平等（数学）

数学 において、等式とは、2つの量または式の関係であり、それらが同じ値を持つか、同じ数学的対象を表すことを示します。^[1] AとBの等式はA  =  Bと書かれ、「AイコールB」と発音されます。この等式では、AとBは左側（LHS）、右側（RHS ）と呼ばれて区別されます。等しくない2つのオブジェクトは異なると言われます。

のような式は、xとyが同じオブジェクトを表すことを意味します。^[2]例えば、 ${\displaystyle x=y,}$

${\displaystyle 1.5=3/2,}$

は同じ数を表す2つの表記法です。同様に、集合構築記法を使用すると、

${\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ および }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$

2つの集合は同じ要素を持つからです。（この等式は、しばしば「同じ要素を持つ2つの集合は等しい」と表現される外延性公理から生じます。 ^[3]）

等式の真偽は、そのメンバーの解釈によって決まります。上記の例では、メンバーが数値または集合として解釈される場合は等式は真ですが、メンバーが式または記号のシーケンスとして解釈される場合は偽になります。

のような恒等式は、 xを任意の数に置き換えた場合、2つの式が同じ値を取ることを意味します。これは、等号の両辺が同じ関数（関数の等式）を表している、または2つの式が同じ多項式（多項式の等式）を表していると解釈することもできます。^{[4] [5]}${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,}$

この単語はラテン語のaequālis（「等しい」「似た」「比較できる」「似た」）に由来しており、ラテン語のaequālis自体はaequus（「等しい」「水平」「公平」「正しい」）に由来している。^[6]

• 反射性: すべてのaに対して、 a = aが成り立ちます。
• 対称性: すべてのaとbについて、 a = bならば、 b = aです。
• 推移性：任意のa、 b、 cに対して、 a = bかつb = cならばa = cである。 ^{[7] [8]}
• 置換: 非公式には、これは単にa = bの場合、意味を変えずに任意の数式または公式でaを bに置き換えることができることを意味します例:
  
  • 実数 aとbが与えられ、a = bであれば、${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>0}$
• 演算の応用: 任意のaとbに対して、何らかの演算を施した とき、 a = bであれば、となる。 ^{[9] [a]}例えば: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$
  
  • 実数aとbが与えられ、a = bであれば、 です。 (ここで、は単項演算です)${\displaystyle 2a-5=2b-5}$${\displaystyle f(x)=2x-5}$
  • 正の実数 aとbが与えられている場合、 であれば となります。(ここではです。二項演算)${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$${\displaystyle a^{2}/b^{2}=2}$${\displaystyle f(x,y)=x/y^{2}}$${\displaystyle y=b}$
  • ある変数a上の実関数 ⁠ ⁠${\displaystyle g}$と⁠ ⁠${\displaystyle h}$が与えられた とき、ならば となります。(ここでは です。関数 (つまり演算子)上の演算は導関数と呼ばれます。) ^[b]${\displaystyle g(a)=h(a)}$${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}}}$

与えられた集合 の要素に制限される場合、最初の 3 つの特性により、等式は上の同値関係になります。実際、等式は上の同値類がすべてシングルトンである唯一の^{[引用が必要]}同値関係です。 上の演算が与えられると、最後の特性により、等式は 上の合同関係になります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

論理学では、述語は自由変数を持つことができる 命題です。等価性は述語であり、変数の値（存在する場合）によっては真となり、その他の値では偽となります。より具体的には、等価性は、その引数から真理値（真または偽）を生成することができる2 項関係（つまり、 2 つの引数の述語）です。コンピュータ プログラミングでは、等価性はブール値の式と呼ばれ、2 つの式から等価性を計算することを比較と呼びます。

参照:関係演算子 § 等価性

方程式とは、指定された等式が真となる未知数と呼ばれる変数の値を見つける問題です。方程式が成り立つ未知数の各値は、与えられた方程式の解と呼ばれ、方程式を満たすとも言われます。たとえば、方程式には値とが唯一の解としてあります。この用語は、複数の未知数を持つ方程式にも同様に使用されます。^[10]${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=5}$

方程式は集合を定義するために使用できます。たとえば、方程式のすべての解のペアの集合は解析幾何学における単位円を形成します。したがって、この方程式は単位円の方程式と呼ばれます 。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

参照:方程式の解法

恒等式は、与えられたドメインにおける変数のすべての値に対して真となる等式である。^[11]「等式」は恒等式を意味することもあるが、多くの場合、等式が真となる変数空間の部分集合を指定する。一例は、すべての実数に対して真である。等式と恒等式、または等式関係の他の用法を区別する標準的な表記法はない。表現の意味と文脈から適切な解釈を推測する必要がある。^{[12]恒等式は、常にではないが、} 3本のバーで表記されることがある。^[13]${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

