッチ、ロール (YPR) 構成により、最初の 2 つの角度で航空機の方向を調整できます。YRP などの別の構成では、翼軸の方向を確立できますが、ほとんどの場合、明らかに役に立ちません。

テイト・ブライアン回転は、第 1 軸と第 3 軸が互いに直交する特殊なケースです。図 2 のような規則を持つ参照フレーム ⟨ x、y、z ⟩と、図 3 [データ欠落]のような⟨ ヨー、ピッチ、ロール⟩軸を持つ平面を最初に平面⟨ x、y⟩上に水平に置き、ヨー、ピッチ、ロール軸で (この順序で) 固有回転 Y、P、R を実行した後、図 4 [データ欠落]に似たものが得られます。

はじめに：

• 平面ロール軸は参照フレームの軸x上にある
• 平面ピッチ軸は参照フレームのy軸上にある
• 平面ヨー軸は参照フレームのZ軸上にある

回転は、ヨー、ピッチ、ロールの順に適用されます。これらの条件では、方向（水平面上の角度）は適用されたヨーと等しくなり、仰角はピッチと等しくなります。

3 次元における 3 つの Tait-Bryan 回転の行列式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {ピッチ} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z }(\psi )=\mathrm {ヨー} (\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

合成回転行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {ヨー} (\psi )\,\mathrm {ピッチ} (\theta )\,\mathrm {ロール} (\phi )\\&=R_{z} (\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}$

ヨー、ピッチ、ロールの 6 つの可能な組み合わせのうち、この組み合わせは、方向 (ロール軸の方向) が回転の 1 つ (ヨー) に等しく、仰角 (ロール軸と水平面の角度) が回転のもう 1 つ (ピッチ) に等しい唯一の組み合わせです。

オイラー回転は、回転の 1 番目と 3 番目の軸が重なり合う特殊なケースとして現れます。これらのオイラー回転は、惑星などの剛体の動きを研究するために考えられた、適切なオイラー角に関連しています。ロール軸の方向を定義する角度は、通常、「方向」ではなく「公転軸の経度」または「ノードのラインの経度」と呼ばれますが、惑星の場合は意味がありません。

いずれにせよ、オイラー回転は車両について話すときにも使用できますが、奇妙な動作になります。垂直軸が角度の原点であるため、「仰角」ではなく「傾斜」と呼ばれます。以前と同様に、車両の姿勢を説明する場合、前方を指すと考えられる軸があるため、回転の可能な組み合わせのうち 1 つだけが役立ちます。

組み合わせは、軸の取り方と平面の初期位置によって異なります。図の 1 つを使用し、軸が繰り返されるように回転を組み合わせると、ロール、ピッチ、ロールのみで、経度と傾斜をそれぞれ 1 回の回転で制御できます。

乗算する 3 つの行列は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {ピッチ} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z }(\psi )=\mathrm {ロール} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

この規則では、ロール_{1 は}「方向」を課し、ピッチは「傾斜」（仰角の補完）であり、ロール_{2 は}「傾斜」を課します。

ダベンポート回転は、移動する物体に固定された軸の重要性のため、通常は固有の回転構成として研究されますが、より直感的になる可能性がある場合は、外部回転構成に変換できます。

外在的回転は、同じ角度で要素回転の順序が逆の内在的回転と等価であり、その逆も同様である。例えば、角度α、β、γによる内在的回転x-y'-z''は、角度γ、β、αによる外在的回転zyxと等価である。どちらも行列で表される。

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

ここで、、、は対応する角度の基本回転行列です。これらの行列の積、は、列ベクトルに対して事前に乗算する必要があります。一部の定義では行ベクトルが使用される可能性があるため、回転行列の定義の曖昧さに注意してください。 ${\displaystyle X(\alpha )}$${\displaystyle Y(\beta )}$${\displaystyle Z(\gamma )}$${\displaystyle R}$

固有回転は、回転座標系XYZの軸を中心に発生する基本的な回転で、各基本的な回転の後に方向が変わります。XYZ系は回転しますが、xyzは固定されています。XYZ がxyzと重なる状態から始めて、3 つの固有回転の組み合わせを使用して、XYZの任意のターゲット方向に到達できます。 オイラー角またはテイトブライアン角 ( α、β、γ ) は、これらの基本的な回転の振幅です。たとえば、ターゲット方向は次のようにして到達できます。

