クーロンの法則

クーロンの逆二乗法則、または単にクーロンの法則は、静止している2つの帯電粒子間の力の大きさを記述する物理学の科学法則です^{[ 1 ]} 。この電気力は、慣習的に静電気力またはクーロン力と呼ばれています^{[ 2 ]}。この法則は以前から知られていましたが、1785年にフランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンによって初めて発表されました。クーロンの法則は、粒子内の電荷の量について意味のある議論を可能にしたため、電磁気学の理論の発展に不可欠であり、その出発点である可能性さえあります^{[ 1 ] [ 3 ] 。}

この法則によれば、 2つの点電荷間の引力または斥力の絶対値は、それらの電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例する。^{[ 4 ]}クーロンは、同じ電荷を持つ物体は反発し合うことを発見した。

したがって、これら３つの実験から、同じ種類の電気で帯電した２つの球が互いに及ぼす反発力は、距離の２乗に反比例するということがわかる。^{[ 5 ]}

クーロンはまた、反対の電荷を持つ物体は逆二乗の法則に従って引き合うことを示した。 $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

ここで、k _eはクーロン定数、q ₁とq ₂はそれぞれの電荷の量、スカラーrは電荷間の距離です。

力は2つの物体を結ぶ直線に沿って作用する。電荷の符号が同じ場合、それらの間の静電気力は反発力を生み出し、符号が異なる場合は、それらの間の力は引き合う力を生み出す。

逆二乗法則であるため、この法則はアイザック・ニュートンの万有引力の逆二乗法則に似ていますが、重力は常に物体を引き付けるのに対し、静電気力は電荷を引き付けたり反発させたりします。また、重力は静電気力よりもはるかに弱いです。^{[ 2 ]}クーロンの法則はガウスの法則を導出するために使用でき、その逆も可能です。静止している単一の点電荷の場合、2 つの法則は等価であり、同じ物理法則を異なる方法で表現しています。^{[ 6 ]}この法則は広範囲にわたってテストされており、観測は^10⁻¹⁶ m から^10⁸ mのスケールでこの法則を支持しています。 ^{[ 6 ]}

クーロンの法則の時間依存的な一般化は、ジェフィメンコ方程式によって与えられ、これは電荷と電流の時間依存的な分布によって生成される電場と磁場を記述する。

地中海周辺の古代文化では、琥珀の棒などの特定の物体を猫の毛でこすると、羽や紙片などの軽い物体を引き寄せることができることを知っていました。ミレトスのタレスは紀元前600年頃に静電気について初めて記録に残る記述を残しました^{[ 7 ]。}彼は摩擦によって琥珀が小さな物体を引き寄せることに気付きました^{[ 8 ] [ 9 ] 。}

1600年、イギリスの科学者ウィリアム・ギルバートは電気と磁気について綿密な研究を行い、磁石効果と琥珀をこすったときに発生する静電気を区別した。^{[ 8 ]}彼は、こすった後に小さな物体を引き付ける性質を指すために、新ラテン語のelectricus （「琥珀の」または「琥珀のような」、ギリシャ語で「琥珀」を意味するἤλεκτρον [ elektron ]に由来）という造語を作った。 ^{[ 10 ]}この関連性から英語の「electric」と「electricity」という単語が生まれ、これらは1646年のトーマス・ブラウンの『Pseudodoxia Epidemica』で初めて印刷物として登場した。^{[ 11 ]}

18世紀の初期の研究者で、電気力が重力と同じように距離とともに減少する（つまり、距離の2乗に反比例する）と疑っていた人物には、コンデンサのプレート間の力を測定したダニエル・ベルヌーイ^{[ 12 ]}とアレッサンドロ・ボルタ、そして1758年に逆二乗法則を提唱したフランツ・エピヌス^{[ 13 ]などがいる。}

イギリスのジョセフ・プリーストリーは、帯電した球体を用いた実験に基づいて、電気力がニュートンの万有引力の法則と同様に逆二乗法則に従うことを最初に提唱した人物の一人であった。しかし、彼はこれを一般化したり、詳細に説明したりはしなかった。^{[ 14 ]} 1767年、彼は電荷間の力が距離の二乗に反比例すると推測した。^{[ 15 ] [ 16 ]}

1769年、スコットランドの物理学者ジョン・ロビンソンは、自身の測定によれば、同じ符号の電荷を持つ2つの球の間の反発力はx ^−2.06に比例すると発表した。^{[ 17 ]}

1770年代初頭、帯電した物体間の力が距離と電荷の両方に依存することは、イギリスのヘンリー・キャベンディッシュによって既に発見されていたが、公表されていなかった。 ^{[ 18 ]}キャベンディッシュはメモの中で、「したがって、電気的な引力と斥力は、2 + 1/50 と 2 − 1/50の間の距離の何乗かに反比例すると結論付けることができ、それが逆二乗比と全く異なると考える理由はない」と記している。

