ベルトラミベクトル場

ベクトル解析において、ベルトラミベクトル場は、エウジェニオ・ベルトラミにちなんで名付けられた、自身の回転に平行な3次元のベクトル場である。つまり、Fは、次の条件を満たすベルトラミベクトル場である 。$${\displaystyle \mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

したがって、 と は平行ベクトルです。言い換えると、 です。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F} }$

がソレノイドである場合、つまり非圧縮性流体や磁場の場合、恒等式は となり、これは次の式に繋がり 、さらに が定数であると仮定すると、簡単な式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} }$$${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )}$$${\displaystyle \lambda}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .}$$

回転角がゼロでないベルトラミ ベクトル場は、3 次元の ユークリッド接触形式に対応します。

ベクトル場は 標準接触構造 − z i  +  j の倍数であり、ベルトラミベクトル場の例を提供します。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^ {2}}}}\mathbf {j} }$$ 

定数比例係数を持つベルトラミ場は、回転演算子の固有関数として作用するベクトル場の独特なカテゴリです。本質的には、ベルトラミ場は、（ユークリッド空間）または平坦なトーラス上の3 次元空間内の点を、同じ空間内の他の点にマッピングする関数です。数学的には、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$(ユークリッド空間の場合) または(平坦トーラスの場合)。 ${\displaystyle u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}}$

これらのベクトル場は、ベクトル場の回転と場自体の 間の特別な関係により、独特なものとなります。この関係は次の式で表すことができます。${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \times u=\lambda u}$

この式では、はゼロ以外の定数であり、ベクトル場の回転が場自体に比例することを示します。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle u}$

ベルトラミ場は流体力学に関連しており、3次元のオイラー方程式の定常解の古典的なファミリーを提供します。^[1]オイラー方程式は理想的な非圧縮性流体の運動を記述し、2つの方程式のシステムとして記述できます。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$ 速度場が時間とともに変化しない定常流れ、すなわち の場合、ベルヌーイ関数と渦度を導入することができます。これらの新しい変数により、オイラー方程式は次のシステムに簡略化されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$${\displaystyle B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}}$${\displaystyle \omega :=\nabla \times u}$

${\displaystyle {\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$この簡略化は、対流項を運動エネルギーの勾配と速度場とその回転の外積に 関連付けるベクトル恒等式 によって可能になります。${\displaystyle (u\cdot \nabla )u}$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)}$

ベルヌーイ関数が定数である場合、ベルトラミ場は簡略化されたオイラー方程式の有効な解になります。証明が機能するために比例係数が定数である必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle B}$

ベルトラミ場は、 VIアーノルドの定常オイラー流に関する研究で示されているように、ラグランジュ乱流と密接な関係があります。 ^{[2] [3]}

アーノルドの前述の著作からの引用は、ベルトラミ場の流線のおそらく複雑な位相を強調し、天体力学との類似点を描いています。

最も可能性が高いのは、トポロジのコンプライケに基づいて、腐りかけている状況です。専門家による合併症の解明。 Latopologie des lignes de courant des écoulements stationnaires des Fluides visqueux peut être semblable à celle de mécanique céleste. ${\displaystyle \nu =\lambda \nu }$${\displaystyle \lambda =Cte}$

最近の論文^[4]は、ベルトラミ場が複雑な位相の混沌とし​​た領域と不変トーラスを高い確率で示すことを示しています。解析には、ガウスランダムベルトラミ場の周期軌道に加えて、馬蹄形、ゼロ、結び目のある不変トーラスの数の漸近境界が含まれています。

• ベルトラミフロー
• 複素ラメラベクトル場
• 保存ベクトル場

• アリス、ラザフォード（1989）、ベクトル、テンソル、流体力学の基本方程式、ドーバー、ISBN 0-486-66110-5
• Lakhtakia、Akhlesh (1994)、キラルメディアのベルトラミ場、World Scientific、ISBN 981-02-1403-0
• Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000)、「接触トポロジーと流体力学。I. ベルトラミ場とザイフェルト予想」、非線形性、13 (2): 441–448、Bibcode :2000Nonli..13..441E、doi :10.1088/0951-7715/13/2/306。