軸角度表現

数学において、軸-角度表現は、3次元ユークリッド空間における回転を2つの量、つまり回転軸の方向を示す単位ベクトルeと、軸の周りの回転の大きさと向き（たとえば、時計回り）を表す回転角θによってパラメータ化します。原点を根とする単位ベクトルeの方向を定義するには、3つではなく2つの数値だけが必要です。これは、 eの大きさが制約されているためです。たとえば、eの仰角と方位角は、特定の直交座標系で e を配置するのに十分です。

ロドリゲスの回転公式によれば、角度と軸は 3 次元ベクトルを回転させる変換を決定します。回転は右手の法則で規定される方向に発生します。

回転軸はオイラー軸と呼ばれることもあります。軸と角度の表現はオイラーの回転定理に基づいており、3 次元空間における剛体のあらゆる回転または回転シーケンスは、単一の固定軸を中心とした純粋な回転と同等であると規定しています。

これは3 次元における多くの回転形式のうちの 1 つです。

軸と角度の表現は、より簡潔な回転ベクトルと同等であり、オイラー ベクトルとも呼ばれます (オイラー角のベクトル と混同しないでください)。この場合、回転軸と角度の両方が、回転軸と共方向のベクトルで表され、その長さは回転角θです。 これは、この表現を含む指数マップと対数マップ に使用されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

多くの回転ベクトルが同じ回転に対応します。特に、任意の整数Mについて、長さθ + 2 πMの回転ベクトルは、長さθの回転ベクトルとまったく同じ回転をエンコードします。したがって、任意の回転に対応する回転ベクトルの数は少なくとも可算無限大です。さらに、2 πMによるすべての回転は、まったく回転しない場合と同じであるため、特定の整数Mについて、すべての方向の長さ2 πMのすべての回転ベクトルは、ゼロベクトルと同じ回転をエンコードする 2 パラメータの可算無限大の回転ベクトルを構成します。指数写像を反転する場合、つまり、特定の回転行列に対応する回転ベクトルを見つける場合は、これらの事実を考慮する必要があります。指数写像は全射ですが、 1対1ではありません。

地面に立っていて、重力の方向を負のZ方向に選択したとします。次に左を向くと、回転します。-π/2⁠ -z軸を中心にラジアン（または-90°）です。軸角度表現を順序付きペアとして見ると、これは $${\displaystyle (\mathrm {軸} 、\mathrm {角度} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

上記の例は、大きさが⁠の回転ベクトルとして表すことができます。π/2⁠ Z方向を指し、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

軸角度表現は、剛体力学を扱うときに便利です。回転を特徴付けるだけでなく、同次変換^{[説明が必要]}やねじれ など、剛体運動の異なる表現間の変換にも役立ちます。

剛体が固定軸を中心に回転する場合、その軸角度データは一定の回転軸と、時間に連続的に依存する回転角度になります。

3 つの固有値 1 とe ^{± iθ}およびそれらに関連する直交軸を直交座標でマーサーの定理に代入すると、3 次元の回転行列の直交座標表現を簡単に構築できます。

ロドリゲスの回転公式は、オリンデ・ロドリゲスにちなんで名付けられ、回転軸と回転角度が与えられた場合にユークリッドベクトルを回転させる効率的なアルゴリズムです。言い換えれば、ロドリゲスの公式は、完全な行列指数を計算することなく、からSO(3)への指数写像を計算するアルゴリズムを提供します。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

vがR ³のベクトルで、eが原点を根とする単位ベクトルで、その回転軸を中心にv が角度θ回転する場合、回転ベクトルを求めるロドリゲスの回転公式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \シータ )(\mathbf {e} \times (\mathbf {e} \times \mathbf {v} ))\,.}$$

単一のベクトルを回転させる場合、eとθ を回転行列に変換してベクトルを回転させる方が効率的である可能性があります。

回転を表現する方法はいくつかあります。異なる表現が互いにどのように関連しているか、またそれらをどのように変換するかを理解しておくと役に立ちます。ここでは、単位ベクトルはeではなくωで表されます。

指数写像は回転の軸角度表現から回転行列への変換を行う。 $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

本質的には、テイラー展開を使用することで、これら2つの表現の間に閉じた形式の関係を導出する。単位回転軸を表す単位ベクトルと角度θ ∈ Rが与えられると、同等の回転行列R は次のように与えられる。ここで、K はωの外積行列であり、すべてのベクトルv ∈ R ^{3に対して}Kv = ω × v である。 ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

K は歪対称で、対角線上の要素の二乗の合計は 1 なので、Kの特性多項式 P ( t )はP ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t )です。ケーリー・ハミルトンの定理により、P ( K ) = 0 なので、次の式が成り立ちます。 その 結果、K ⁴ = – K ²、K ⁵ = K、K ⁶ = K ²、K ⁷ = – Kとなります。 $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

この循環パターンは無限に続くため、Kのより高いべき乗はすべてKとK ²で表すことができます。したがって、上記の式から、次の式が得られます 。 $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$$${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

三角関数のテイラー級数公式によって。

これはリー代数的な導出であり、ロドリゲスの回転公式^[1]の幾何学的な導出とは対照的である。

上述の指数写像の存在により、回転軸を表す単位ベクトルωと角度θ は、回転行列Rの指数座標と呼ばれることもあります。

Kは、回転軸ωとの外積を実行する3×3行列を表すことにします。以下では、 すべてのベクトルvについて、 K ( v ) = ω × vとなります。

回転行列の軸と角度の表現を取得するには、回転行列のトレースから回転角度を計算し、 それを使用して正規化された軸を見つけます。 $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

ここで、は回転行列の- 行- 列目の成分です。 ${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

軸角度の表現は一意ではありません。約の回転は の回転と同じだからです。 ${\displaystyle -\theta }$${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

上記の軸ベクトルの計算は、Rが対称の場合は機能しません。一般的なケースでは、 はRIのヌル空間を使用して見つけることができます。回転行列#軸の決定を参照してください。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

回転行列Rの行列対数は $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

R の固有値が−1に等しい場合は例外が発生します。この場合、対数は一意ではありません。ただし、 θ = πの場合でも、対数の フロベニウスノルムは 回転行列AとBを考えると、 回転行列の 3D 多様体上の測地線距離になります。 $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$$${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

回転が小さい場合、θ → 0のときに arccos の導関数が無限大になるため、上記のθの計算は数値的に不正確になる可能性があります。その場合、小さな角度ではR ≈ I + θ Kであるため、軸外項の方がθに関するよりよい情報を提供します。(これは、これらがexp( θ K )のテイラー級数の最初の 2 つの項であるためです。)

この定式化には、 θ = πのときに数値的な問題もあります。このとき、軸外項は回転軸に関する情報を与えません（回転軸は符号のあいまいさを除いて依然として定義されています）。その場合、上記の式を再検討する必要があります。

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$θ = π のとき、となり 、 B の対角項はωの要素の2乗となり、符号は（符号の曖昧さを除いて） Bの軸外項の符号から決定できます 。 $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$$${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

次の式は軸角度座標をベルソル（単位四元数）に変換します。 $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

スカラーrとベクトルvで表されるベルソルq = r + vが与えられた場合、軸角度座標は次のように抽出できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

回転角度のより数値的に安定した表現には、atan2関数を使用します。 ここで、| v |は3 ベクトルvのユークリッド ノルムです。 $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

• 同次座標
• 擬似ベクトル
• 行列なしの回転
• ねじ理論、ねじれ、ねじ、レンチの概念を使用して剛体の運動と速度を表現する