• XYZシステムは、Z軸 ( z軸と一致)を中心にα回転します。X軸は、ノードのライン上に配置されます。
• XYZシステムは、回転したX軸を中心にβ回転します。Z軸は最終的な方向になり、X軸はノードのライン上に残ります。
• XYZシステムは、新しいZ軸を中心にγだけ 3 回目に回転します。

上記の表記法を使用すると、次のようにまとめることができます。XYZ システムの 3 つの基本的な回転は、z、x ' 、z ″ を中心に発生します。実際、このシーケンスはz-x'-z″と表記されることがよくあります。適切なオイラー角とテイトブライアン角の両方に関連付けられた回転軸のセットは、通常、この表記法を使用して命名されます (詳細については上記を参照)。同じシーケンスが単にzxz、ZXZ、または3-1-3と呼ばれることもありますが、この表記法は、外部回転に使用される表記法と同じである可能性があるため、あいまいになる可能性があります。この場合、回転が内部回転か外部回転かを個別に指定する必要があります。

回転行列は、一連の固有の回転を表すために使用できます。たとえば、

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

列ベクトルを事前に乗算するために使用する場合、軸x-y'-z'' の周りの固有の回転の合成を表します。これは標準的な方法ですが、回転行列の定義の曖昧さに注意してください。

外在的回転は、固定座標系xyzの軸を中心に発生する基本的な回転です。XYZ系は回転しますが、xyzは固定です。XYZ がxyzと重なる状態から始めて、3 つの外在的回転の組み合わせを使用して、 XYZの任意のターゲット方向に到達できます。 オイラー角またはテイトブライアン角 ( α、β、γ ) は、これらの基本的な回転の振幅です。たとえば、ターゲット方向は次のようにして到達できます。

• XYZシステムはz軸を中心にα回転します。X軸はx軸に対して角度αになります。
• XYZシステムはx軸を中心にβだけ再び回転します。Z 軸は、z軸に対して角度 β になります。
• XYZシステムはz軸を中心にγだけ3 回目に回転します。

まとめると、3 つの基本的な回転は、 z、x、zを中心に発生します。実際、このシーケンスはzxz (または 3-1-3) と表記されることがよくあります。適切なオイラー角とテイト・ブライアン角の両方に関連付けられた回転軸のセットは、通常、この表記法を使用して命名されます (詳細については上記を参照)。

回転行列は、外在的回転のシーケンスを表すために使用できます。たとえば、

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

列ベクトルを事前に乗算するために使用する場合、軸xyz を中心とした外部回転の合成を表します。これは標準的な方法ですが、回転行列の定義のあいまいさに注意してください。

外在的回転は、同じ角度で要素回転の順序が逆の内在的回転と等価であり、その逆も同様である。例えば、角度α、β、γによる内在的回転x-y'-z''は、角度γ、β、αによる外在的回転zyxと等価である。どちらも行列で表される。

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

列ベクトルを事前に乗算するために使用されます。これは標準的な方法ですが、回転行列の定義の曖昧さに注意してください。 ${\displaystyle R}$

固有回転シーケンスx-y'-z''の回転行列は、右から左への連続的な固有要素回転によって取得できます。

${\displaystyle R=Z''Y'X.}$

このプロセスでは、固有の回転シーケンスに関連する 3 つのフレームがあります。フレーム 0 を初期フレーム、フレーム 1 をx 軸の周りの最初の回転後、フレーム 2 をy'軸の周りの 2 番目の回転後、フレーム 3 をz'' 軸の周りの 3 番目の回転として表します。

これら 3 つのフレーム間で回転行列を表現できるため、左肩のインデックスを使用して表現フレームを示します。次の表記は、フレームa をフレームbに変換し、フレームcで表現される回転行列を意味します 。

${\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}$

回転が発生するフレームで表された固有要素回転行列は、対応する外部要素回転行列と同じ値を持ちます。

${\displaystyle {}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.}$

フレーム0で表される 固有要素回転行列Y'とZ''は、他の形式で表現することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aligned}}}$

上記の 2 つの式を最初の式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}}$

したがって、固有要素回転シーケンスの回転行列は、逆外部要素回転シーケンスの回転行列と同じです。

${\displaystyle R=Z''Y'X=XYZ.}$

• 行列分解
• ギブンズローテーション