湯川ポテンシャル

素粒子物理学、原子物理学、凝縮系物理学において、湯川ポテンシャル（遮蔽クーロンポテンシャルとも呼ばれる）は、日本の物理学者湯川秀樹にちなんで名付けられたポテンシャルである。このポテンシャルの形式は次の通りである。

${\displaystyle V_{\text{湯川}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

ここで、は大きさのスケーリング定数、すなわち はポテンシャルの振幅、 mは粒子の質量、rは粒子までの半径距離、αは別のスケーリング定数なので、 がおおよその範囲です。ポテンシャルはrに対して単調増加しており、負の値であるため、力は引力であることを意味します。SI システムでは、湯川ポテンシャルの単位はメートルの逆数です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

電磁気学のクーロンポテンシャルは、どこでも係数が 1 に等しい湯川ポテンシャルの例です。これは、光子の質量mが 0 に等しいと解釈できます。光子は、相互作用する荷電粒子間の力の伝達者です。 ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

中間子場とフェルミオン場の相互作用では、定数はそれらの場の間のゲージ結合定数に等しくなります。核力の場合、フェルミオンは陽子と別の陽子または中性子になります。 ${\displaystyle g}$

湯川秀樹の1935年の論文^[1]以前、物理学者たちはジェームズ・チャドウィックの原子モデルの結果を説明するのに苦労していた。このモデルは、半径が10 ⁻¹⁴メートル程度の小さな原子核の中に正に帯電した陽子と中性子が詰め込まれているというものだった。物理学者たちは、この距離での電磁力により、これらの陽子は互いに反発し、原子核は崩壊するだろうと知っていた。^[2]こうして、素粒子間の相互作用をさらに説明しようという動機が生まれた。1932年、ヴェルナー・ハイゼンベルクは、原子核内の中性子と陽子の間に「プラッツヴェクセル」（移動）相互作用を提唱した。この相互作用では、中性子は陽子と電子の複合粒子である。この複合中性子は電子を放出し、陽子との引力を生み出し、その後、それ自体が陽子に変わる。 1933 年のソルベー会議でハイゼンベルクが相互作用を提案したとき、物理学者たちはそれが次の 2 つの形式のいずれかであると疑っていました。

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {または}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

^[3]しかし、彼の理論には多くの問題があった。まず、スピン⁠1/2⁠そしてスピンの陽子⁠1/2⁠中性子スピンを合計すると⁠1/2ハイゼンベルクがこの問題を扱った方法は、アイソスピンの考え方を形成することになりました。

ハイゼンベルクの原子核内の粒子間の交換相互作用（クーロン力ではなく）というアイデアは、フェルミが1934年にベータ崩壊に関するアイデアをまとめるきっかけとなった。 ^[3]フェルミの中性子陽子相互作用は、中性子と陽子の相互間の「移動」に基づくものではなかった。フェルミは、ハイゼンベルクの理論のように電子だけではなく、ニュートリノと電子という2つの軽い粒子の放出と吸収を提案した。フェルミの相互作用は直線運動量と角運動量の保存の問題を解決したが、ソ連の物理学者イゴール・タムとドミトリ・イヴァネンコは、ニュートリノと電子の放出に関連する力は、原子核内の陽子と中性子を結合させるほど強くないことを実証した。^[4]

1935 年 2 月の論文で、湯川秀樹はハイゼンベルクの短距離力の相互作用の考え方とフェルミの交換粒子の考え方の両方を組み合わせて、中性子と陽子の相互作用の問題を解決しました。彼は、指数関数的減衰項 ( ) と電磁気項 ( ) を含むポテンシャルを導きました。量子場の理論との類似性から、湯川はポテンシャルとそれに対応する場が交換粒子の結果であるに違いないことを理解していました。QEDの場合、この交換粒子は質量 0 の光子でした。湯川の場合、交換粒子にはいくらかの質量があり、それは相互作用の範囲 ( で与えられる) に関連していました。核力の範囲はわかっていたので、湯川は自分の方程式を使用して、媒介粒子の質量が電子の質量の約 200 倍であると予測しました。物理学者はこの粒子を「中間子」と呼びました。その質量が陽子と電子の中間にあるためです。湯川中間子は1947年に発見され、パイオンとして知られるようになった。^[4]${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

粒子に質量がない場合（つまり、m = 0）、湯川ポテンシャルはクーロンポテンシャルに縮小され、範囲は無限大であると言われます。実際、次のようになります。

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

その結果、方程式

${\displaystyle V_{\text{湯川}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

