ハイルブロンセット

数学において、ハイルブロン集合とは、自然数の無限集合Sであり、そのすべての実数は、分母がSに含まれる分数によって任意に近似できる。任意の実数に対して、 ${\displaystyle \theta }$および自然数${\displaystyle h}$整数を見つけるのは簡単です${\displaystyle g}$そのため${\displaystyle g/h}$に最も近い${\displaystyle \theta }$例えば、実数の場合${\displaystyle \pi }$そして${\displaystyle h=100}$我々は持っています${\displaystyle g=314}$. 近さを${\displaystyle \theta }$に${\displaystyle g/h}$の違い${\displaystyle h\theta }$そして${\displaystyle g}$、その近さは常に 1/2 未満です (この例では 0.15926... です)。数値の集合は、任意の に対して であれば、ハイルブロン集合です。${\displaystyle \theta }$常に値のシーケンスを見つけることができます${\displaystyle h}$近接度がゼロに近づく集合において。

より数学的に${\displaystyle \|\alpha \|}$からの距離を表す${\displaystyle \alpha }$最も近い整数に$\displaystyle {\mathcal {H}}}$がハイルブロン集合であるのは、すべての実数に対して、${\displaystyle \theta }$そしてすべての${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$そのため${\displaystyle \|h\theta \|<\varepsilon }$[ ^{1 ]​}

自然数はハイルブロン集合であり、ディリクレの近似定理によれば、${\displaystyle q<[1/\varepsilon ]}$と${\displaystyle \|q\theta \|<\varepsilon }$。

の${\displaystyle k}$整数の 乗はハイルブロン集合である。これは、すべての整数に対して であることを示したI.M. ヴィノグラドフの結果から導かれる。${\displaystyle N}$そして${\displaystyle k}$指数が存在する${\displaystyle \eta _{k}>0}$そして${\displaystyle q<N}$そのため${\displaystyle \|q^{k}\theta \|\ll N^{-\eta _{k}}}$[ ^{2 ]}このケースで^は${\displaystyle k=2}$ハンス・ハイルブロンは、$\displaystyle \eta _{2}}$は任意に1/2に近づけることができる。^{[ 3 ]}アレクサンドル・ザハレスクはハイルブロンの結果を改善し、$\displaystyle \eta _{2}}$4/7 に任意に近づけてもよい。^{[ 4 ]}

Van der Corput 集合はすべてHeilbronn 集合でもあります。

10のべき乗はハイルブロン集合ではない。${\displaystyle \varepsilon =0.001}$そして、${\displaystyle \|10^{k}\theta \|<\varepsilon }$一部の人にとって${\displaystyle k}$これは、${\displaystyle \theta }$どこかに3つのゼロまたは3つの9が連続して現れる。これはすべての実数に当てはまるわけではない。