マルコフスペクトル

数学において、マルコフスペクトルは、アンドレイ・マルコフによって考案され、マルコフのディオファントス方程式およびディオファントス近似の理論に現れる複雑な実数の集合です。

f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ²で与えられる二次形式を考え 、その判別式が固定されていて、例えば −1/4 に等しいとします。つまり、b ²  − 4 ac = 1 です。

グリッドの非ゼロベクトルで評価されるときに が 達成する最小値を求めることができます。この最小値が存在しない場合は、下限値を求めることができます。 ${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

マルコフスペクトルMは、判別式を-1/4に固定して、この探索を異なる2次形式で繰り返すことによって得られる集合です。$${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

フルヴィッツのディオファントス近似定理から出発して、任意の実数には、それに近づく 有理数近似m / nの列が存在する。${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

1/ c ≥ √ 5となるような 1/ cの各値について、 ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

このような数列に対してはc が最良の（最大の）値となる。このような 1/ c はラグランジュスペクトル L 、つまり少なくとも√ 5 （スペクトルの最小値）の実数の集合を構成する。逆数を使った定式化は扱いにくいが、従来の定義ではそれが可能である。代わりにcの集合を見ると、下極限による定義が可能になる。そのためには、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

ここで、差が最小になるように、m はnの整数関数として選択されます。これは の関数であり、ラグランジュ スペクトルの逆数は無理数に対してとる値の範囲です。 ${\displaystyle \xi }$

ラグランジュスペクトルの初期部分、すなわち区間[ √ 5 , 3)にある部分は、マルコフスペクトルの初期部分でもある。最初のいくつかの値は√ 5、√ 8、√ 221 /5、√ 1517 /13、... ^[1]であり、このシーケンスのn番目の数 (つまり、n番目のラグランジュ数) は、 n 番目のマルコフ数から次の式で計算できる。フライマン定数は、ラグランジュスペクトルの最後のギャップの終わりに付けられた名前であり、次のとおりである。 $${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$（OEISの配列A118472）。

[ )${\displaystyle {F},\infty }$内のすべての実数（ホール線として知られている）はラグランジュスペクトルの要素である。^{[2]さらに、} LがMに厳密に含まれること を証明することは可能である。^[3]

一方では、区間 [ √ 5 , 3) にあるマルコフスペクトルとラグランジュスペクトルの初期部分はどちらも等しく、離散集合です。一方、フライマン定数の後にあるこれらの集合の最終部分も等しいですが、連続集合です。初期部分と最終部分の間の部分の幾何学はフラクタル構造を持ち、離散的な初期部分と連続的な最終部分の間の幾何学的遷移として見ることができます。これは次の定理で正確に述べられています: ^[4]

• マルコフ数

• アイグナー、マーティン（2013）。マルコフの定理と一意性予想の100年：無理数から完全マッチングへの数学的旅。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC  853659945.
• Conway, JH および Guy, RK 『The Book of Numbers』 ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 188–189、1996 年。
• Cusick, TW およびFlahive, ME「マルコフおよびラグランジュ スペクトル」プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、1989 年。
• Cassels, JWS (1957)。ディオファントス近似入門。ケンブリッジ数学・数理物理学論文集。第45巻。ケンブリッジ大学出版局。Zbl 0077.04801  。

• 「マルコフスペクトル問題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]