最後に、1785年にフランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは、電気と磁気に関する最初の3つの報告書を発表し、その中で自身の法則を述べた。この出版物は電磁気学の理論の発展に不可欠であった。^{[ 4 ]}彼はねじり天秤を用いて荷電粒子の反発力と引力を研究し、2つの点電荷間の電気力の大きさは電荷の積に比例し、それらの間の距離の2乗に反比例することを決定した。

ねじり天秤は、中央から細い繊維で吊り下げられた棒で構成されています。この繊維は非常に弱いねじりばねとして機能します。クーロンの実験では、ねじり天秤は絶縁棒の一端に金属コーティングされた球が取り付けられ、絹糸で吊り下げられたものでした。球には既知の静電気電荷が蓄えられ、同じ極性の別の帯電球がその近くに近づけられました。2つの帯電球は互いに反発し合い、繊維をある角度だけねじりました。この角度は、装置の目盛りから読み取ることができました。繊維を特定の角度だけねじるのに必要な力を知ることで、クーロンは球間の力を計算し、反二乗比例の法則を導き出すことができました。

クーロンの法則によれば、静電気力は$\mathbf F 1$料金によって経験される、$q_1$ポジション$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$別の電荷の近くで、$q2$ポジション$\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$真空中では^{[ 19 ]に等しい。}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

どこ$\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$は電荷間の変位ベクトルであり、${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$から指す単位ベクトル$q2$に$q_1$、そして$\displaystyle \varepsilon _{0}}$電気定数。ここで、${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$ベクトル表記に使用されます。静電気力$\textstyle \mathbf {F} _{2}}$経験された$q2$ニュートンの第三法則によれば、${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$。

両方の電荷が同じ符号（同種の電荷）である場合、積は$q_1q_2$は正であり、力の方向は$q_1$は$\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$電荷は互いに反発し合う。電荷の符号が反対の場合、積は$q_1q_2$は負であり、力の方向は$q_1$は${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$電荷は互いに引き合う。^{[ 20 ]}

比例定数、${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$クーロンの法則では： $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$ これは、部隊編成に関する歴史的な選択の結果である。^{[ 19 ]： 4-2}

定数${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は真空の誘電率である。^{[ 22 ]} CODATA 2022の推奨値を使用して、${\displaystyle \varepsilon _{0}}$[ ^{23 ]}クーロン^{定数[ 24 ]}は $${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\approx 8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .}$$ その値は、実験的に決定された微細構造定数αによって決定される。 $${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {\alpha hc}{2\pi e^{2}}}\ ,}$$ここ で、eは素電荷、hはプランク定数、cは真空中の光速であり、それぞれ2019年のSI改訂後に正確に定義された値を持つ。

クーロンの逆二乗法則の妥当性には、次の３つの条件を満たす必要がある。^{[ 25 ]}

1. 電荷は球対称分布でなければならない（例えば、点電荷、または帯電した金属球など）。
2. 電荷は重複してはならない（例えば、それぞれが独立した点電荷でなければならない）。
3. 電荷は、加速しない基準系に対して静止していなければならない。

最後に紹介するのは、静電近似です。運動が生じると、2つの物体に作用する力を変化させる追加の要素が加わります。この追加の力は磁力と呼ばれます。ゆっくりとした運動の場合、磁力は最小限であり、クーロンの法則は近似的に正しいと考えることができます。ただし、この場合、より正確な近似はウェーバー力です。電荷が互いに速く移動したり、加速度が生じたりする場合は、マクスウェル方程式とアインシュタインの相対性理論を考慮する必要があります。

電場は、空間内の各点に単位試験電荷が受けるクーロン力を対応付けるベクトル場である。^{[ 19 ]}クーロン力の強さと方向${\textstyle \mathbf {F} }$告訴で${\textstyle q_{t}}$電場に依存する${\textstyle \mathbf {E} }$他の告訴によって確立された、${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$最も単純な場合、電場は単一の点電荷のみによって生成されると考えられます。より一般的には、電場は重ね合わせの原理によって全体に寄与する電荷の分布によって生成される可能性があります。

電場が正の点電荷によって生成される場合${\textstyle q}$電場の方向は、そこから放射状に外側に向かう線に沿っており、つまり正の点試験電荷が${\textstyle q_{t}}$電場中に置かれると移動する。負の点電荷の場合、その方向は半径方向の内向きである。

電場Eの大きさはクーロンの法則から導出できる。点電荷の一方を発生源、もう一方を試験電荷とすると、真空中 で単一の発生源点電荷Qからある距離rの地点に生成される電場Eの大きさは、クーロンの法則から次のように与えられる。$${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|Q|}{r^{2}}}}$$

n個の離散電荷のシステム${\displaystyle q_{i}}$駐屯地${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$重ね合わせにより、大きさと方向が等しい電場を生成する。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