数理論理学や数理哲学では、等式は次のような性質によって説明されることが多い。 ^{[14] [15] [16]}

${\displaystyle \forall a(a=a)}$

• 同一性の法則: それぞれのものは、制限なく、それ自体と同一であると述べる。つまり、あらゆる に対して 、である。これは、歴史的な3 つの思考法則の最初の法則である。${\displaystyle a}$${\displaystyle a=a}$

${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}$^[ハ]

• 置換特性:ライプニッツの法則とも呼ばれ、一般に 2 つのものが等しい場合、一方の性質は必ず他方の性質でもあると述べます。これは次のように正式に述べることができます。任意のaおよびb、および任意の式 (自由変数xを含む) について、であればが成り立ちます。${\displaystyle \phi (x),}$ ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \phi (a)}$ ${\displaystyle \phi (b)}$

例えば、すべての実数 aとbについて、a = bならば、a ≥ 0はb ≥ 0を意味します（ここで、x ≥ 0です）。 ${\displaystyle \phi (x)}$

これらの特性は、標準的なツェルメロ・フランケル集合論(ZFC) やその他の形式的基礎における等式の定義から形式的に再解釈するものである。ZFC では、等式は 2 つの集合が同じ要素を持つことを意味するだけである。しかし、集合論の外では、数学者は関心のある対象を集合として見なす傾向はない。例えば、多くの数学者は、「」という表現 (和集合を参照)は表記の乱用であり無意味であると言うだろう。これは、ZFC を基礎とすることができるより抽象的なフレームワーク(つまり、両方の公理はZFC 内だけでなく他のほとんどの形式的基礎内で証明できる) であるが、ほとんどの数学者が等式を使用する方法に近い。 ${\displaystyle 1\cup 2}$

ここで注意すべきは、「等式はこれら 2 つの特性を意味する」と言っているのであって、「これらの特性は等式を定義する」と言っているのではないということです。これは意図的なものです。これにより、等式の不完全な公理化になります。つまり、等式とは何かを述べているのではなく、「等式」が満たすべきものだけを述べています。しかし、述べられている 2 つの公理は、等式の不完全な公理化であっても、数学者が関心を持つ等式のほとんどの特性を推論するのに十分であるため、一般的に有用です。^[17] (次のサブセクションを参照)

これらの特性が等式の完全な公理化を定義する場合、つまり、等式を定義する場合は、 2 番目のステートメントの逆が真でなければなりません。置換特性の逆は、識別不能なものの同一性であり、2 つの異なるものがそのすべての特性を共有することはできないと述べています。数学では、数理論理学における識別不能なものは必ずしも禁止されていないため、識別不能なものの同一性は通常拒否されます。ZFC の集合等式は、これらの識別不能なものが等しくないと宣言できますが、これらの特性によってのみ定義される等式は等しくありません。したがって、これらの特性は、ZFC の集合等式よりも厳密に弱い等式の概念を形成します。純粋数学以外では、識別不能なものの同一性は、特に粒子哲学と量子力学から多くの論争と批判を集めています。^[18]これが、特性が完全な公理化を形成しないと言われる理由です。

ただし、識別不能なものを扱う場合を除き、等式の公理としてとられるこれらの特性は、ZFC で定義されている等式と同等です。

これらは、一階述語論理のいくつかの分野などでは平等の定義としてとらえられることがある。^[19]

• 等式の反射性:等式 ( ) によって誘導される関係Rを持つある集合Sが与えられ、 と仮定します。すると、同一性の法則により、 となります。${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle a=a}$${\displaystyle aRa}$

同一性の法則は、主に2つの点で反射性とは異なります。第一に、同一性の法則は等しい場合にのみ適用され、第二に、集合の要素に限定されないことです。しかし、多くの数学者は両方を「反射性」と呼んでいますが、これは一般的に無害です。^{[20] [d]}

• 等式の対称性:等式 ( ) によって誘導される関係Rを持つ集合Sが与えられ、となる要素があると仮定します。次に、式 を取ります。したがって、 となります仮定とにより、 となります。${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$${\displaystyle a,b\in S}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle \phi (x):xRa}$${\displaystyle (a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle aRa}$${\displaystyle bRa}$
• 等式の推移性:等式 ( ) によって誘導される関係Rを持つ集合Sが与えられ、および となる要素があると仮定します。次に、式 を取ります。したがって、 となります。対称性により、および仮定により、 となります。${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$${\displaystyle a,b,c\in S}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle \phi (x):xRc}$${\displaystyle (b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)}$${\displaystyle b=a}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc}$
• 関数の適用: ある関数 が与えられたとき、その定義域にa = bとなる要素aとbがあると仮定し、式 を取ります。したがって、 となります。仮定により、また反射性により、 となります。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x)}$
  ${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]}$
  ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=f(a)}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$

