オッペンハイム予想

オッペンハイム予想は、数論の分野であるディオファントス近似において、多変数の実 二次形式による数の表現に関するものである。1929年にアレクサンダー・オッペンハイムによって定式化され、後にハロルド・ダベンポートとオッペンハイムによってさらにその予想が強化された。この問題に関する初期の研究では、変数の数nが大きいとされ、ハーディ・リトルウッド円法の一種が適用された。マルギュリスの決定的な研究は、エルゴード理論と半単純リー群の離散部分群の研究から生まれた方法を用いて、この予想を肯定的に解決した。

マイヤーの定理は、n変数 ( n  ≥ 5)の不定 積分二次形式 Q は、ゼロを表すことが非自明である、つまり、 Q ( x ) = 0となる整数成分を持つ非ゼロのベクトルx が存在することを述べています。オッペンハイムの予想は、有理形式の倍数ではない形式Qに対するこのステートメントの類似物と見なすことができます。この場合、整数ベクトル上のQの値の集合は、実数直線の稠密な部分集合であると述べています。

この予想のいくつかのバージョンは、オッペンハイムとハロルド・ダベンポートによって定式化されました。

• Q をn変数の実非退化不定値二次形式とします。n  ≥ 3 でQ が有理係数の形式の倍数ではないとします。すると、任意のε > 0 に対して、| Q ( x )| <  εとなる整数成分を持つ非 ゼロベクトルx が存在します。

n ≥ 5については、 1929 年にオッペンハイムによってこのことが推測されました。より強力なバージョンは、1946 年にダベンポートによって提案されました。

• Qとnの意味は前述と同じです。すると、任意の ε > 0 に対して、0 < | Q ( x , x )| < εとなる整数成分を持つ 非ゼロベクトルx が存在します。

これは 1953 年に Oppenheim によって予想され、n が少なくとも 21 の場合に Birch、Davenport、Ridout によって証明され、5 変数の対角形式の場合は Davenport と Heilbronn によって証明されました。その他の部分的な結果は Oppenheim (4 変数の形式の場合、ただし形式がZ上のゼロを表すという強い制約下)、Watson、Iwaniec、Baker–Schlickewey によるものです。初期の研究は解析的数論と二次形式の 簡約理論です。

この予想は、1987 年にマルギュリスによってエルゴード理論の方法を用いて完全に一般化して証明されました。このアプローチでは、直交群の特定の単能部分群のR ³内の格子の同次空間への作用の幾何学が決定的な役割を果たします。n = 3 の場合を確立するだけで十分です。同次群作用に関するステートメントからオッペンハイム予想を導くアイデアは、通常、MS ラグナサンに帰せられます。ラグナサンは、1970 年代に、n = 3 の予想は格子の空間の次の特性と同等であると観察しました。

• SL(3, R )/SL(3, Z )におけるSO(2, 1)の任意の比較的コンパクトな軌道はコンパクトである。

しかし、後にマーギュリスは、この同等性は、別の言語ではあるが、 1955年のカッセルスとHPFスウィナートン・ダイアーの論文に暗黙の形ですでに存在していたと述べた。 ^[要出典]

マーギュリスの画期的な発見の直後、ダニとマーギュリスによって証明が簡略化され一般化された。オッペンハイム予想の定性的バージョンは、後にエスキン・マーギュリス・モーゼスによって証明された。ボレルとプラサドは、いくつかのS算術類似体を確立した。同次空間上のユニポテントフローと準ユニポテントフローの特性の研究は、ディオファントス近似の理論におけるさらなる問題への応用を含め、現在も活発な研究分野となっている。

• ラトナーの定理

• Borel, Armand (1995). 「積分点における不定二次形式の値と格子空間上の流れ」. Bull. Amer. Math. Soc. 32 (2): 184–204. arXiv : math/9504223 . Bibcode :1995math......4223B. doi :10.1090/S0273-0979-1995-00587-2. MR  1302785. S2CID  17947810.
• ダベンポート、ハロルド(2005) [1963]。TD ブラウニング (編)。ディオファントス方程式とディオファントス不等式の解析的手法。ケンブリッジ数学図書館。RC ヴォーン、DR ヒースブラウン、DE フリーマンによる序文付き (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-60583-0. MR  2152164. Zbl  1125.11018.
• マルグリス、グリゴリー (1997)。「オッペンハイム予想」。アティヤ、マイケル、イアゴルニッツァー、ダニエル (編)。フィールズ賞受賞者講演。20 世紀数学の世界科学シリーズ。第 5 巻。ニュージャージー州リバーエッジ: World Scientific Publishing Co, Inc. pp . 272–327。doi :10.1142/9789812385215_0035。ISBN 981-02-3117-2. MR  1622909。
• オッペンハイム、アレクサンダー (1929) 。「不定四次二次形式の極小値」。Proc . Natl. Acad. Sci. USA  15 ( 9): 724–727。Bibcode : 1929PNAS ...15..724O。doi : 10.1073/ pnas.15.9.724。PMC 522544。PMID  16577226。