クーロンの法則は原子内でも成り立ち、正に帯電した原子核と負に帯電した各電子との間の力を正しく記述します。この単純な法則は、原子同士が結合して分子を形成する力、そして原子と分子が結合して固体や液体を形成する力も正しく説明します。一般的に、イオン間の距離が大きくなるにつれて、引力と結合エネルギーはゼロに近づき、イオン結合は起こりにくくなります。反対の電荷の大きさが大きくなるにつれて、エネルギーは大きくなり、イオン結合はより起こりやすくなります。

クーロンの法則は、運動する電荷によって生成される磁場の形式を理解するために使用できます。特殊相対性理論では、特定の場合には磁場が電場によって引き起こされる力の変換であることが示されるためです。粒子の履歴に加速が関与しない場合、上記のマックスウェル方程式を解く際の対称性の議論によって裏付けられる、任意の試験粒子に対して、その慣性系内でクーロンの法則を仮定できます。クーロンの法則は、運動する試験粒子にも同じ形式に拡張できます。この仮定は、クーロンの法則とは異なり、静止した試験電荷に限定されないローレンツ力の法則によって裏付けられています。電荷が観測者に対して不変であると考えると、一様に運動する点電荷の電場と磁場は、クーロンの法則によって与えられる電荷の参照系における試験電荷に対する4つの力のローレンツ変換と、ローレンツ力の形式で与えられる定義によって磁場と電場を割り当てることによって導出できます。^{[ 27 ]}等速運動する点電荷に対して求められる電場は次のように与えられる。^{[ 28 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$どこ${\displaystyle q}$は点源の電荷であり、${\displaystyle \mathbf {r} }$は点光源から空間内の点までの位置ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {v} }$は荷電粒子の速度ベクトルであり、${\displaystyle \beta }$は荷電粒子の速度を光速で割った比率であり、${\displaystyle \theta }$角度は${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$。

この形式の解は、特殊相対性理論の枠組みの場合のようにニュートンの第三法則に従う必要はありません（ただし、相対論的エネルギー運動量保存則に違反することはありません）。^{[ 29 ]}電場の式は、点電荷の非相対論的速度に対してクーロンの法則に帰着し、非相対論的極限（近似）での磁場は、${\displaystyle \beta \ll 1}$) を電流に適用すると、ビオ・サバールの法則が得られます。これらの解は、遅延時間で表すと、クーロンの法則がその特定の適用範囲内で有効であるため、リエナール・ヴィーヘルト電位の解によって与えられるマクスウェル方程式の一般解にも対応します。また、静止電荷に対するガウスの法則の球対称性は、問題で速度の方向を指定することによって対称性が破れるため、運動電荷には適用されないことに注意してください。上記の 2 つの方程式についても、マクスウェル方程式との一致を手動で検証することもできます。^{[ 30 ]}

クーロンの法則は簡単な実験で検証できる。質量が 2 つの小さな球体を考えてみよう。${\displaystyle m}$同じサインの料金${\displaystyle q}$質量が無視できる長さの2本のロープから吊り下げられている${\displaystyle l}$各球体に作用する力は3つあります。重力${\displaystyle mg}$ロープの張力${\displaystyle \mathbf {T} }$そして電気力${\displaystyle \mathbf {F} }$平衡状態では：

そして

（ １）を（２ ）で割る：

させて${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$は帯電した球体間の距離、 はそれらの間の反発力である。${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$クーロンの法則が正しいと仮定すると、 は に等しい。

それで：

ここで一方の球を放電し、帯電した球と接触させると、それぞれの球が電荷を帯びる。${\textstyle {\frac {q}{2}}}$平衡状態では、電荷間の距離は次のようになります。${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$そして、それらの間の反発力は次のようになります。

私たちは知っている${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$そして： $${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$ （4）を（5）で割ると、次のようになります。

角度を測定する${\displaystyle \theta _{1}}$そして${\displaystyle \theta _{2}}$電荷間の距離${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$実験誤差を考慮すれば、等式が成り立つことを検証するには十分である。実際には、角度の測定は困難な場合があるので、ロープの長さが十分に長ければ、角度は十分に小さくなり、次の近似を行うことができる。

この近似を用いると、関係式（6）ははるかに単純な式になる。

このように、検証は電荷間の距離を測定し、その除算値が理論値に近似していることを確認することに限定される。

Spavieri, G.、Gillies, GT、およびRodriguez, M. (2004)。クーロンの法則の物理的意味。Metrologia、41(5)、S159–S170。doi:10.1088/0026-1394/41/5/s06 

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• グリフィス、デイビッド・J. (1999).電磁気学入門（第3 版）. プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-805326-0。
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• プロジェクトPHYSNETにおけるクーロンの法則
• 電気と原子（Wayback Machineに2009年2月21日にアーカイブ済み） —オンライン教科書の一章
• クーロンの法則を教えるための迷路ゲーム― Molecular Workbenchソフトウェアで作成されたゲーム
• 電荷、分極、電気力、クーロンの法則 ウォルター・ルーウィン、8.02 電気と磁気、2002年春：講義1（ビデオ）。MITオープンコースウェア。ライセンス：クリエイティブ・コモンズ 表示-非営利-継承。