これは平等の公理に含まれることもありますが、上記のように他の 2 つの公理から推測できるため、必須ではありません。

等式の概念を持たない論理システムもいくつかあります。これは、整数、基本的な算術演算、対数、指数関数を含む式によって定義される2 つの実数の等式が決定不可能なことを反映しています。言い換えると、そのような等式を決定するアルゴリズムは存在し得ないということです (リチャードソンの定理を参照)。

実数または他のものの間の「ほぼ等しい」（記号で示される）という二項関係は、より正確に定義されたとしても、推移的ではありません（小さな違いが多数重なると大きな違いになる可能性があるため）。ただし、ほとんどすべての場合において、等式は推移的です。 ${\displaystyle \approx}$

検定対象の疑わしい等式は記号を使用して表されることがある。^[21]${\displaystyle {\stackrel {?}{=}}}$

関係として見ると、等式は、集合上の同値関係というより一般的な概念の原型です。同値関係とは、反射的、対称的、推移的な二項関係のことです。恒等関係は同値関係です。逆に、R を同値関係とし、x R zとなるすべての要素zで構成されるxの同値クラスをx R^で表します。すると、関係x R y は、等式x ^R  =  y ^Rと同値になります。したがって、等式は、同値クラスが最も小さい（すべてのクラスが単一の要素に縮小される）関係であるという意味で、 任意の集合S上の最も優れた同値関係になります。

いくつかの文脈では、等式は同値性や同型性と明確に区​​別されます。^[22]たとえば、分数を有理数と区別することができます。有理数は分数の同値類です。分数と分数は分数としては異なりますが（異なる記号列として）、同じ有理数（数直線上の同じ点）を「表します」。この区別から商集合という概念が生まれます。 ${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 2/4}$

同様に、セット

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$そして${\displaystyle \{1,2,3\}}$

これらは同じ集合ではありません。最初の集合は文字から成り、2番目の集合は数字から成ります。しかし、どちらも3つの要素から成る集合であり、したがって同型です。つまり、それらの集合の間には一対一の関係があります。例えば、

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

しかし、同型性の選択肢は他にもある。例えば、

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

そして、これらの集合は、そのような選択を行わなければ識別できません。これらの集合を識別するすべてのステートメントは、「識別の選択に依存します」。等式と同型性のこの区別は、カテゴリ理論において根本的に重要であり、カテゴリ理論の発展の動機の 1 つです。

場合によっては、検討されている特性と構造についてのみ等価な 2 つの数学的対象を等しいと見なすことがあります。合同という語(および関連する記号) は、この種の等価性に対して頻繁に使用され、対象間の同型類の商集合として定義されます。たとえば幾何学では、2 つの幾何学的図形は、一方が他方と一致するように移動できる場合に等しい、または合同であると言われ、等式/合同関係は図形間の等長変換の同型類です。集合の同型性と同様に、特性と構造を持つこのような数学的対象間の同型性と等式/合同性の違いは、圏論、ホモトピー型理論、および一価基底の発展の動機の 1 つでした。^{[23] [24] [25]}${\displaystyle \cong}$

集合論では、集合の等式は、公理が等式のある第一階言語に基づくか、または等式のない第一階言語に基づくかに応じて、2 つの異なる方法で公理化されます。

等式を伴う第一階述語論理では、外延性公理は同じ要素を含む2つの集合は同じ集合であると述べている。^[26]

• 論理公理:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• 論理公理:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• 集合論の公理:${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

レヴィが指摘したように、作業の半分を一階論理に組み込むことは、単なる便宜上の問題とみなされるかもしれない。

「等式について一階述語計算を採用する理由は、便宜上の問題である。これにより、等式を定義し、そのすべての特性を証明する労力を節約できる。この負担は、論理によって引き受けられる。」^[27]

等式のない一階述語論理では、2つの集合が同じ要素を含む場合、それらは等しいと定義されます。そして、外延性の公理は、2つの等しい集合が同じ集合に含まれることを述べています。 ^[28]

• 集合論の定義: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• 集合論の公理:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

• 拡張性
• ホモトピー型理論
• 不平等
• 数学記号の一覧
• 論理的等価性
• 論理的等価性
• 比例性（数学）