クーロンポテンシャルの形に単純化される

${\displaystyle V_{\text{クーロン}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

ここでスケーリング定数を次のように設定する: ^[5]

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

湯川とクーロンの長距離ポテンシャルの強さの比較を図 2 に示します。クーロンポテンシャルはより長い距離にわたって効果を発揮しますが、湯川ポテンシャルは急速にゼロに近づくことがわかります。ただし、湯川ポテンシャルまたはクーロンポテンシャルは、rが大きい場合、ゼロにはなりません。

湯川ポテンシャルが質量のある場と関連していることを理解するための最も簡単な方法は、そのフーリエ変換を調べることである。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} } {\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

ここで、積分は3ベクトル運動量kのすべての可能な値に対して実行されます。この形式で、スケーリング係数を1に設定すると、分数はクライン・ゴードン方程式の伝播関数またはグリーン関数であることがわかります。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

湯川ポテンシャルは、フェルミオン対の相互作用の最低次の振幅として導出することができる。湯川相互作用は、フェルミオン場と中間子場を結合項で 結合する。${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

初期運動量と運動量 を持つ 2 つのフェルミオンが、運動量kを持つ中間子を交換する場合の散乱振幅は、右側の ファインマン図で与えられます。${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

各頂点のファインマン則は、振幅に の係数を関連付けます。この図には 2 つの頂点があるため、振幅全体の係数は になります。2 つのフェルミオン線を結んでいる中央の線は、中間子の交換を表しています。粒子交換のファインマン則では、プロパゲーターを使用します。質量のある中間子のプロパゲーターは です。したがって、このグラフのファインマン振幅は、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{2}}$${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

前のセクションから、これは湯川ポテンシャルのフーリエ変換であることがわかります。

湯川ポテンシャルを持つラジアルシュレーディンガー方程式は摂動論的に解くことができる。^{[6] [7] [8] : ch. 16}ラジアルシュレーディンガー方程式を次の形式で用いる

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

およびべき乗展開形の湯川ポテンシャル

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

と設定すると、角運動量について次の式が得られる。 ${\displaystyle K=jk}$${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

について、ここで ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

係数を 0以外すべて設定すると、クーロンポテンシャルのシュレーディンガー固有値のよく知られた式が得られ、ラジアル量子数は クーロンポテンシャルの波動関数が満たさなければならない境界条件の結果として正の整数または 0 になる。湯川ポテンシャルの場合、境界条件の適用はより複雑である。したがって、湯川の場合、は近似値にすぎず、整数n を置き換えるパラメータは実際には上記のような漸近展開であり、最初の近似値は対応するクーロンの場合の整数値である。軌道角運動量またはレッジェ軌道の上記の展開を逆にすると、エネルギー固有値または同等の が得られる。次式が得られる: ^[9]${\displaystyle M_{j}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \nu =n}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \ell (K)}$${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

の降順での角運動量の上記の漸近展開は、WKB法でも導くことができる。しかし、その場合、クーロンポテンシャルの場合と同様に、シュレーディンガー方程式の遠心項の表現は、ランガー^[10]によって最初に主張されたように、で置き換える必要がある。その理由は、 WKB法をそのまま適用すると特異点が強すぎるからである。この推論が正しいことは、クーロンの場合の正しい結果（ランガー補正を使用）のWKB導出から導かれる。 ^{[8] : 404}さらに、より高次のWKB近似による湯川の場合の上記の展開からも導かれる。^[11]${\displaystyle \ell (K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

陽子または中性子とパイ中間子の間の微分断面積は、湯川ポテンシャルを利用して計算できます。ボルン近似を使用すると、球対称ポテンシャルでは、出射散乱波関数を入射平面波関数と小さな摂動の合計として近似できます。

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

ここで、は粒子の入射運動量です。関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

ここで、は粒子の放出散乱運動量であり、は入射粒子の質量です（パイ中間子の質量と混同しないでください）。を代入して計算します。 ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

積分を評価すると、

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

エネルギー保存は

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

となることによって

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

差し込むと次のようになります:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

したがって、微分断面積は次のようになる。^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

積分すると、総断面積は次のようになります。

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

• 湯川相互作用
• 遮蔽されたポアソン方程式
• ベッセルポテンシャル

• Brown, GE ; Jackson, AD (1976).核子-核子相互作用. アムステルダム: North-Holland Publishing. ISBN 0-7204-0335-9。